陕西省榆林市第二中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题

榆林市第二中学2018--2019学年第二学期第二次月考
高二年级数学（理科）试题
命题人：
时间：120分钟 满分：150分
第一卷
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．一个物体的位移(米)和与时间(秒)的关系为，则该物体在4秒末的瞬时速度是（ ）
A．12米/秒 B．8米/秒 C．6米/秒 D．8米/秒
3．给出下列四个命题：（1）若，则；（2）虚部是；（3）若；(4）若，且，则为实数；其中正确命题的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．在复平面内复数（是虚数单位，是实数）表示的点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A.< B. C.< < 2 D.< 2
5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；
B．猜想数列的通项公式为；
C．半径为圆的面积，则单位圆的面积；
D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为 ．
6．已知,则
A．- 4 B．0 C． D．
7．若函数在点处的切线与垂直,则等于( )
A．2 B．0 C． D．
8．的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．4
9．设是一个多项式函数,在上下列说法正确的是（ ）
A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点
C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点
10．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，
则函数在内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知且,计算,猜想等于（ ）
A． B． C． D．
12．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝sinx＋cosx B. f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D. f(x)＝－xe－x
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13.已知是虚数单位,若,则________.
14．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________________．
15．甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是________________．
16．如图为函数f(x)的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为________．
第二卷
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（满分10分）求抛物线与直线所围成的图形的面积。
18.(满分12分) 已知曲线y＝x3，求：
(1) 曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2) 过点P(1,0)的曲线的切线方程．
19.（满分12分）用数学归纳法证明，
20．（满分12分） 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系 ．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
21．（满分12分） 设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．
22．（满分12分）已知函数（为实数）．
（1）若，求证：函数在上是增函数；
（2）求函数在上的最小值及相应的值.
高二年级月考数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
C
A
D
C
C
A
B
D
二、填空题
13． 14． (－∞，0)∪(9，＋∞)
15.吉利，奇瑞 16．　(－3，－1)∪(0,1)

三、解答题
17.解 由，得抛物线与轴的交点坐标是和，所求图形分成两块，
分别用定积分表示面积
，.
故面积=
==.
18.解：y′＝3x2.
(1)当x＝1时，y′＝3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)设切点坐标为(x0， y0)，则过点P的切线的斜率为，
由直线的点斜式，得切线方程y－＝ (x－x0)，
∵P(1,0)在切线上，∴－2＝0.
解之得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0.
当x0＝时，切线方程为27x－4y－27＝0.
19、证明：
20解：（1）因为赔付价值为元/吨，所以乙方的实际年利润为：
.
因为 所以当取得最大值．
所以乙方取得最大年利润的年产量吨.
（2）设甲方净收入为元，则.
将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式：
又
令，得.
当时，；当时，．
所以时， 取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格（元/吨）时，获最大净收入．

21．解：(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．
当k>0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)．
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(，＋∞)，
单调减区间为(0，)．
(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值．
当k>0时，由(1)知f(x)的极小值为
f()＝－＋1>0，即k2>4，
又k>0，∴k的取值范围为(2，＋∞)．
22．解：（1）当时，，
时，.
故函数在上是增函数．
（2）
当，.
若，在上非负（仅当，时，），
故函数在上是增函数.
此时，．
若，
当时，．
当时，，此时，是减函数．
当时，，此时，是增函数.
故．
若，在上非正（仅当时，时，）
故函数在上是减函数，
此时．
综上可知，当时，的最小值为，相应的的值为1；
当时，的最小值为．相应的值为；
当时，的最小值为，相应的值为．