2 用关系式表示的变量间关系
测试时间:20分钟
一、选择题
1.某种储蓄的月利率是0.36%,现存入本金100元,本金与利息和y(元)与所存月数x(月)之间的关系式为( )
A.y=100+0.36x B.y=100+3.6%x
C.y=1+136x D.y=1+100·36x
2.已知一长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(x>0),面积为y cm2,则y与x之间的关系式是( )
A.y=x2 B.y=(12-x)2 C.y=(12-x)x D.y=2(12-x)
3.李大爷要围成一个长方形菜园,菜园的一边为足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24 m,要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD,设BC边的长为x m,AB边的长为y m,则y与x之间的关系式是( )
A.y=-2x+24(0C.y=2x-24(0二、填空题
4.一根蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的长度y(厘米)与燃烧时间x(小时)的关系式可以表示为 .?
5.已知两个变量x、y满足3x-2y=4,则y= .?
6.根据图中的程序,当输入x=3时,输出的结果y= . ?
7.某下岗职工购进一批水果,到集贸市场零售,已知卖出的苹果质量x(千克)与售价y(元)的关系如下表所示:
数量x(千克) 1 2 3 4 5
售价y(元) 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5
则y与x的关系式是 .?
8.校园里栽下一棵高1.8米的小树,以后每年长高0.3米,则n年后的树高L(米)与年数n之间的关系式为 .?
9.小明用40元钱购买5元/件的某种商品,则他剩余的钱y(元)与购买这种商品的数量x(件)之间的关系式是 .?
三、解答题
10.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费;超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3,4月份的用水量和水费如下表所示:
月份 用水量/立方米 收费/元
3 5 7.5
4 9 27
(1)求a,c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,水费y(元)与用水量x(立方米)之间的关系式;
(2)若该户5月份的用水量为8立方米,则该户5月份的水费是多少元?
2 用关系式表示的变量间关系（答案版）
测试时间:20分钟
一、选择题
1.某种储蓄的月利率是0.36%,现存入本金100元,本金与利息和y(元)与所存月数x(月)之间的关系式为( )
A.y=100+0.36x B.y=100+3.6%x
C.y=1+136x D.y=1+100·36x
1.答案 A 本利和=本金+利息=100+0.36%x×100=100+0.36x.
2.已知一长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(x>0),面积为y cm2,则y与x之间的关系式是( )
A.y=x2 B.y=(12-x)2 C.y=(12-x)x D.y=2(12-x)
2.答案 C 由题意知,边长为x cm的边的邻边长为=(12-x)cm,∴y=x(12-x).故选C.
3.李大爷要围成一个长方形菜园,菜园的一边为足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24 m,要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD,设BC边的长为x m,AB边的长为y m,则y与x之间的关系式是( )
A.y=-2x+24(0C.y=2x-24(03.答案 B 根据篱笆的长等于24 m列出y与x之间的关系式.
由题意知2y+x=24,所以y与x之间的关系式为y=-x+12,注意x的取值范围为0二、填空题
4.一根蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的长度y(厘米)与燃烧时间x(小时)的关系式可以表示为 .?
4.答案 y=20-5x(0≤x≤4)
解析 蜡烛剩余长度y=原长-燃烧的长度.
5.已知两个变量x、y满足3x-2y=4,则y= .?
5.答案 x-2
解析 ∵3x-2y=4,∴y=x-2.
6.根据图中的程序,当输入x=3时,输出的结果y= . ?
6.答案 2
解析 由题图知当x=3时,y=-x+5=-3+5=2.
7.某下岗职工购进一批水果,到集贸市场零售,已知卖出的苹果质量x(千克)与售价y(元)的关系如下表所示:
数量x(千克) 1 2 3 4 5
售价y(元) 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5
则y与x的关系式是 .?
7.答案 y=2.1x
8.校园里栽下一棵高1.8米的小树,以后每年长高0.3米,则n年后的树高L(米)与年数n之间的关系式为 .?
8.答案 L=1.8+0.3n
解析 树高L=小树原高+所长高度.
9.小明用40元钱购买5元/件的某种商品,则他剩余的钱y(元)与购买这种商品的数量x(件)之间的关系式是 .?
9.答案 y=40-5x(0≤x≤8,x取整数)
解析 注意自变量的取值范围.
三、解答题
10.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费;超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3,4月份的用水量和水费如下表所示:
月份 用水量/立方米 收费/元
3 5 7.5
4 9 27
(1)求a,c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,水费y(元)与用水量x(立方米)之间的关系式;
(2)若该户5月份的用水量为8立方米,则该户5月份的水费是多少元?
10.解析 (1)依题意知,当x≤6时,y=ax;当x>6时,y=6a+c(x-6).
当x=5(<6)时,y=7.5,则7.5=5a,所以a=1.5.
当x=9(>6)时,y=27,即27=6a+3c,
把a=1.5代入,得c=6,
所以y=1.5x(x≤6),y=9+6(x-6)=6x-27(x>6).
(2)将x=8代入y=6x-27(x>6),得y=6×8-27=21.
故该户5月份的水费是21元.
1
(共36张PPT)
第三章 变量之间的关系
初中数学（北师大版）
七年级 下册
知识点????用关系式表示两变量之间的关系
1.表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫做关系式.关系式是表示
变量之间关系的另一种方法.
2.利用关系式,我们可以根据任意一个自变量的值求出对应的因变量的
值,也可以根据已知的因变量的值通过解方程求自变量的值.
3.两个变量之间关系式的特征.
(1)关系式是等量,其中等式左边是因变量,右边是含自变量的代数式.
(2)关系式中只含有自变量和因变量这两个变量,其他的量都是常量.
(3)自变量可以在允许的范围内任意取值.
4.用表格和关系式表示两个变量之间的关系有各自的优缺点.用关系式表示变量之间的关系简洁明了,便于分析计算,但需要通过计算才能得到所需结果;表格能直接得到某些具体的对应值,但不能反映变量的整体变化情况.
例 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动,通过仪器测得小球滚动
的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表:
写出用t表示s的关系式: ????.
时间t/s 1 2 3 4 …
距离s/m 2 8 18 32 …
解析 观察题表给出的t与s的对应值,再进行分析、归纳得出关系式.t=1时,s=2×12;t=2时,s=2×4=2×22;t=3时,s=2×9=2×32;t=4时,s=2×16=2×42,……所以s与t的关系式为s=2t2,其中t≥0.
答案????s=2t2(t≥0)
题型????根据常见几何图形的面积公式求值
涉及面积或体积时,写关系式的关键是利用面积或体积公式写出等式,
然后根据题意求解.
例 圆柱的高是5 cm,当圆柱的底面半径由小变大时,圆柱的体积也随
之发生变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)如果圆柱的底面半径为r(cm),体积为V(cm3),则V与r之间有什么关系?
(3)当底面半径为2 cm时,圆柱的体积是多少?
(4)当圆柱的体积为500π cm3时,底面半径是多少?
(5)圆柱的体积随底面半径增大而怎样变化?
解析 (1)自变量是圆柱的底面半径,因变量是圆柱的体积.
(2)V=5πr2.
(3)当r=2时,V=5π×22=20π(cm3).
(4)当V=500π cm3时,由500π=5πr2,可得r2=100,则r=10.
(5)圆柱的体积随底面半径的增大而逐渐增大.
点拨 解决此类题的关键是记住面积、周长和体积公式,求值时要认真
仔细、运算准确.
知识点????用关系式表示两变量之间的关系
1.根据图3-2-1所示的程序计算y的值,若输入的x值为?,则输出的y值为?( )
?
图3-2-1
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????C 因为x=?在1=-x+2,当x=?时,y=-?+2=?,故选C.
2.图3-2-2中的圆是有规律地从里到外逐层排列的,设y为第n层(n为正整
数)圆的个数,则下列关系式中正确的是?( )
?
图3-2-2
A.y=4n-4 ????B.y=4n C.y=4n+4 ????D.y=n2
答案????B 由题图可知n=1时,圆有4个,即y=4;n=2时,圆有8个,即y=8=2×
4;n=3时,圆有12个,即y=12=3×4,……所以y=4n.
3.某市的出租车收费按里程计算,3 km内(含3 km)收费5元,超过3 km,每
增加1 km加收1元,则当x≥3时,车费y(元)与里程x(km)之间的表达式是
????.
答案????y=x+2
解析 根据“乘车费用=起步价5元+超过3千米部分的车费”,可得关
系式为y=5+(x-3)×1=x+2(x≥3).
4.已知水池中有800立方米的水,每小时抽50立方米.
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的关系式;
(2)6小时后,池中还有多少水?
(3)几小时后,池中还有200立方米的水?
解析 (1)Q=800-50t(0≤t≤16).
(2)当t=6时,Q=800-50×6=500(立方米).
(3)当Q=200时,800-50t=200,解得t=12.
所以12小时后,池中还有200立方米的水.
1.有一本书,每20页厚1 mm,设从第1页到第x页的厚度为y mm,则?(???? )
A.y=?x ????B.y=20x
C.y=?+x ????D.y=?
答案????A 每20页厚1 mm,则每页厚? mm,故y=?x.
2.如图,各圆中的三个数之间都有相同的规律,据此规律,第n个圆中,m=
????(用含n的代数式表示).
?
答案 9n2-1
解析 因为8=9×12-1,35=9×22-1,80=9×32-1,……所以m=9n2-1.
3.某商店零售一种商品,其质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如下表:
根据销售经验可知,在此处零买这种商品的顾客所买商品均未超过8 kg.
(1)由上表推出售价y(元)关于质量x(kg)的关系式;
(2)李大婶购买这种商品5.5 kg,应付多少元钱?
x/kg 1 2 3 4 5 6 7 8
y/元 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2
解析 (1)观察题表可知质量每增加1 kg,售价就增加2.4元,这样的变化
规律可以表示为y=2.4x(0≤x≤8).
(2)将x=5.5代入y=2.4x,得y=2.4×5.5=13.2.
故李大婶购买这种商品5.5 kg,应付13.2元钱.
4.某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部
分每千米收费1.6元.
(1)写出应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付多少元?
(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米?
解析 (1)根据题意可得当x≥3时,y=8+(x-3)×1.6,∴y=1.6x+3.2(x≥3).
(2)当x=4时,y=1.6×4+3.2=9.6.
即小亮应付9.6元.
(3)当y=16时,16=1.6x+3.2,解得x=8.
即出租车行驶了8千米.
1.东方超市进了一批玩具,出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定
的利润,其数量x(个)与售价y(元)如下表:
数量x(个) 1 2 3 4 …
售价y(元) 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 …
下列用x表示y的关系式中,正确的是?( )
A.y=8x+0.3 ????B.y=(8+0.3)x
C.y=8+0.3x ????D.y=8+0.3+x
答案????B 通过观察题表内的x与y,可知y=(8+0.3)x.
2.日常生活中,“老人”是一个模糊概念.可用“老人系数”表示一个人
的老年化程度.“老人系数”的计算方法如下表:
按照这样的规定,“老人系数”为0.6的人的年龄是 ????岁.
人的年龄x(岁) x≤60 60“老人系数” 0 ? 1
答案 72
解析 设所求的年龄为x岁,因为“老人系数”为0.6,所以60?=0.6,解得x=72,所以“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁.
3.某移动通信公司开设了两种通信业务,“全球通”:使用时首先缴50元
月租费,然后每通话1分钟,付话费0.4元;“动感地带”:不缴月租费,每通
话1分钟,付话费0.6元,若一个月通话x分钟,两种方式的费用分别为y1元
和y2元.(本题的通话均指市内通话)
(1)写出y1,y2与x之间的关系式;
(2)一个月内通话多少分钟,两种移动通信费用相同?
(3)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种移动通信合算些?
解析 (1)y1=50+0.4x,y2=0.6x.
(2)令y1=y2,即50+0.4x=0.6x,解得x=250,当每个月通话250分钟时,两种移
动通信费用相同.
(3)当x=300时,y1=170,y2=180,y11.如图,若输入x的值为-5,则输出的结果为?( )
?
A.-6 ????B.-5 ????C.5 ????D.6
答案????D 因为-5<0,所以y=-(-5)+1=6.
2.如图,每一个图都是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n盆花,每个图案的花盆总数为s,则s与n之间的关系式为?( )
?
A.s=3n ???? B.s=3(n-1)
C.s=3n-1 ????D.s=3n+1
答案????B
3.梯形的上底长是x,下底长是16,高是9.
(1)求梯形面积y与上底长x之间的关系式;
(2)当x每增加1时,y如何变化?
(3)当x=0时,y等于多少?此时它表示的是什么?
解析 (1)y=?(x+16)×9=4.5x+72.
(2)当x每增加1时,y增加4.5.
(3)当x=0时,y=4.5×0+72=72,此时y表示三角形的面积.
填空题
1.(2018河北保定十七中期末,17,★★☆)根据图3-2-3所示的计算程序计
算变量y的对应值,若输入x的值为-?,则输出的结果为 ????.
?
图3-2-3
答案 -?
解析 ∵x=-?,-2<-?<1,
∴y=-?-1=-?.
2.(2017广东河源正德中学段考,16,★☆☆)某电器进价为250元,按标价的9折出售,则此电器的利润y(元)与标价x(元)之间的关系式是 ???? ????.
答案????y=0.9x-250
解析 根据“利润=售价-进价”得y=0.9x-250.
1.(2017山东泰安岱岳期末,12,★☆☆)如果每盒圆珠笔有12支,售价18
元,用y(元)表示圆珠笔的售价,x表示圆珠笔的支数,那么y与x之间的关系
式应该是?( )
A.y=12x ????B.y=18x ????C.y=?x ????D.y=?x
答案????D 每支圆珠笔的售价为?=?元,所以x支圆珠笔的售价为?x元,
即y=?x.
2.(2017重庆南岸期末,21,★★★)某公交车每月的支出费用为4 000元,
票价为2元/人次,设每月有x人次乘坐该公交车,每月的收入与支出的差
额为y元.
(1)在下列表格中填出当x分别为500,1 000,1 500,2 000,2 500,3 000,3 500
时y的值:
x(人次) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 …
y(元) …
(2)根据(1)中表格的数据,请写出y与x之间的关系式,并直接回答:当每月
的乘客量达到多少人次以上时,该公交车才不会亏损?
(3)如果公交车每月的收入与支出的差额要达到8 000元,则乘坐该公交
车的人要达到多少人次?
解析 (1)填表:
(2)y=2x-4 000,
当每月的乘客量达到2 000人次以上时,该公交车才不会亏损.
(3)当y=8 000时,8 000=2x-4 000,
解得x=6 000.
所以乘坐该公交车的人要达到6 000人次.
x(人次) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 …
y(元) -3 000 -2 000 -1 000 0 1 000 2 000 3 000 …
一、选择题
1.(2018重庆中考B卷,8,★★☆)根据图3-2-4所示的程序计算y的值,若输
入的x值是4或7时,输出的y值相等,则b等于?( )
?
图3-2-4
A.9 ????B.7 ????C.-9 ????D.-7
答案????C ∵当x=7时,y=6-7=-1,∴当x=4时,y=2×4+b=-1,解得b=-9.
2.(2017山东烟台中考,7,★★☆)用棋子摆出如图3-2-5所示的一组图形:
?
图3-2-5
按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为?( )
A.3n ???? B.6n C.3n+6 ???? D.3n+3
答案????D 借助图形特点,可以发现:第一个图形棋子的个数为3×1+3;第
二个图形棋子的个数为3×2+3;第三个图形棋子的个数为3×3+3;……;第
n个图形棋子的个数为3n+3.
二、解答题
3.(2014福建三明中考,20,★★☆)为了鼓励居民节约用水,某市采用“阶
梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费:每月用水量不超过20吨时,
按每吨2元计费;每月用水量超过20吨时,其中的20吨仍按每吨2元计费,超过部分按每吨2.8元计费,设每户家庭每月用水量为x吨时,应交水费 y元.
(1)分别求出0≤x≤20和x>20时,y与x之间的表达式;
(2)小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元,问小颖家五月份比
四月份节约用水多少吨?
解析 (1)当0≤x≤20时,y=2x;
当x>20时,y=2×20+2.8(x-20),即y=2.8x-16.
(2)当x=20时,y=2×20=40.
∴小颖家四月份用水多于20吨,五月份用水少于20吨.
由45.6=2.8x-16,解得x=22.
由38=2x,解得x=19.
22-19=3(吨).
答:小颖家五月份比四月份节约用水3吨.
1.(2016安徽中考,6,★☆☆)2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015
年比2014年增长9.5%.若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元
和b亿元,则a、b之间满足的关系式是?( )
A.b=a(1+8.9%+9.5%) ????
B.b=a(1+8.9%×9.5%)
C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%) ????
D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)
答案????C 依题意得,2014年我省财政收入为a(1+8.9%)亿元,2015年我
省财政收入为a(1+8.9%)(1+9.5%)亿元,∴b=a(1+8.9%)(1+9.5%).故选C.
2.(2015上海中考,11,★☆☆)同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)
之间的关系式是y=?x+32.如果某一温度的摄氏度数是25 ℃,那么它的
华氏度数是 ????℉.
答案 77
解析 当x=25时,y=?×25+32=77,故答案为77.
3.(2015广东广州中考,14,★★☆)某水库的水位在5小时内持续上涨,初
始的水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位
高度y(米)与时间x(小时)(0≤x≤5)的关系式为 ????.
答案????y=0.3x+6
解析 根据题意得,x小时后水位上升的高度为0.3x米,再加上初始的水
位高度6米,得水库的水位高度为(0.3x+6)米,故当0≤x≤5时,水库的水位
高度与时间之间的关系式为y=0.3x+6.
1.若记y=f(x)=?,其中f(1)表示当x=1时y的值,即f(1)=?=?;f ?表
示当x=?时y的值,即 f ?=?=?;……,则f(1)+f(2)+f ?+f(3)+f
+…+f(2 018)+f ?= ????.
答案 2 014?
解析 本题是找规律的题目,f(1)=?,f(2)=?,f ?=?,f(3)=?,f ?=?,由
此可以发现,f(2)+f ?=1,f(3)+f ?=1,以此类推,f(2 018)+f ?=1,
所以答案是2 017?.
2.一个梯形,它的下底比上底长2 cm,它的高为3 cm,设它的上底长为x
cm,它的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式,并指出哪个变量是自变量,哪个变量是因变量;
(2)当x由5变到7时,y如何变化?
(3)用表格表示当x从3变到10时(每次增加1),y的相应值;
(4)当x每增加1时,y如何变化?说明你的理由;
(5)这个梯形的面积能等于9 cm2吗?能等于2 cm2吗?为什么?
解析 (1)y=?=3x+3,其中x是自变量,y是因变量.
(2)当x由5变到7时,y由18变到24.
(3)
x 3 4 5 6 7 8 9 10
y 12 15 18 21 24 27 30 33
(4)当x每增加1时,y增加3.
理由:当x变为x+1时,y由3x+3变为3(x+1)+3=(3x+3)+3=3x+6,所以y增加3.
(5)当y=9时,由3x+3=9,得x=2,所以这个梯形的面积能等于9 cm2.
当y=2时,由3x+3=2,得x=-?,这不符合实际情况,所以这个梯形的面积不
能等于2 cm2.
1.△ABC的底边BC为8 cm,当BC边上的高从小到大变化时,△ABC的面
积也随之变化.
(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?
(2)△ABC的面积y(cm2)与BC边上的高x(cm)之间的关系式是什么?
(3)当x增加1 cm时,y如何变化?
解析 (1)自变量是BC边上的高,因变量是△ABC的面积.
(2)y=?BC·x=?·8x=4x.
(3)当x增加1 cm时,y的值增加4 cm2.
2.如图,小明想把一长为60 cm,宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖
的长方体盒子,于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形.
?
(1)设小正方形的边长为x cm,求图中阴影部分的面积S;
(2)当x=5时,求这个盒子的体积.
解析 (1)阴影部分的面积S=(60-2x)(40-2x)
=(4x2-200x+2 400)cm2.
(2)当x=5时,S底=S=4×52-200×5+2 400=1 500 cm2.
所以这个盒子的体积为1 500×5=7 500(cm3).
