高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：35【提高】两角和与差的正弦、余弦、正切公式

【提高】两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
【要点梳理】
要点一：两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：

要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
；
(4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；
(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.
要点二：两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数

在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数

要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
(4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则.
(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.
要点三：两角和与差的正切函数
利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.




要点诠释：
(1)公式成立的条件是：；
(2)公式的变形：

(3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.
(4)公式对分配律不成立，即.
要点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键。
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况。中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开。
2．重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视。常见的角的变换有：
；；等，常见的三角变换有：切化弦、等。
要点五：辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定。）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）。这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等。
【典型例题】
类型一：两角和与差的三角函数公式的正用
例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的正弦、正切公式求值。
【答案】
【解析】 ∵，，且、均在第二象限，
故，
，
故
。
。
=
=
【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦和正切，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值。求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值。
举一反三：
【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。
【答案】
【解析】 由，得
，
又由，为第三象限角得
，
∴，
。
例2．（2017秋 重庆期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【思路点拨】（1）由题意可得，，
代入，计算可得；
（2）由诱导公式和弦化切，可得原式，代值计算可得
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，
∴，，
∴
；
（2）化简可得

举一反三：
【变式1】（2018 天津南开区模拟）（1）已知．
求的值．
（2）已知求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意，∵
∴ ，∴ ，
所以．
（2）,
又
=
=
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。
（1）求的值；
（2）求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】
由三角函数定义可得，
又因为为锐角，所以因此
（1）；
（2）所以，
为锐角，
类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用
例3。计算下列各式的值：
（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°；
（2）；
（3）。
【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形。
【解析】（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°
=sin163°sin223°+sin(163°+90°)sin(223°+90°)
=sin163°sin223°+cos163°cos223°
=cos(223°－163°)=cos60°=.
（2）。
（3）
。
【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构。以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口。公式的变形应予以灵活运用。
举一反三：
【变式1】求值：
【解析】原式==
【变式2】求下列各式的值：
（1）；（2）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=
=1
【变式3】化简：。
【解析】原式
。
类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用
例4．在锐角△ABC中，求证：
（1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）。
【思路点拨】注意三角形内角和这一隐含条件的运用。
【证明】（1）因为A+B+C=π，所以A+B=π－C，所以tan（A+B）=tan（π－C），所以，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。
（2）因为A、B、C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，从而有。
左边
右边。
所以原式成立。
【总结升华】本题主要考查两角和正切公式的应用。三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经何种形式联系起来（如本题中A+B+C=π）；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一。例如（2），由于右边为常数，左边经过提取、变形展开必能各项相消。
举一反三：
【变式1】已知，求证：
【证明】
得


类型四：辅助角公式的应用
例5．化简下列各式：
（1）；（2）；（3）。
【思路点拨】形如sin x+cos x、sin x-cos x，等，化成一个角的三角函数的方法：一般是逆用和差角公式，引入辅助角来处理。处理过程如下。
【解析】（1）
。
（2）
。
（3）。
【总结升华】运用哪个辅助角是可以选择的，如，也可以化为：
。
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
（1）sin x+cos x；（2）sin x-cos x；（3）。
【答案】（1）（2）（3）。
【解析】（1）sin x+cos x=；（2）sin x-cos x=；
（3）=
类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用
例6．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
【思路点拨】（Ⅰ）由题意知, ， ,然后利用=求出的值. （Ⅱ）因为∣AB∣=||=||,上式两边平方,可求得的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ，
∵的终边在第一象限，∴．
∵的终边在第二象限，∴ ．
∴==+=．
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，
又∵，
∴．
∴．
方法（2）∵，
∴=．
举一反三：
【变式1】已知函数。的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】。因为函数的图象与y=2的两个相邻交点的距离为π。所以。即ω=2。所以。
令得。即（）。
所以函数的单调区间为（）。
【变式2】（2017 黄浦区二模）已知函数，x∈R，函数f（x）与函数g（x）的图象关于原点对称．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
【答案】（1），x∈R；（2）和
【解析】（1）设点（x，y）是函数y=f（x）的图象上任意一点，由题意可知，点（―x，―y）在y=g（x）的图象上，
于是有，x∈R．
所以，，x∈R．
（2）由（1）可知，，x∈[0，π]，记D=[0，π]．
由，k∈Z，解得，k∈Z，
则函数f（x）在形如，k∈Z的区间上单调递增．
结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数k只能是0和1．
令k=0得；k=1时，得．
所以，，．
于是，函数f（x）在[0，π]上的单调区递增区间是和．
【变式3】已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．
【答案】（1）π（2）1 1
【解析】(1)依题意得：＝(1＋cos2x,1)，＝(1，sin2x＋a)，
∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，
ymin＝－1＋1＋1＝1.
【巩固练习】
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
4．（2017秋 黑龙江牡丹江月考）（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°）（1+tan28°）的值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
5．（2018 辽宁抚顺模拟）已知，则tan（α－β）的值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）
A．2 B．2+ C．0 D．1
7．在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
8． 在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于(　　)
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
9．已知α、β均为锐角，且，则tan(α＋β)＝________．
10．（2017秋 安徽宿州期末）若，，，，则________．
11．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值为________．
12． 已知向量a＝(sin(α＋),1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于 ．
13．已知，且，求的值．
14．（2018 宁夏银川期末）求值：
（1）
（2）．
15．已知锐角△ABC中，，．
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）求tanA的值．
16．（2017 江苏亭湖区一模）已知向量，，且，其中．
（1）求的值；
（2）若，，求cos x的值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】
2．【答案】D
【解析】原式==
3．【答案】C
【解析】，∴，．
4．【答案】B
【解析】因为(1+tan17°)(1+tan28°)=1+tan17°+tan28°+tan17°tan28°
=1+tan(17°+28°)(1－tan17°tan28°)+tan17°tan28°
=1+tan45°(1－tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2；
同理可得，(1+tan18°)(1+tan27°)=2；
所以(1+tan17°)(1+tan18°)(1+tan27°)(1+tan28°)=4．
故选：B．
5．【答案】A
【解析】∵已知，∴，
∴．
∵，∴，
则，
故选A．
6．【答案】A
【解析】，当时，．
7．【答案】B
【解析】由，知不可能一个钝角，一个锐角，又不可能均为钝角，所以均为锐角．由，得，又，所以整理得，所以，即，所以为钝角，是钝角三角形．
8．【答案】A
【解析】已知两式两边分别平方相加，得
25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，
∴sin(A＋B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°．
当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°．
9．【答案】1
【解析】∵ ，
∴ ．
又∵ α、β均为锐角，∴ ，即，
∴ ．
10．【答案】
【解析】因为，，
所以，
因为，，
所以，
则
，
故答案为：．
11．【答案】－
【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－(sinα＋cosα)
＝－．
12．【答案】－
【解析】a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－
＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝．
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．
13．【解析】．
由已知得，，
所以，
由得，所以，
故．
14．【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）
（2）原式
．
15．【解析】（1）证明：因为，，
所以，所以，所以，
所以tanA=2tanB．
（2）因为，
所以，，
即．
将tanA=2tanB代入得2tan2B－4tanB－1=0，
得（舍去），．
所以．
16．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，得，
所以，又，
所以；
（2），即，
因为，所以，
所以，
所以
．