高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：38【提高】二倍角的三角函数

【提高】二倍角的三角函数
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
；．
．
．
2．公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：利用二倍角公式的简单应用
例1.求下列各式的值：
（1）；；（3）．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（3）．
【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等，抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．
举一反三：
【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：将原式中角度成二倍角的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．方法二：把原式作为A式，然后把A式中正弦形式全部化为余弦形式，把这个式子作为B式，再两式相乘．
【答案】
【解析】
方法一：原式
【总结升华】一般地，对于，可以通过乘以sinα后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产“连锁反应”．
方法二：设所求为A，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78°
设B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78°
则
=
【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前．通过设B来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去B．从而得到原式的值．这也是处理类似问题的一种常见方法．
举一反三：
【变式1】
【解析】
例3．求值：．
【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路．
【答案】
【解析】 原式



．
【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得问题简单化．
举一反三：
【变式1】求值：
【解析】原式=
=
=
=4
【变式2】求值：
【解析】原式=
=
=
=
=1
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例4．化简：．
【思路点拨】观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简．
【答案】
【解析】 方法一：原式
．
方法二：原式
．
方法三：原式
方法四：原式
．
【总结升华】 在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法．
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
(1)（2）
【答案】（1）（2）
【解析】(1)
(2) 原式=
=
=
=
=
【变式2】（1）化简：
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）；
（2）．
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．已知，且，求的值．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】
【解析】 原式
．
∵，∴．
∵，∴．
∴，
∴．
又∵，
∴．
【总结升华】要注意本题中的角“2x”与“”的变换方法，即．
举一反三：
【变式1】求值：
（1）已知，求．
（2）已知，求．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
=
=
（2）=
=
=
【变式2】 已知：tanθ=2，求的值．
【答案】
解法一：
=（转化成了齐次式）
=
解法二： ∵tan=2,
∴sin=2k，cos=k
原式
又∵sin2+cos2=1即（2k）2+k2=1
∴
例6．已知，，且、都是锐角，求．
【答案】
【解析】 由，得，即．
由，得．
．
∵0°＜＜90°，0°＜＜90°，∴0°＜＜270°．
在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故．
【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个步骤进行（这两个步骤缺一不可）：①根据题设条件，求角的某一三角函数值；②讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
类型五：二倍角公式的综合应用
例7．（2017春 广州期末）已知函数f（x）=asin x+cos x的图象经过点．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．
（2）若，且，求sin2的值．
【答案】（1）2π，，k∈Z；（2）
【解析】（1）因为函数的图象经过点，
所以，
即，解得：a=－1，
，
，所以函数f（x）的最小正周期为2π．
因为函数y=cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
所以，解得：
所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z
（2）解法1：∵，
∴．
∴．
∴．
解法2：∵，∴．
∴．
∴．
两边平方得．
∴．
【总结升华】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，二倍角公式的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用．
举一反三：
【变式1】（2018 广东中山市模拟）已知函数，a为常数，a∈R，且．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【答案】（1）π；（2）最大值为；最小值为．
【解析】（1）由已知得
即，
所以a=－2
所以
所以函数f（x）的最小正周期为π
（2）由，得
则
所以
所以函数y=f（x）的最大值为；最小值为．
例8．已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
【思路点拨】　首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2
【解析】　（Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(sinA－cosA)，则sin2A＝，
又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos，
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B
＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.
【总结升华】　本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.
举一反三：
【变式1】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数（x∈R）的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意，得，
，．
由A为锐角得，．
（2）由（1）知，
所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．
【巩固练习】
1．若则
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A．－cos1 B．cos1 C． D．
3．化简得（ ）
A． B． C．1 D．―1
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
6．（2017 四川成都模拟）已知α为第二象限角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017春 浙江嘉兴期末）已知，则函数的最小值是（ ）
A．－1 B． C． D．1
8．若，则（ ）
A．3―cos2x B．3―sin2x C．3+cos2x D．3+sin2x
9．（2017 甘肃一模）若，则sin2=________．
10．的取值范围是 ．

11．（2017 贵州贵阳模拟）已知，则tan2α=________．
12．的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 ．
13．已知，，求．
14．在△ABC中，cosA=,tanB=2，求tan(2A+2B)的值．
15．已知，为的最小正周期，向量，，且a·b=m，求的值．
16．（2018 天津红桥区模拟）已知是第二象限角，且，
（1）求cos2的值；
（2）求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】 2+cos2―sin21=2+2cos21―1―sin21=2cos21+1―sin21=3cos21，∴原式．
3．【答案】C
【解析】．
4．【答案】B
【解析】由已知，所以，所以．
5．【答案】A
【解析】，为奇函数，最小正周期为，故选A．
6．【答案】B．
【解析】∵α为第二象限角，∴cosα－sinα＜0，
∵，
∴，
故选B．
7．【答案】A
【解析】∵，
又，∴，
∴，
∴
∴函数的最小值是―1．
故选：A．
8．【答案】C
【解析】，∴，
∴．
9．【答案】
【解析】若，则
，
故答案为．
10. 【答案】
11．【答案】．
【解析】由，
可得：tanα=4，
那么：
12．【答案】
【解析】

当，即时，得
13．【解析】
原式==，，， 是第三象限角，，．
14．【解析】由题意知，，，
．
15．【解析】因为为的最小正周期，故β=π．
因为a·b=m，又，
故．
由于，所以
．
16．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为是第二象限角，，
所以，．
（2）又是第二象限角，故．
所以．