2 频率的稳定性
测试时间:25分钟
一、选择题
1.用频率估计概率,可以发现,抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5,是指( )
A.连续抛掷2次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B.连续抛掷100次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C.抛掷2n次硬币,恰好有n次“正面朝上”
D.抛掷n次,当n越来越大时,正面朝上的频率逐渐稳定在0.5附近
2.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
3.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现,摸到红色球的频率稳定在25%左右,则口袋中红色球约有 ( )
A.5个 B.10个 C.15个 D.45个
4.“淄博地区明天降水的概率是15%”,下列说法中,正确的是( )
A.淄博地区明天降水的可能性较小
B.淄博地区明天将有15%的时间降水
C.淄博地区明天将有15%的地区降水
D.淄博地区明天肯定不降水
5.某收费站在2小时内对经过该站的机动车统计如下:
类型 轿车 货车 客车 其他
数量(辆) 36 24 8 12
若有一辆机动车将经过这个收费站,利用上面的统计估计它是轿车的概率为( )
A. B. C. D.
6.在一个不透明的口袋中,装有若干个红球和4个黄球,它们除颜色外没有任何区别,摇匀后从中随机摸出一个球,记下颜色后再放回口袋中,通过大量重复摸球试验发现,摸到黄球的频率是0.2,则估计口袋中大约有红球( )
A.16个 B.20个 C.25个 D.30个
二、填空题
7.为调查某批乒乓球的质量,根据所做试验,绘制了这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图(如图),则这批乒乓球“优等品”的概率的估计值为 (精确到0.01). ?
8.在一个不透明的箱子里放有x个除颜色外其他完全相同的球,这x个球中白球有3个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回箱子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到白球的频率稳定在30%,那么x最有可能是 . ?
三、解答题
9.一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.
(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?
(2)从袋中随机摸出一个球,记下其颜色,然后放回.大量重复该试验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25左右,则n的值是 .?
2 频率的稳定性（答案版）
测试时间:25分钟
一、选择题
1.用频率估计概率,可以发现,抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5,是指( )
A.连续抛掷2次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B.连续抛掷100次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C.抛掷2n次硬币,恰好有n次“正面朝上”
D.抛掷n次,当n越来越大时,正面朝上的频率逐渐稳定在0.5附近
1.答案 D 连续抛掷数次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半,故A、B、C错误.抛掷n次,当n越来越大时,正面朝上的频率逐渐稳定在0.5附近,故D正确,故选D.
2.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
2.答案 D 试验次数越多,频率越接近概率.故选D.
3.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现,摸到红色球的频率稳定在25%左右,则口袋中红色球约有 ( )
A.5个 B.10个 C.15个 D.45个
3.答案 C ∵摸到红色球的频率稳定在25%左右,∴布袋中红色球约有60×25%=15(个).
4.“淄博地区明天降水的概率是15%”,下列说法中,正确的是( )
A.淄博地区明天降水的可能性较小
B.淄博地区明天将有15%的时间降水
C.淄博地区明天将有15%的地区降水
D.淄博地区明天肯定不降水
4.答案 A “淄博地区明天降水的概率是15%”说明淄博地区明天降水的可能性较小,故A符合题意.
5.某收费站在2小时内对经过该站的机动车统计如下:
类型 轿车 货车 客车 其他
数量(辆) 36 24 8 12
若有一辆机动车将经过这个收费站,利用上面的统计估计它是轿车的概率为( )
A. B. C. D.
5.答案 B 由题表知在2小时内经过该收费站的轿车的数量为36,在2小时内经过该收费站的机动车的数量为36+24+8+12=80,∴若有一辆机动车将经过这个收费站,估计它是轿车的概率为=,故选B.
6.在一个不透明的口袋中,装有若干个红球和4个黄球,它们除颜色外没有任何区别,摇匀后从中随机摸出一个球,记下颜色后再放回口袋中,通过大量重复摸球试验发现,摸到黄球的频率是0.2,则估计口袋中大约有红球( )
A.16个 B.20个 C.25个 D.30个
6.答案 A 红球的个数约为-4=16.
二、填空题
7.为调查某批乒乓球的质量,根据所做试验,绘制了这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图(如图),则这批乒乓球“优等品”的概率的估计值为 (精确到0.01). ?
7.答案 0.95
解析 由题图可看出,这批乒乓球“优等品”的频率在0.95附近摆动,并逐渐稳定于0.95,故概率的估计值是0.95.
8.在一个不透明的箱子里放有x个除颜色外其他完全相同的球,这x个球中白球有3个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回箱子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到白球的频率稳定在30%,那么x最有可能是 . ?
8.答案 10
解析 摸到白球的频率稳定在30%,则摸到白球的概率约为30%,故x=3÷30%=10.
三、解答题
9.一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.
(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?
(2)从袋中随机摸出一个球,记下其颜色,然后放回.大量重复该试验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25左右,则n的值是 .?
9.解析 (1)是.当n=1时,袋中红球数量和白球数量相同,故摸到两种颜色的球的可能性相同.
(2)2.由题意得0.25=,即(2+n)×0.25=1,∴n=2.
10.研究问题:一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球.怎样估算不同颜色球的数量?
操作方法:先从盒中摸出8个球,画上记号放回盒中,再进行摸球试验.摸球试验的要求是先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续.
活动结果:摸球试验一共做了50次,统计结果如下表:
球的颜色 无记号 有记号
红色 黄色 红色 黄色
摸到的次数 18 28 2 2
由上述的摸球试验可推算:
(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比是多少;
(2)盒中有红球多少个.
10.解析 (1)由题意可知,50次摸球试验中,出现红球20次,黄球30次,
∴红球占总球数的百分比为20÷50×100%=40%;
黄球占总球数的百分比为30÷50×100%=60%.
答:红球占40%,黄球占60%.
(2)由题意可知,50次摸球试验中,出现有记号的球4次,
∴总球数为8÷=100.
∴有红球100×40%=40(个).
答:盒中有红球40个.
1
(共36张PPT)
第六章 概率初步
初中数学（北师大版）
七年级 下册
知识点一????频率
频率的定义:在n次重复试验中,不确定事件A发生了m次,则比值?称为
事件A发生的频率.
例1 如图6-2-1,某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:顾客
购物金额在10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指
针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.
?
图6-2-1
下表是活动进行中的一组统计数据:
(1)计算并完成表格;
(2)请估计当n很大时,频率将会接近多少.
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在“铅笔”区
域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区
域的频率?
分析 (1)把对应的数值代入?计算即可;(2)1 000是较大的数,这个次数
所对应的频率具有稳定性,可作为估计值.
解析 (1)填表如下:
(2)当n很大时,频率将会接近0.7.
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在“铅笔”区
域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区
域的频率? 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
知识点二????频率的稳定性及用频率估计概率
概率定义 必然事件的概率 不可能事件的概率 随机事件的概率
我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值,叫做事件A发生的概率,记为P(A) 必然事件发生的概率为1 不可能事件发生的概率为0 随机事件发生的概率是0与1之间的一个常数
注意 一般地,大量重复试验中,我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率
概率与频率的区别与联系:
名称关系 ???? 频率 概率
区别 试验值或统计值 理论值
具有随机性 具有唯一性
近似反映事件发生的可能性的大小 精确反映事件发生的可能性的大小
联系 当试验次数很大时,事件发生的频率稳定在相应的概率附近
例2????(2017甘肃兰州中考)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完
全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸
出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到
黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为?( )
A.20 ????B.24 ????C.28 ????D.30
解析 由频率估计概率,知摸到黄球的概率为30%,由题意可知?×100%
=30%,解得n=30,故选D.
答案????D
题型????利用概率解决实际问题
例 王强与李刚两位同学在学习“概率”时,做抛骰子试验,他们共抛
了54次,出现向上点数的次数如下表:
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 6 9 5 8 16 10
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率;
(2)王强说:“根据试验,一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”李
刚分析说:“如果抛540次,那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”
请判断王强和李刚的说法的对错.
解析 (1)向上点数为3的频率为?,
向上点数为5的频率为?=?.
(2)王强和李刚的说法都不对.
知识点一????频率
1.在中考体育达标跳绳项目测试中,1分钟跳160次为达标,小敏在预测时
1分钟跳的次数分别为165,155,140,162,164,则她在预测中达标的次数是
????,达标的频率是 ????.
答案 3;0.6
知识点二????频率的稳定性及用频率估计概率
2.小明做“用频率估计概率”的试验时,根据统计结果,绘制了如图6-2-
1所示的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能是?( )
?
图6-2-1
A.同时抛掷两枚硬币,落地后两枚硬币正面都朝上
B.一副去掉大小王的扑克牌,洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C.抛一个质地均匀的正方体骰子,朝上的面点数是3
D.一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球,它们除了颜色外都相同,
从中抽到黑球
答案????C????A项,同时抛掷两枚硬币,落地后两枚硬币正面都朝上的概率
为?,故A选项不符合题意;B项,一副去掉大小王的扑克牌,洗匀后,从中
任抽一张牌的花色是红桃的概率是?,故B选项不符合题意;C项,抛一个
质地均匀的正方体骰子,朝上的面点数是3的概率是?≈0.17,故C选项符
合题意;D项,一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球,它们除了颜色
外都相同,从中抽到黑球的概率为?,故D选项不符合题意.
3.小华和小丽做游戏:抛掷两枚硬币,每人各抛掷10次,在10次抛掷中,小
华的成功率为20%,则她成功了 ????次,小丽的成功率为10%,则她
成功了 ????次.
答案 2;1
4.在一个不透明的布袋中有除颜色外其他都相同的红、黄、蓝球共200
个,某位同学经过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球和蓝色球的频
率稳定在35%和55%,则口袋中可能有黄球 ????个.
答案 20
解析 由题意知摸到黄球的概率为1-35%-55%=10%,所以口袋中黄球
的个数为200×10%=20,即口袋中可能有黄球20个.
1.(2014广西河池中考)世界杯足球赛正在巴西如火如荼地进行,赛前有
人预测,巴西国家队夺冠的概率是90%,对他的说法理解正确的是?(???? )
A.巴西队一定会夺冠
B.巴西队一定不会夺冠
C.巴西队夺冠的可能性很大
D.巴西队夺冠的可能性很小
答案????C “世界杯足球赛,巴西国家队夺冠”是随机事件,可能发生也
可能不发生,而预测概率为90%,说明发生的可能性很大.故选C.
2.某人在做掷硬币试验时,投掷m次,正面朝上有n次
?.则下列说法中正确的是?( )
A.P一定等于?
B.P一定不等于?
C.多投一次,P更接近?
D.随投掷次数逐渐增加,P稳定在?附近
答案????D 正面朝上与反面朝上的可能性一样大,随试验次数的增多,频
率稳定在?附近.
3.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球,其中有5个
黑球,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,之后把它
放回袋中,搅匀后,再继续摸出一球.以下是利用计算机模拟的摸球试验
次数与摸出黑球次数的列表:
摸球试验次数 100 1 000 5 000 10 000 50 000 100 000
摸出黑球次数 46 487 2 506 5 008 24 996 50 007
根据列表,可以估计出n的值是 ????.
答案 10
解析 试验次数越多,频率越接近概率,由题表得概率为0.5,故n=?=10.
1.为测量平地上一块不规则区域(图6-2-2中的阴影部分)的面积,以1∶
1 500的比例画一个边长为2 cm的正方形,使不规则区域落在正方形内,现
向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等
可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳
定在常数0.25附近,由此可估计平地上不规则区域的面积是 ????.
?
图6-2-2
答案 225 m2
解析 2×2×1 500×1 500×0.25×?=225(m2).
2.天气预报说下星期一降水概率是90%,下星期三降水概率是10%,于是
有位同学说:下星期一肯定下雨,下星期三肯定不下雨.你认为他说的对
吗?
解析 不对.降水概率符合大多数同等天气条件下的实际情况,但某些
例外情况也是可能发生的.
3.甲、乙两个同学做掷硬币的试验,他们把正面朝上的次数和反面朝上
的次数用表格形式表示出来,观察表格,你能得出什么结论?
甲:
掷币次数 100 200 300 400 500 600
正面朝上次数 45 110 149 199 252 301
乙:
掷币次数 100 200 300 400 500 600
反面朝上次数 55 105 140 201 249 301
解析 随着试验次数的增加,硬币正面朝上的次数越来越接近反面朝上
的次数,由此可得硬币正面朝上的频率会稳定在?左右,?即为该事件的
概率.
1.在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球,这a个球中红球有
3个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大
量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%左右,那么可以推
算出a大约是 ?????( )
A.12 ????B.9 ????C.4 ????D.3
答案????A????a=?=12.
2.某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植
成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供
的信息解决下列问题.
?
(1)这种树苗成活的频率稳定在 ????,成活的概率估计值为 ????????;
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活 ????万棵;
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少
万棵?
解析 (1)0.9;0.9.
(2)①4.5.
②18÷0.9-5=15(万棵).
答:还需移植这种树苗约15万棵.
一、选择题
1.(2016浙江绍兴诸暨浣纱中学月考,2,★☆☆)下列说法不正确的是?
( )
A.某事件发生的概率为1,则它必然会发生
B.某事件发生的概率为0,则它必然不会发生
C.抛一个普通纸杯,杯口不可能向上
D.从一批产品中任取一个,为次品是可能的
答案????C 某事件发生的概率为1,则它一定发生,是必然事件,故A正确;
某事件发生的概率为0,则它必然不会发生,是不可能事件,故B正确;抛一
个普通纸杯,杯口可能向上,也可能向下或横卧,故C错误;从一批产品中
任取一个,为次品是可能的,故D正确.故选C.
二、解答题
2.(2018河北保定十七中期末,23,★★☆)在同样条件下对某种小麦种子
进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数表.
(1)计算表中a,b,c的值;
(2)估计该麦种的发芽概率(精确到0.01);
(3)如果该麦种发芽后,只有87%的麦芽可以成活,现有100千克麦种,则有
多少千克的麦种可以成活为秧苗?
试验种子n(粒) 1 5 50 100 200 500 1 000 2 000 3 000
发芽个数m(粒) 1 a 45 92 188 476 951 1 900 2 850
发芽频率
? 1 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 b c
解析 (1)a=5×0.80=4,b=1 900÷2 000=0.95,c=2 850÷3 000=0.95.
(2)观察发现:经过大量重复试验后,发芽频率逐渐稳定到常数0.95附近,
所以该麦种的发芽概率约为0.95.
(3)100×0.95×87%=82.65千克.
答:有82.65千克的麦种可以成活为秧苗.
(2016广东深圳一模,3,★☆☆)下列说法正确的是?( )
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为?”表示每抛2次就有一次正面朝上
C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D.“抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为?”表示随着抛掷次
数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在?附近
答案????D????A.“明天降雨的概率为80%”指的是明天降雨的可能性是
80%,A错误;B.这是一个随机事件,抛一枚硬币,出现正面朝上或反面朝上
都有可能,事先无法预料,B错误;C.这是一个随机事件,中奖或不中奖都
有可能,事先无法预料,C错误.D正确,故选D.
填空题
1.(2017贵州黔东南州中考,14,★★☆)黔东南下司“蓝莓谷”以盛产
“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客,某果农今年的蓝莓得到了丰
收,为了了解自家蓝莓的质量,随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测,
发现在多次重复的抽取检测中,“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.
7,该果农今年的蓝莓总产量约为800 kg,由此估计该果农今年的“优质
蓝莓”产量约是 ????kg.
答案 560
解析 800×0.7=560 kg.
2.(2016甘肃兰州中考,17,★★☆)一个不透明的口袋里装有若干个除颜
色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意
摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复试验后发现,摸到黄球的
频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球 ????个.
答案 20
解析 ∵摸到黄球的频率稳定在30%,∴可估计摸到黄球的概率为0.3,
而口袋中黄球有6个,∴推算出口袋中小球大约有6÷0.3=20(个).
(2016江苏宿迁中考,13,★☆☆)某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结
果如下表:
每批粒数n 100 300 400 600 1 000 2 000 3 000
发芽的频数m 96 284 380 571 948 1 902 2 848
发芽的频率? 0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949
那么这种油菜籽发芽的概率是 ????(结果精确到0.01).
答案 0.95
解析 观察表格知这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近,则这种油菜
籽发芽的概率是0.95.
1.某校进行篮球“罚球”比赛,下表是对某篮球队员罚球情况的测试结
果:
罚球次数 10 20 30 40
命中次数 7 17 25 32
(1)根据上表,估计该运动员罚球命中的概率;
(2)根据上表,假设运动员有50次罚球机会,他大约能得多少分(每命中1
次得1分)?
解析 (1)经计算可知,该运动员罚球命中的频率分别为70%、85%、
83.3%、80%.随着罚球次数的增加,该运动员罚球命中的频率稳定在80%
左右,由此可以估计该运动员罚球命中的概率为?.
(2)假设运动员有50次罚球机会,他大约能得50×?×1=40(分).
2.小明在操场上做游戏,他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC(如图
6-2-3),为了知道它的面积,小明在封闭图形内画了一个半径为1 m的
圆O,在不远处向图形内掷石子,且记录如下:
掷石子次数 50 150 300 500 1 000
石子落在圆O内
(含圆上)的次数m 14 43 93 152 326
石子落在封闭图
形ABC内的次数n 29 85 186 300 650
(1)请估算?的值(精确到0.1);
(2)请估算出封闭图形ABC的面积.
?
图6-2-3
解析 (1)根据表中的数据计算如下:
14÷29≈0.48;43÷85≈0.51;
93÷186=0.5;152÷300≈0.51;
326÷650≈0.50.∴?的值稳定在0.5附近,即?≈0.5.
(2)设封闭图形ABC的面积为S,则?=0.5,
∴S=2π m2.即封闭图形ABC的面积约为2π m2.
一粒木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面
是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可
能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝
上的概率,某试验小组做了棋子下掷试验,试验数据如下表:
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面
朝上的频数 14 a 38 47 52 66 78 88
“兵”字面
朝上的频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
(1)a= ????,b= ????;
(2)在图中画出“兵”字面朝上的频率分布折线图;
?
(3)观察折线图,“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律?
解析 (1)18;0.55.
(2)如图.
(3)当试验次数很大时,“兵”字面朝上的频率在0.55附近摆动.
