高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：39【基础】简单的三角恒等变换

【基础】简单的三角恒等变换
【学习目标】
1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；
2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；
3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；
4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；
5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．
【要点梳理】
要点一：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
要点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
要点二：辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
　【典型例题】
类型一：利用公式对三角函数式进行证明
例1．求证：
【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中与之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明．
【证明】
方法一：
方法二：
【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】
．
例2．求证：（1）
(2)
【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令即可得证．
【证明】
（1） ①
又 ②
①+②得
结论得证．
（2） ①
又 ②
①+②得
令，则
结论得证．
【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】，
上面两式相加得：
令，则
结论得证．
【变式2】求证：．
【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x，2x凑成，的形式，注意到，，于是
【证明】右边
左边．
∴等式成立．
【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．

类型二：利用公式对三角函数式进行化简
例3． 已知，试化简．
【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式，于是利用此公式先化简．
【解析】原式，
∵，∴，∴，，
从而，，
∴原式．
【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos2，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到，则，，设，则x＜0，则，又，故，从而．
举一反三：
【变式1】化简．
【解析】∵，∴cos＞0，则由二倍角公式得，
∴原式，又，∴，
从而．
即原式=．
类型三：利用公式进行三角函数式的求值
例4．（2017春 湖南衡阳期末）已知，
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）32
【解析】由已知，所以，
（1）；
（2）


．
举一反三：
【变式1】已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x，y为锐角，则sin(x＋y)的值是(　　)
A．1 B．－1
C. D.
【答案】A
【解析】∵sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，两式相加得：sinx＋cosx＝siny＋cosy，
∴sin2x＝sin2y.又∵x、y均为锐角，
∴2x＝π－2y，∴x＋y＝，∴sin(x＋y)＝1.
【变式2】（2018 江苏模拟）已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．
（1）求的值，
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，
可得
，
．
（2）∵，
∴．
．
解得．
类型四：三角恒等变换的综合应用
例5．求函数；的值域
【思路点拨】设，则，然后把转化为关于的二次函数，利用配方法求的最值．
【解析】 设

又，，
又，
则
=
当时，
当时，
【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件．
举一反三：
【变式1】（2017 安徽模拟）已知函数的图象经过点，其中常数a∈R．
（1）求a的值及函数f（x）的最小正周期T；
（2）当时，求函数f（x）的最值及相应的x值．
【思路点拨】首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求周期及最值．
【答案】（1）π；（2）当，即时，；
当，即时，
【解析】（1）由函数f（x）的图象经过点知道，即，解得a=1．
∴，
∴．
（2）当时，，
∴当，即时，；
当，即时，．
【巩固练习】
1．的值是（ ）
A. B. C. D.
2．已知∈(－,0),，则等于( )
A. B. C. D.
3．若，是第二象限角，则等于（ ）
A. B. C. D.
4．若，则的值是 ( )
A. B. C. D.
5．(　　)
A. B. C．2 D.
6．（2017 乌鲁木齐模拟）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（2，4） B．（－∞，2] C．（－∞，4] D．[4，+∞）
7．设函数，则（ ）
A．在上单调递增，其图象关于直线对称
B．在上单调递增，其图象关于直线对称
C．在上单调递减，其图象关于直线对称
D．在上单调递减，其图象关于直线对称
8．（2017 河南安阳模拟）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx－cosx取得最大值，则sin2θ=（ ）
A． B． C． D．
9．已知则= ．
10．已知，，则等于 ．
11．已知，，则________．
12．（2017秋 上海普陀区月考）函数的最小正周期为π，则实数ω的值为________．
13．（2017 东城区月考）已知－π＜x＜0，．
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求的值．
14．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
15．（2017秋 甘肃期中）已知函数．
（1）求函数f（x）的周期及增区间；
（2）若，求函数f（x）的值域．
【答案与解析】
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】∵ ∈(，0)
又∵ ∴
∴ ∴ .
故选D.
巧思妙解析：解法一：由题设得
则2×(－)×=－
故.
解法二：由题设得
又∵
∴
∴
又
∴ .
3．【答案】C
4．【答案】D
【解析】
∵ ，∴ ，∴
∴ 原式
5．【答案】C
【解析】原式，故选C.
6．【答案】B
【解析】∵由，
令，
则原函数化为．
∵ 时为减函数，
则在上为减函数，
∵ 的图象开口向下，且对称轴方程为，
∴，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（－∞，2]，
故答案为：（－∞，2]．
故选：B．
7．【答案】D
【解析】因为，所以在单调递减，对称轴为2x=kπ，即．
8．【答案】D
【解析】函数取得最大值，
此时x=θ，其中，，
∴，k∈Z，即，
那么：
∴．
故选D．
9．【答案】
【解析】=．
10．【答案】
【解析】因为，，所以，=．
11．【答案】
【解析】因为，
所以，
，所以．
12．【答案】±1
【解析】函数，
函数的最小正周期为π，
可得，，解得实数ω=±1．
故答案为：±1．
13．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵－π＜x＜0，，∴，
∴，故x为第四象限象，sinx＜0，cosx＞0，
∴．
（2）由（1）可得，
∴，
14．【解析】(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，
得sinβ＝，tanβ＝2，
所以tan(α＋β)＝＝1.
(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，
所以sinα＝，cosα＝－，
f(x)＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx，
所以f(x)的最大值为.
15．【答案】（1）T=π，]，k∈Z；（2）{y｜－2≤y≤1}
【解析】（1）∵



∴T=π
∵，k∈Z．∴解得：，k∈Z．
∴增区间为]，k∈Z．
（2）∵，
∴，
∴－2≤y≤1，
∴值域为{y｜－2≤y≤1}．