高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：37【基础】二倍角的三角函数

【基础】二倍角的三角函数
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
；．
．
．
2．公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】 （1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：
【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：
方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．
方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．
【答案】
【解析】方法一：
．
∴
方法二：原式
．
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若，则．
举一反三：
【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．
【解析】原式
．
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例3．化简下列各式：
(1)
【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)
(2)
【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．
例4．（2018秋 安徽阜阳期末）已知，且
（1）求的值；
（2）求的值．
【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos，tan，然后通过二倍角公式转化，分子分母同除cos2，代入tan，即可求出值．
（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan的值求解即可．
【答案】（1）6；（2）7
【解析】（1）由又，∴，
∴
（2）
举一反三：
【变式1】（1）的化简结果是 ．

（2）已知，且α∈( ，π)，则 的值为 ．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）原式=
=
=
=
（2）因为，且α∈( ，π)，所以，原式=．
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．求值：
（1）已知，求．
（2）已知，求．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
=
=
（2）=
=
=
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．
举一反三：
【变式1】 已知，且，求，，的值．
【答案】
【解析】由，得，
即，∴
由，得，
∴．
即．
整理得．
解得或（舍去）．
∴．
∴．
【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．
【变式2】（2017 天津红桥区模拟）已知是第二象限角，且，
（1）求cos2的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为是第二象限角，，
所以，．
（2）又是第二象限角，故．
所以．
类型五：二倍角公式的综合应用
例6．已知，求：
（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）f (x)的单调区间．
【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．
【答案】（1） （2）单增区间 单减区间
【解析】
（1）原式=
=
=
则当即时，

（2）f (x)的单调递增区间为：，则

f (x)的单调递减区间为：，则

【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．
例7．已知向量，，求函数．
（1）求的最大值及相应的x值；
（2）若，求的值．
【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，
所以．
因此，当，即时，取得最大值．
（2）由及得，两边平方得，即．因此，．
举一反三：
【变式1】（2018秋 朝阳区期中）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．
【答案】（1）2π；（2），k∈Z．
【解析】（1）由已知可得：．
所以f（x）的最小正周期为2π．
（2）由，k∈Z，
得，k∈Z．
因此函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数（x∈R）的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意，得，
，．
由A为锐角得，．
（2）由（1）知，
所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．
【巩固练习】
1．若，则
A． B． C． D．
2．（2017 云南大理州模拟）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则sin2θ=（ ）
A． B． C． D．
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．函数是（ ）
A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．求值（ ）
A． B． C． D．
7．（2018春 吉林延边州期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=cos2x B．y=2cos2x C． D．y=2sin2x
9．已知，则= ．
10．的值为 ．
11．（2017 上海徐汇区一模）函数的最小值为________．
12．的取值范围是 ．
13．求的值．
14．（2017 江苏海陵区月考）已知，求的值．
15．已知△ABC的内角满足，若，且满足：，，为的夹角.求．
16．（2018 天津武清区模拟）已知角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案与解析】
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，
∴
则，
故选D．
3．【答案】C
4．【答案】C
【解析】 ∵，
∴．
5. 【答案】B
【解析】

6. 【答案】C
【解析】
7．【答案】A
【解析】∵
∴
∴
又∵，
∴，
．
又∵
∴
∴
故选：A．
8．【答案】B
【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数，即的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为1+2cos2x=2cos2x，故选B．
9．【答案】
【解析】，，，．
10．【答案】4
【解析】=
11．【答案】
【解析】函数，
故当，k∈Z时，函数y取得最小值为，
故答案为：．
12．【答案】
【解析】原式=，．
13．【解析】原式


．
14．【答案】
【解析】因为，所以，所以
所求表达式的值为．
15. 【解析】
得，

16．【答案】（1）－7；（2）
【解析】（1）由角，可得．
再根据，求得（舍去），或，
∴．
（2）由，可得，
，
．