1 认识三角形
第1课时
测试时间:20分钟
一、选择题
1.图中三角形的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.下列说法错误的是( )
A.有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
B.三角形的三个内角中至少有两个内角是锐角
C.一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°
D.如果三角形的两个内角之和小于90°,那么这个三角形是钝角三角形
3.如图,以BC为边的三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
6.如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.在△ABC中,∠A=60°+∠B+∠C,则∠A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.140°
8.如图,在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE,CD相交于F,∠A=70°,∠ACD=20°,∠ABE=28°,则∠CFE的度数为( )
A.62° B.68° C.78° D.90°
二、填空题
9.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时,我们称此三角形为“希望三角形”,其中角α称为“希望角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°,那么这个“希望三角形”的“希望角”的度数为 .?
10.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,则∠EDC的度数为 . ?
11.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB= .?
1 认识三角形（答案版）
第1课时
测试时间:20分钟
一、选择题
1.图中三角形的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
1.答案 C 三角形有△ABF,△ABD,△AEC,△AED,△AFD,△ACD,△BED,△CFD,共8个.
2.下列说法错误的是( )
A.有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
B.三角形的三个内角中至少有两个内角是锐角
C.一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°
D.如果三角形的两个内角之和小于90°,那么这个三角形是钝角三角形
2.答案 A 根据锐角三角形的定义可知,三个角都是锐角的三角形是锐角三角形,故A错误.
3.如图,以BC为边的三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.答案 B 以BC为边的三角形有△BCN,△BCO,△BMC,△ABC,故选B.
4.若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.答案 A ∵三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,∴三个内角的度数分别是180°×=40°,180°×=60°,180°×=80°.∴该三角形是锐角三角形.故选A.
5.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.答案 B 由∠A=∠B=∠C,得∠B=2∠A,∠C=3∠A,代入∠A+∠B+∠C=180°,得∠A+2∠A+3∠A=180°,解得∠A=30°,所以∠B=60°,∠C=90°,即△ABC是直角三角形.
6.如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.答案 B ∵△ABC中,∠A=100°,∠B=40°,∴∠C=180°-∠A-
∠B=180°-100°-40°=40°.故选B.
7.在△ABC中,∠A=60°+∠B+∠C,则∠A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.140°
7.答案 C ∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B+∠C=180°-∠A,∵∠A=60°+∠B+∠C,
∴∠A=240°-∠A,∴∠A=120°,故选C.
8.如图,在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE,CD相交于F,∠A=70°,∠ACD=20°,∠ABE=28°,则∠CFE的度数为( )
A.62° B.68° C.78° D.90°
8.答案 A ∵△ADC中,∠A=70°,∠ACD=20°,∴∠ADC=180°-70°-20°=90°,
∴∠BDF=180°-90°=90°,在△BDF中,∠BFD=180°-∠BDF-∠DBF=180°
-90°-28°=62°,∴∠CFE=∠BFD=62°.故选A.
二、填空题
9.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时,我们称此三角形为“希望三角形”,其中角α称为“希望角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°,那么这个“希望三角形”的“希望角”的度数为 .?
9.答案 54°或84°或108°
解析 ①若54°角是α,则“希望角”的度数为54°;
②若54°角是β,则α=β=54°,所以“希望角”α=108°;
③若54°角既不是α也不是β,则α+β+54°=180°,又β=α,
所以α+α+54°=180°,解得α=84°.
综上所述,“希望角”的度数为54°或84°或108°.
10.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,则∠EDC的度数为 . ?
10.答案 25°
解析 ∵在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,∴∠ACB=180°-60°-70°=50°.∵CD是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ACB=25°.∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD=25°.
11.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB= .?
11.答案 72°
解析 设∠DAE=x.
∵∠B=2∠DAE,∠BAC=2∠B,
∴∠B=2x,∠BAC=4x.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC=2x.
∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°,
∴∠B+∠BAE=90°,∴2x+3x=90°,∴x=18°.
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-18°×2-18°×4=72°.
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第四章 三角形
第2课时
测试时间:20分钟
一、选择题
1.已知三角形的两边长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )
A.5 B.6 C.12 D.16
2.四条线段的长度分别为4,6,8,10,则可以组成三角形的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.已知等腰三角形的一边长为3 cm,且它的周长为12 cm,则它的底边长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.3 cm或6 cm
4.从长为3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段中任选三条线段,不能组成三角形的是( )
A.3 cm,6 cm,8 cm B.3 cm,6 cm,9 cm
C.3 cm,8 cm,9 cm D.6 cm,8 cm,9 cm
5.若三条线段长度的比是①1∶4∶6;②1∶2∶3;③3∶3∶6;④6∶6∶10;⑤3∶4∶5,则其中可构成三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.两根木棒的长分别是8,10,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,那么第三根木棒的长x的取值范围是 .?
7.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 .?
8.已知一个三角形的三边长为2,5,a,则a的取值范围是 ;若此三角形的周长为偶数,则a= ,此三角形的形状是 三角形. ?
三、解答题
9.若a、b、c表示△ABC的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
10.已知五根木条的长分别为10,7,5,3,2,选其中三根组成三角形,有几种选法?
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
第四章 三角形（答案版）
第2课时
测试时间:20分钟
一、选择题
1.已知三角形的两边长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )
A.5 B.6 C.12 D.16
1.答案 C 设第三边的长为x,则6
2.四条线段的长度分别为4,6,8,10,则可以组成三角形的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.答案 B 四条线段的所有组合:4,6,8;4,6,10;4,8,10;6,8,10,只有4,6,10不能组成三角形.故选B.
3.已知等腰三角形的一边长为3 cm,且它的周长为12 cm,则它的底边长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.3 cm或6 cm
3.答案 A 当3 cm是等腰三角形的腰长时,底边长=12-3×2=6(cm),∵3+3=6,∴3 cm,3 cm,6 cm不能构成三角形,∴此种情况不存在;当3 cm是等腰三角形的底边长时,腰长==4.5(cm),此时能组成三角形.∴底边长为3 cm,故选A.
4.从长为3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段中任选三条线段,不能组成三角形的是( )
A.3 cm,6 cm,8 cm B.3 cm,6 cm,9 cm
C.3 cm,8 cm,9 cm D.6 cm,8 cm,9 cm
4.答案 B A.3+6>8,可以组成三角形,故此选项不符合题意;B.3+6=9,不可以组成三角形,故此选项符合题意;C.3+8>9,可以组成三角形,故此选项不符合题意;D.6+8>9,可以组成三角形,故此选项不符合题意.故选B.
5.若三条线段长度的比是①1∶4∶6;②1∶2∶3;③3∶3∶6;④6∶6∶10;⑤3∶4∶5,则其中可构成三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.答案 B ①1+4<6,不能构成三角形;②1+2=3,不能构成三角形;③3+3=6,不能构成三角形;④6+6>10,能构成三角形;⑤3+4>5,能构成三角形.故选B.
二、填空题
6.两根木棒的长分别是8,10,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,那么第三根木棒的长x的取值范围是 .?
6.答案 2解析 由题意得10-87.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 .?
7.答案 10
解析 当三条线段的长分别为2,2,4时,∵2+2=4,∴它们不能构成三角形,∴此种情况不存在;
当三条线段的长分别为2,4,4时,能构成三角形,且周长为10.
综上所述,该等腰三角形的周长为10.
8.已知一个三角形的三边长为2,5,a,则a的取值范围是 ;若此三角形的周长为偶数,则a= ,此三角形的形状是 三角形. ?
8.答案 3解析 根据三角形的三边关系,得5-2三、解答题
9.若a、b、c表示△ABC的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
9.解析 ∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴a+b>c,b+c>a,c+a>b.
∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=-a+b+c-b+c+a-c+a+b=a+b+c.
10.已知五根木条的长分别为10,7,5,3,2,选其中三根组成三角形,有几种选法?
10.解析 能组成三角形的有10,7,5;7,5,3,共两种选法.
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
11.解析 (1)∵(a-b)2+(b-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形.
(2)∵a=5,b=2,∴5-2
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第四章 三角形
第2课时
测试时间:20分钟
一、选择题
1.已知三角形的两边长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )
A.5 B.6 C.12 D.16
2.四条线段的长度分别为4,6,8,10,则可以组成三角形的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.已知等腰三角形的一边长为3 cm,且它的周长为12 cm,则它的底边长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.3 cm或6 cm
4.从长为3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段中任选三条线段,不能组成三角形的是( )
A.3 cm,6 cm,8 cm B.3 cm,6 cm,9 cm
C.3 cm,8 cm,9 cm D.6 cm,8 cm,9 cm
5.若三条线段长度的比是①1∶4∶6;②1∶2∶3;③3∶3∶6;④6∶6∶10;⑤3∶4∶5,则其中可构成三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.两根木棒的长分别是8,10,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,那么第三根木棒的长x的取值范围是 .?
7.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 .?
8.已知一个三角形的三边长为2,5,a,则a的取值范围是 ;若此三角形的周长为偶数,则a= ,此三角形的形状是 三角形. ?
三、解答题
9.若a、b、c表示△ABC的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
10.已知五根木条的长分别为10,7,5,3,2,选其中三根组成三角形,有几种选法?
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
第四章 三角形（答案版）
第2课时
测试时间:20分钟
一、选择题
1.已知三角形的两边长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )
A.5 B.6 C.12 D.16
1.答案 C 设第三边的长为x,则62.四条线段的长度分别为4,6,8,10,则可以组成三角形的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.答案 B 四条线段的所有组合:4,6,8;4,6,10;4,8,10;6,8,10,只有4,6,10不能组成三角形.故选B.
3.已知等腰三角形的一边长为3 cm,且它的周长为12 cm,则它的底边长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.3 cm或6 cm
3.答案 A 当3 cm是等腰三角形的腰长时,底边长=12-3×2=6(cm),∵3+3=6,∴3 cm,3 cm,6 cm不能构成三角形,∴此种情况不存在;当3 cm是等腰三角形的底边长时,腰长==4.5(cm),此时能组成三角形.∴底边长为3 cm,故选A.
4.从长为3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段中任选三条线段,不能组成三角形的是( )
A.3 cm,6 cm,8 cm B.3 cm,6 cm,9 cm
C.3 cm,8 cm,9 cm D.6 cm,8 cm,9 cm
4.答案 B A.3+6>8,可以组成三角形,故此选项不符合题意;B.3+6=9,不可以组成三角形,故此选项符合题意;C.3+8>9,可以组成三角形,故此选项不符合题意;D.6+8>9,可以组成三角形,故此选项不符合题意.故选B.
5.若三条线段长度的比是①1∶4∶6;②1∶2∶3;③3∶3∶6;④6∶6∶10;⑤3∶4∶5,则其中可构成三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.答案 B ①1+4<6,不能构成三角形;②1+2=3,不能构成三角形;③3+3=6,不能构成三角形;④6+6>10,能构成三角形;⑤3+4>5,能构成三角形.故选B.
二、填空题
6.两根木棒的长分别是8,10,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,那么第三根木棒的长x的取值范围是 .?
6.答案 2解析 由题意得10-87.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 .?
7.答案 10
解析 当三条线段的长分别为2,2,4时,∵2+2=4,∴它们不能构成三角形,∴此种情况不存在;
当三条线段的长分别为2,4,4时,能构成三角形,且周长为10.
综上所述,该等腰三角形的周长为10.
8.已知一个三角形的三边长为2,5,a,则a的取值范围是 ;若此三角形的周长为偶数,则a= ,此三角形的形状是 三角形. ?
8.答案 3解析 根据三角形的三边关系,得5-2三、解答题
9.若a、b、c表示△ABC的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
9.解析 ∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴a+b>c,b+c>a,c+a>b.
∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=-a+b+c-b+c+a-c+a+b=a+b+c.
10.已知五根木条的长分别为10,7,5,3,2,选其中三根组成三角形,有几种选法?
10.解析 能组成三角形的有10,7,5;7,5,3,共两种选法.
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
11.解析 (1)∵(a-b)2+(b-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形.
(2)∵a=5,b=2,∴5-2
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第4课时
测试时间:25分钟
一、选择题
1.三角形的三条高( )
A.都在三角形内部
B.有两条在三角形外部,一条在三角形内部
C.有一条在三角形内部,另两条与三角形的两边重合
D.以上情况都存在
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是( )
A.BC是△ABE的高 B.BE是△ABD的中线
C.BD是△EBC的角平分线 D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
4.如图,在三角形ABC中,D为BC上的一点,且S△ABD=S△ADC,则AD为△ABC的( )
A.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确定
5.如图,在△ABC中,AD、CE分别是△ABC的高,且AD=2,CE=4,则AB∶BC=( )
A.3∶4 B.4∶3 C.1∶2 D.2∶1
二、填空题
6.如图所示,∠BAD=45°,AE=4 cm.
(1)如果AD是△ABC的角平分线,那么∠DAC= ; ?
(2)如果AE=CE,那么线段BE是△ABC的 ,AC的长为 ; ?
(3)如果AF是△ABC的高,那么图中以AF为高的三角形有 个. ?
三、解答题
7.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:
(1)△ABE的面积;
(2)AD的长度;
(3)△ACE与△ABE的周长的差.
8.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.
第4课时（答案版）
测试时间:25分钟
一、选择题
1.三角形的三条高( )
A.都在三角形内部
B.有两条在三角形外部,一条在三角形内部
C.有一条在三角形内部,另两条与三角形的两边重合
D.以上情况都存在
1.答案 D 锐角三角形的三条高都在三角形内部;直角三角形有一条高在三角形内部,另两条高与三角形的两边重合;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部.故选D.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是( )
A.BC是△ABE的高 B.BE是△ABD的中线
C.BD是△EBC的角平分线 D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
2.答案 D 由题意可知A、B、C都正确.故选D.
3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3.答案 B 直角三角形三条高的交点为其直角顶点,而锐角三角形三条高的交点在三角形内,钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外.故选B.
4.如图,在三角形ABC中,D为BC上的一点,且S△ABD=S△ADC,则AD为△ABC的( )
A.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确定
4.答案 C 设△ABC的BC边上的高为h,∵S△ABD=S△ADC,∴·h·BD=·h·CD,故BD=CD,即AD是△ABC的中线.故选C.
5.如图,在△ABC中,AD、CE分别是△ABC的高,且AD=2,CE=4,则AB∶BC=( )
A.3∶4 B.4∶3 C.1∶2 D.2∶1
5.答案 C ∵AD、CE分别是△ABC的高,∴=AB·CE=BC·AD,
∵AD=2,CE=4,∴AB∶BC=AD∶CE=2∶4=1∶2.故选C.
二、填空题
6.如图所示,∠BAD=45°,AE=4 cm.
(1)如果AD是△ABC的角平分线,那么∠DAC= ; ?
(2)如果AE=CE,那么线段BE是△ABC的 ,AC的长为 ; ?
(3)如果AF是△ABC的高,那么图中以AF为高的三角形有 个. ?
6.答案 (1)45° (2)中线;8 cm (3)6
解析 (1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAD=45°.
(2)∵AE=CE,∴线段BE是△ABC的中线,AC=2AE=2×4=8 cm.
(3)以AF为高的三角形有△ABD、△ABF、△ABC、△ADF、△ADC、△AFC,共6个.
三、解答题
7.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:
(1)△ABE的面积;
(2)AD的长度;
(3)△ACE与△ABE的周长的差.
7.解析 (1)∵∠BAC=90°,AB=9 cm,AC=12 cm,
∴S△ABC=AB·AC=×9×12=54(cm2).∵AE是边BC上的中线,∴BE=EC,
∴BE·AD=EC·AD,即S△ABE=S△AEC,∴S△ABE=S△ABC=27 cm2.∴△ABE的面积是27 cm2.
(2)∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∴AB·AC=BC·AD,
∴AD===(cm),即AD的长度为 cm.
(3)∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE,
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3( cm),
即△ACE与△ABE的周长的差是3 cm.
8.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.
8.解析 ∵在△ABC中,∠A+∠C+∠ABC=180°,∠C=∠ABC=2∠A,
∴5∠A=180°,∴∠A=36°,∴∠C=72°.
∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°.
在△BDC中,∠BDC+∠C+∠DBC=180°,
∴∠DBC=18°.
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第四章 三角形
初中数学（北师大版）
七年级 下册
第四章 三角形
知识点一????三角形的有关概念
1.三角形的概念:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的
图形叫做三角形.
2.三角形的基本要素:组成三角形的三条线段叫做三角形的边;相邻两
边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边夹的角叫做三角形的内角.
3.三角形的符号表示:三角形用符号“△”表示,顶点是A、B、C的三角
形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.
一般地,△ABC的三边用a、b、c表示时,∠A所对的边BC用a表示;∠B所
对的边AC用b表示;∠C所对的边AB用c表示.
4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.三边都相等的三角形是等边三角形.
例1 如图4-1-1所示,图中共有多少个三角形?请把它们分别表示出来.
?
图4-1-1
分析 因为所有三角形都有一条边在BC上,所以要数清三角形的个数,
其实只要数清线段BC上共有多少条线段就行了.
解析 共有6个三角形,分别是△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△
ADC、△AEC.
知识点二????三角形三个内角之间的关系
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可
以求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各
个内角的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
温馨提示????按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最
大内角的度数,若最大内角为锐角,则该三角形为锐角三角形;若最大内
角为直角,则该三角形为直角三角形;若最大内角为钝角,则该三角形为
钝角三角形.
4.表示方法:通常我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”.直角所对的边叫做直角三角形的斜边,夹直角的两条边叫做直角边.如图4-1-2所示.
图4-1-2
性质:直角三角形的两个锐角互余.如在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°.
例2 根据下列所给条件,判断△ABC的形状.
(1)∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°;
(2)∠C=110°;
(3)∠C=90°;
(4)AB=BC=3,AC=4.
分析 根据三角形的分类标准进行判断.若已知的是角,则按角的分类
标准去判断.若已知的是边,则按边的分类标准去判断.
解析 (1)因为∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°,
所以∠A<∠B<∠C<90°.
所以△ABC是锐角三角形.
(2)因为∠C=110°>90°,
所以△ABC是钝角三角形.
(3)因为∠C=90°,
所以△ABC是直角三角形.
(4)因为AB=BC=3,AC=4,
所以△ABC是等腰三角形.
知识点三????三角形的三边关系
文字叙述 数学语言 理论依据 图形
三角形的
三边关系 内容 三角形任意两边的和大于第三边 在△ABC中,a,b,c为三边长,则有a+b>c,b+c>a,a+c>b 两点之间,线段最短 ?
三角形任意两边的差小于第三边 在△ABC中,a,b,c为三边长,则有a-b 应用 (1)判断三条线段能否组成三角形.
(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围
知识详解 (1)三角形第三边的取值范围:两边之差的绝对值<第三边<两边之和.
(2)三角形两边之和是指任意两边的和,应用时通常取两条较短边的和与第三边作比较.
(3)三角形两边之差是指任意两边的差,应用时通常取最大边与最小边的差与第三边作比较.
(4)三角形三边关系的运用可判断已知的三条线段a,b,c能否构成一个三角形.判断的方法有三种:a.当a+b>c,b+c>a,a+c>b都成立时,a,b,c可构成三角形;b.当|a-b|a时,a,b,c可构成三角形
例3????(2017江苏扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三
角形的周长可能是?( )
A.6 ????B.7 ???? C.11 ????D.12
解析 设第三边的长为x,∵三角形两边的长分别是2和4,∴4-2即2答案????C
知识点四????三角形的高、中线和角平分线
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
定义 如图,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画
垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高
? 如图,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△
ABC的边BC上的中线
? 如图,画∠BAC的平分线
AD交∠BAC所对的边BC
于点D,所得线段AD叫做
△ABC的角平分线
?
推理语言 ∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°,∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°) ∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC=?BC ∵AD是△ABC的角平分
线,∴∠BAD=∠CAD=?∠
BAC
用途举例 (1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等;(2)得到
面积相等 得到角相等
线段
的位置 锐角三角形 三条高全在三角形内 三条中线全在三角形内 三条角平分线全在三角形
内
直角三角形 一条高在三角形内,另外
两条与两直角边重合
钝角三角形 三角形内一条,三角形外两条
线段(或其所在直
线)的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内 三条中线交于三角形内一
点(这一点称为三角形的
重心) 交点在三角形内
直角三角形 交点在直角顶点处
钝角三角形 交点在三角形外
共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线)都分别交于一个点,它们都是线段
知识拓展 (1)由三角形的高与三角形一边的垂线都能得到直角,但本质不同,三角形的高是一条线段,而三角形一边的垂线是一条直线.
(2)三角形的中线是一条线段,它把三角形分成两个面积相等的小三角形.
(3)三角形的角平分线是一条线段,而角的平分线是一条射线
例4????(2018浙江湖州吴兴期中)如图4-1-3,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有?( )
①AD是△ABE的角平分线;
②BE是△ABD的边AD上的中线;
③CH是△ACD的边AD上的高;
④AH是△ACF的角平分线和高.
?
图4-1-3
A.1个 ????B.2个 ????C.3个 ????D.4个
解析 ①根据三角形的角平分线的概念知AG是△ABE的角平分线,故
①错误;②根据三角形的中线的概念知BG是△ABD的边AD上的中线,故
②错误;③根据三角形的高的概念知CH为△ACD的边AD上的高,故③
正确;④根据三角形的角平分线和高的概念知AH是△ACF的角平分线
和高线,故④正确.故选B.
答案????B
题型一????三角形三边关系的实际应用
例1 如图4-1-4所示,在小河的同侧有A,B,C三个村庄,图中的线段表示
道路,某邮递员从A村送信到B村,总是走经过C村的道路,不走经过D村
的道路,这是为什么呢?
请你利用你所学的数学知识说明理由.
图4-1-4
解析 如图4-1-5,延长AC交BD于点E,
由三角形的三边关系可知,
在△ADE中,AD+DE>AC+CE.①
在△CBE中,CE+BE>BC.②
由①和②得AD+DE+BE+CE>AC+BC+CE.
所以AD+BD>AC+BC.
图4-1-5
点拨 (1)实际问题首先需要抽象为几何模型,为此,视村庄为点,道路为
线,路程的长短用线段和的不等关系表示.
(2)解决几条线段间的不等关系,应利用三角形的三边关系,为此,连接
AB,得BD+DA>AB,CA+CB>AB,但仍无法得出结论,故可考虑构造另外的
三角形,找到所要说明的线段之间的关系.
例2 如图4-1-6所示,在△ABC中,已知点D、E、F分别为BC、AD、CE
的中点,且△ABC的面积是4 cm2,则阴影部分的面积等于?( )
?
图4-1-6
A.2 cm2 ???? B.1 cm2
C.0.25 cm2 ????D.0.5 cm2
题型二????三角形的中线与面积
解析 ∵点F是CE的中点,
∴BF是△BCE的中线,
∴S△BEF=?S△BEC,
同理得S△BDE=?S△ABD,S△EDC=?S△ADC,
∴S△EBC=?S△ABC,
∴S△BEF=?S△ABC,
又S△ABC=4 cm2,
∴S△BEF=1 cm2,即阴影部分的面积为1 cm2.
答案????B
点拨 三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形.
易错点????对三角形高的概念掌握得不好
例 已知在钝角△ABC中,∠A为钝角,作出△ABC的高BD.
错解 如图4-1-7.
?
图4-1-7
错因分析 没有弄清楚三角形的高的概念.
正解 如图4-1-8.
图4-1-8
知识点一????三角形的有关概念
1.下列4个图形都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是?( )
?
答案????C 按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的图形,只有C
中的图形是三角形.
2.图4-1-1中有几个三角形?将它们分别表示出来,并指出它们的顶点和边.
?
图4-1-1
解析 题图中有3个三角形,可分别表示为△ABC、△ABE、△AEC.
△ABC的顶点是A、B、C,边是AB、BC、CA;
△ABE的顶点是A、B、E,边是AB、BE、AE;
△AEC的顶点是A、E、C,边是AE、EC、AC.
知识点二????三角形三个内角之间的关系
3.(2017广西南宁中考)如图4-1-2,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等
于?( )
?
图4-1-2
A.100° ????B.80° ????C.60° ????D.40°
答案????B 由三角形内角和定理得,∠C=180°-∠A-∠B=80°,故选B.
4.(2017四川巴中中考)若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则
这个三角形是?( )
A.锐角三角形 ????B.等边三角形
C.钝角三角形 ????D.直角三角形
答案????D????设三个内角的度数分别为x,2x,3x,根据三角形内角和定理得x
+2x+3x=180°,解得x=30°,∴三个内角的度数分别为30°,60°,90°,则这个
三角形为直角三角形,故选D.
知识点三????三角形三边的关系
5.(2017江苏淮安中考)若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长
可能是?( )
A.14 B.10 ????C.3 D.2
答案????B 设第三边长为x,则8-5是10,故选B.
6.以下面各组长度的线段为边,能组成等腰三角形的是?( )
A.2、2、4 ????B.3、4、5
C.4、5、5 ????D.6、6、20
答案????C????A.2+2=4,不能构成三角形;B.3+4>5,能构成三角形,但不是等腰三角形;C.4+5>5,能构成三角形,且是等腰三角形;D.6+6<20,不能构成三角形.
知识点四????三角形的高、中线和角平分线
7.如图4-1-3,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分
∠EBC,则下列说法中不正确的是?( )
图4-1-3
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△ABE的高
答案????C 在△ABD中,AE=DE,说明点E是△ABD的边AD的中点,所以
BE是△ABD的中线,故A中说法正确.在△BCE中,∠EBC是△BCE的一个
内角,又BD平分∠EBC交EC于点D,所以BD是△BCE的角平分线,故B中
说法正确.由条件只能得到BE是△ABD的中线,而不能得到BE是△ABD
的角平分线,所以不能得到∠1=∠2,故C中说法错误.由∠C=90°得BC垂
直于AE,交AE的延长线于点C,在△ABE中,AE是一边,所以BC是△ABE
的高,故D中说法正确.故选C.
8.如图4-1-4所示,AD是△ABC中BC边上的中线,DE是△ADC中AC边上
的中线,若△ABC的面积为4,则△DEC的面积为 ????.
?
图4-1-4
答案 1
解析 ∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ACD=?S△ABC=2.同理,S△DEC=?S△ACD
=?×2=1.
1.如图,∠A=35°,∠B=∠C=80°,则∠D的度数是?( )
?
A.35° ????B.55° ????C.65° ????D.75°
答案????A ∵∠AOB=∠COD,∠A+∠B+∠AOB=180°,
∴∠COD=∠AOB=180°-35°-80°=65°,
又∵∠C+∠D+∠COD=180°,∴∠D=180°-80°-65°=35°.
2.适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数是?( )
①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②∠A+∠B=∠C;
③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=2∠C.
A.1 ????B.2 ????C.3 ????D.4
答案????C ①设∠A=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则x+2x+3x=180,∴x=30,∴∠C
=3x°=90°.
②∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=∠C,∴2∠C=180°,∴∠C=90°.
③∵∠A=90°-∠B,∴∠A+∠B=90°.∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°.
④由∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠B=2∠C,得2∠C+2∠C+∠C=180°,
∴∠C=36°,∴∠A=∠B=72°.故选C.
3.(2016江苏海安二模)若三角形的三边长分别为3,4,x,则x的值可能是?
( )
A.1 ????B.6 ????C.7 ????D.10
答案????B ∵4-3=1,4+3=7,∴14.(2016云南楚雄北浦中学中考模拟)如图,△ABC的BC边上的高、
△BCE的BE边上的高、△ACD的AC边上的高分别是?( )
?
A.AF、CD、CE ????B.AF、CE、CD
C.AC、CE、CD ????D.AC、CD、CE
答案????B △ABC的BC边上的高是AF;△BCE的BE边上的高是CE;
△ACD的AC边上的高是CD,故选B.
5.如图,AD是△ABC的中线,AB>AC,AB=8 cm,△ABD与△ACD的周长差
为2 cm,则AC= ????cm.
?
答案 6
解析????△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+AD+DC.∵AB>
AC,AD是△ABC的中线,∴△ABD的周长-△ACD的周长=AB-AC=2 cm,
∵AB=8 cm,∴AC=8-2=6 cm.
1.已知三角形的两边长分别是2 cm、3 cm,则该三角形的周长l的取值范
围是?( )
A.1 cmC.5 cm答案????D 设三角形第三边的长为x cm,则l=2+3+x=(5+x)cm.
∵3-22.如图4-1-5,将纸片△ABC沿着DE折叠压平,则?( )
?
图4-1-5
A.∠A=∠1+∠2 ???? B.∠A=?(∠1+∠2)
C.∠A=?(∠1+∠2) ????D.∠A=?(∠1+∠2)
答案????B ∠B+∠C=∠AED+∠ADE=180°-∠A,又∠B+∠C+∠1+
∠AED+∠ADE+∠2=360°,得2(180°-∠A)+∠1+∠2=360°,化简得
∠A=?（∠1+∠2).
3.在△ABC中,高BD和CE所在直线相交于O点,若△ABC不是直角三角
形,且∠A=60°,则∠BOC= ????.
答案 120°或60°
解析 当△ABC为锐角三角形时,∠BOC=120°;当△ABC为钝角三角形
时,∠BOC=60°.
4.如图4-1-6,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,
∠BCE=40°.求∠ADB的度数.
?
图4-1-6
解析 因为AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,
所以∠DAC=∠BAD=30°.
因为CE是△ABC的高,∠BCE=40°,所以∠B=50°.
所以∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°.
5.如图4-1-7,已知AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BC=5,AC=4,
AD=3,求BE的长.
?
图4-1-7
解析 根据面积公式得?BC·AD=?AC·BE,
即?×5×3=?×4·BE,所以BE=3.75.
1.已知a,b,c是△ABC的三边长,且(a+b+c)(a-b)=0,则△ABC一定是?(???? )
A.等腰三角形 ????B.直角三角形
C.等边三角形 ????D.以上答案都不对
答案????A ∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b+c>0,
∵(a+b+c)(a-b)=0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.
2.将一副直角三角板按图所示的方式放置,使含30°角的三角板的较短
直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为?( )
?
A.75° ????B.60° ????C.45° ????D.30°
答案????A 如图.∵∠2+∠3=90°+90°=180°,∴CB∥DF,
∴∠4=∠F=30°.
又∵∠B=45°,∠4+∠5+∠B=180°,
∴∠5=180°-30°-45°=105°.
又∵∠1+∠5=180°,
∴∠1=180°-105°=75°.
?
3.如图,已知在△ABC中,AE平分∠BAC,过AE延长线上一点F作FD⊥BC
于D,若∠F=6°,∠C=30°,则∠B= ????.
?
答案 42°
解析 ∵FD⊥BC,∴∠EDF=90°,又∵∠F=6°,
∴∠DEF=90°-∠F=84°,
又∵∠AED+∠DEF=180°,∴∠AED=180°-84°=96°.
在△AEC中,∵∠AED+∠EAC+∠C=180°,
∴∠EAC=180°-96°-30°=54°,
∵AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠EAC=108°.
在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=180°-108°-30°=42°.
一、选择题
1.(2018福建莆田仙游期中,3,★☆☆)在下列长度的四组线段中,不能组
成三角形的是?( )
A.3 cm,4 cm,5 cm
B.5 cm,7 cm,8 cm
C.3 cm,5 cm,9 cm
D.7 cm,7 cm,9 cm
答案????C????A项,3+4>5,能够组成三角形,故此选项不合题意;B项,5+7>8,
能够组成三角形,故此选项不合题意;C项,3+5<9,不能组成三角形,故此
选项符合题意;D项,7+7>9,能够组成三角形,故此选项不合题意.故选C.
2.(2018江苏扬州树人学校阶段练习,8,★★★)如图4-1-8,在△ABC中,已
知点D,E分别为BC,AD的中点,EF=2FC,且△ABC的面积为12,则△BEF
的面积为?( )
?
图4-1-8
A.5 ????B.? ????C.4 ????D.?
答案????C 由中线把三角形分成两个面积相等的小三角形,可得S△ABC=
S△ABD+S△ACD=2S△BED+2S△CDE=2S△BEC=12,所以S△BEC=6,S△BEF=?S△BEC=?×6=4.
二、填空题
3.(2018山东临沂月考,15,★☆☆)如图4-1-9,AD是△ABC的中线,已知
△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为 ????cm.
?
图4-1-9
答案 19
解析 ∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,
∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,
∵△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,
∴△ACD的周长为25-6=19(cm).
1.(2018浙江义乌月考,10,★★☆)边长为整数,周长为20的三角形个数是
?( )
A.4 ????B.6 ????C.8 ????D.12
答案????C 满足条件的三角形有8个,分别是(9,9,2),(8,8,4),(7,7,6),(6,6,8),
(9,6,5),(9,7,4),(9,8,3),(8,7,5).故选C.
2.(2017山东泰安新泰中考模拟,16,★★★)已知一个三角形的三条边长
均为正整数.若其中仅有一条边长为5,且它又不是最短边,则满足条件的
三角形个数为?( )
A.4 B.6 ????
C.8 D.10
答案????D ①当5是最大的边长时,可能的情况有3、4、5;4、4、5;3、
3、5;4、2、5,共四种情况.②当5是第二大的边长时,可能的情况有2、
5、6;3、5、7;3、5、6;4、5、6;4、5、7;4、5、8,共六种情况.所以共
有10个三角形.故选D.
一、选择题
1.(2017湖南长沙中考,5,★☆☆)一个三角形三个内角的度数之比为1∶
2∶3,则这个三角形一定是?( )
A.锐角三角形 ????B.直角三角形
C.钝角三角形 ????D.等腰直角三角形
答案????B 根据三角形的内角和为180°,可知三个角分别为30°、60°、
90°,因此这个三角形是直角三角形.故选B.
2.(2015湖南长沙中考,10,★☆☆)过△ABC的顶点A作BC边上的高,以下
作法正确的是?( )
?
答案????A △ABC中BC边上的高是从顶点A向BC边作垂线段.故选A.
二、填空题
3.(2018甘肃定西中考,15,★★☆)已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足
|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c= ????.
答案 7
解析 ∵a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,
∴a-7=0,b-1=0,
解得a=7,b=1,
∵7-1=6,7+1=8,
∴6又∵c为奇数,
∴c=7.
已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-
c|-|c-a-b|的结果为?( )
A.2a+2b-2c ????B.2a+2b
C.2c ???? D.0
答案????D ∵a,b,c为△ABC的三条边长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,∴原式=a+b
-c+(c-a-b)=0.故选D.
1.不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=
4;若四条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该四条线段的
长度和的最小值为1+1+2+3=7;……,依此规律,若八条整数长度的线段
中,任意三条不能构成三角形,则该八条线段的长度和的最小值为 ????
????.
答案 54
解析 1+1+2+3+5+8+13+21=54.
2.(2018天津西青期末)如图4-1-10,△ABC中,A1,A2,A3,…,An为AC边上不
同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中
便有6个不同的三角形,……
?
图4-1-10
(1)完成下表:
连接个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数
(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点?
(3)若一直连接到An,则图中共有 ????个三角形.
解析 (1)
(2)共连接了8个点.
(3)1+2+3+…+(n+1)=?[1+2+3+…+(n+1)+1+2+3+…+(n+1)]=?(n+1)(n+
2).故填?(n+1)(n+2).
连接个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
1.如图,用四个螺丝钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框,不计螺丝钉
大小,其中相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的
夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝钉
间的距离的最大值为( )
?
A.6 ????B.7 ????C.8 ????D.10
答案????B????已知相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,故可将4根
木条的长看做2、3、4、6.①选5(2+3=5)、4、6作为三边长,5-4<6<5+4,
能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为6;②选7(3+4=7)、6、2
作为三边长,6-2<7<6+2,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为
7;③选10(4+6=10)、2、3作为三边长,2+3<10,不能构成三角形,此种情
况不成立;④选8(6+2=8)、3、4作为三边长,3+4<8,不能构成三角形,此
种情况不成立.综上所述,任意两个螺丝钉间的距离的最大值为7.故选B.
2.各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有
???? ????个.
答案 20
解析 ∵三角形的各边长度都是整数,最大边长为8,∴三边长可以为1,
8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,
8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8.故各边长度都是整数,最大边长为8
的三角形共有20个.
