2 图形的全等
测试时间:25分钟
一、选择题
1.下列说法错误的是( )
A.能够完全重合的两个图形叫全等图形
B.面积相等的两个三角形是全等图形
C.全等图形的形状和大小都一样
D.平移、旋转前后的图形是全等图形
2.下列各组图形中不是全等图形的是( )
3.已知△ABC≌△A'B'C',其中∠A'=35°,∠B'=70°,则∠C=( )
A.55° B.60° C.70° D.75°
4.已知图中的两个三角形全等,则∠1等于( )
A.72° B.60° C.50° D.58°
5.如图所示,若△ABC≌△DEC,则不能得到的结论是( )
A.AB=DE B.∠A=∠D C.BC=CD D.∠ACD=∠BCE
6.如图,若△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
7.如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,若△ADE≌△BDE≌△BDC,则∠A的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
8.如图,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点,若△ADE≌△CFE,则下列结论中不正确的是( )
A.AD=CF B.AB∥CF C.AC⊥DF D.E是AC的中点
二、填空题
9.如图,已知△ABC≌△BAD,若AB=6,AC=4,BC=5,则△BAD的周长为 .?
10.若△ABC≌△A'B'C',AB=24,S△A'B'C'=180,则△ABC的边AB上的高是 .?
11.如图,若△ABC≌△ADE,∠EAC=40°,则∠BAD= °.?
三、解答题
12.如图,已知△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上,∠A=50°,∠F=40°.
(1)求△DBE的各内角的度数;
(2)若AD=16,BC=10,求AB的长.
13.已知:如图所示,△ABC≌△DEF,且∠A=52°,∠B=31°21',DE=10 cm,求∠F的度数与AB的长.
2 图形的全等（答案版）
测试时间:25分钟
一、选择题
1.下列说法错误的是( )
A.能够完全重合的两个图形叫全等图形
B.面积相等的两个三角形是全等图形
C.全等图形的形状和大小都一样
D.平移、旋转前后的图形是全等图形
1.答案 B 三角形的面积相等时,三角形的形状不一定相同,所以两图形不一定全等.
2.下列各组图形中不是全等图形的是( )
2.答案 C 因为C中两个图形的形状、大小均不一样,所以选C.
3.已知△ABC≌△A'B'C',其中∠A'=35°,∠B'=70°,则∠C=( )
A.55° B.60° C.70° D.75°
3.答案 D ∵△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=180°-35°-70°=75°.
4.已知图中的两个三角形全等,则∠1等于( )
A.72° B.60° C.50° D.58°
4.答案 D 由三角形内角和为180°得题图①中边b所对的角的度数是180°-50°-72°=58°,由全等三角形的对应角相等得∠1=58°.
5.如图所示,若△ABC≌△DEC,则不能得到的结论是( )
A.AB=DE B.∠A=∠D C.BC=CD D.∠ACD=∠BCE
5.答案 C 因为△ABC≌△DEC,所以AB=DE,∠A=∠D,BC=EC,∠ACB=∠DCE,所以∠ACD=∠BCE,故选C.
6.如图,若△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
6.答案 B ∵∠B=80°,∠C=30°,∴∠BAC=180°-80°-30°=70°,∵△ABC≌△ADE,∴∠DAE=∠BAC=70°,∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=70°-35°=35°.故选B.
7.如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,若△ADE≌△BDE≌△BDC,则∠A的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
7.答案 D ∵△ADE≌△BDE≌△BDC,∴∠ADE=∠BDE=∠BDC,∠AED=∠BED,又∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°,∠AED+∠BED=180°,∴∠ADE=60°,∠AED=90°,∴∠A=30°.故选D.
8.如图,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点,若△ADE≌△CFE,则下列结论中不正确的是( )
A.AD=CF B.AB∥CF C.AC⊥DF D.E是AC的中点
8.答案 C ∵△ADE≌△CFE,∴AD=CF,∠A=∠ECF,AE=CE,∴AB∥CF,点E是AC的中点,∴A、B、D正确.∵∠AED不一定为直角,∴AC⊥DF不一定成立,∴C项不正确.故选C.
二、填空题
9.如图,已知△ABC≌△BAD,若AB=6,AC=4,BC=5,则△BAD的周长为 .?
9.答案 15
解析 ∵△ABC≌△BAD,∴AD=CB=5,BD=AC=4,∵AB=6,∴△BAD的周长为5+4+6=15.
10.若△ABC≌△A'B'C',AB=24,S△A'B'C'=180,则△ABC的边AB上的高是 .?
10.答案 15
解析 ∵△ABC≌△A'B'C',∴S△ABC=S△A'B'C'=180,又AB=24,∴△ABC的边AB上的高为180×2÷24=15.故答案为15.
11.如图,若△ABC≌△ADE,∠EAC=40°,则∠BAD= °.?
11.答案 40
解析 因为△ABC≌△ADE,所以∠CAB=∠EAD,
所以∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB,
所以∠BAD=∠EAC=40°.
三、解答题
12.如图,已知△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上,∠A=50°,∠F=40°.
(1)求△DBE的各内角的度数;
(2)若AD=16,BC=10,求AB的长.
12.解析 (1)∵△ACF≌△DBE,∠A=50°,∠F=40°,
∴∠D=∠A=50°,∠E=∠F=40°,∴∠EBD=180°-∠D-∠E=90°.
∴△DBE的各内角的度数分别为40°、50°、90°.
(2)∵△ACF≌△DBE,∴AC=BD,∴AC-BC=DB-BC,∴AB=CD,
∵AD=16,BC=10,∴AB=CD=(AD-BC)=3.
13.已知:如图所示,△ABC≌△DEF,且∠A=52°,∠B=31°21',DE=10 cm,求∠F的度数与AB的长.
13.解析 因为△ABC≌△DEF,
所以AB=DE=10 cm,∠F=∠C,
又∠C=180°-(∠A+∠B)
=180°-(52°+31°21')
=96°39',
所以∠F=96°39'.
1
(共42张PPT)
第四章 三角形
初中数学（北师大版）
七年级 下册
知识点一????全等图形
定义 判定依据
全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形 (1)形状相同;
(2)大小相等
知识详解 (1)“全等”用符号“≌”表示,其中“∽”表示形状相同,“=”表示大小相等,合起来就是形状相同、大小相等,即“全等”.
(2)全等图形关注的是两个图形的形状和大小,而不是图形所在的位置,即把两个图形叠合在一起,看是否能够完全重合,能够完全重合则为全等图形.
(3)两个全等图形的面积一定相等,但面积相等的两个图形不一定全等
例1 如果我们规定形状和大小相同的图形是好朋友,你能帮它们迅速
找到自己的好朋友吗?(如图4-2-1)
?
?
图4-2-1
分析 判断两个图形是不是全等图形,取决于这两个图形能否完全重
合.全等图形的形状与大小是相同的.
解析????A与I;B与J;C与G;D与F;E与H.
知识点二????全等三角形
1.全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,重合
的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.
2.表示方法:用符号“≌”来表示两个三角形全等.符号“≌”读作“全
等于”.
注意:(1)在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置
上,这样容易找出对应边、对应角.
(2)寻找对应边和对应角的常用方法:
对应角:①对应边所对的角是对应角;②两条对应边所夹的角是对应角;
③有公共角,一定是对应角;④有对顶角,一定是对应角;⑤最大的角是对
应角,最小的角是对应角.
对应边:①对应角所对的边是对应边;②两个对应角所夹的边是对应边;
③有公共边,一定是对应边;④最长的边是对应边,最短的边是对应边.
3.全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
如图4-2-2,由于△ABC≌△A'B'C',所以∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C';AB
=A'B',AC=A'C',BC=B'C'.
?
图4-2-2
注意:(1)此性质是证明有关边、角的等量关系的重要依据.
(2)由全等的定义还可得出全等三角形的周长相等、面积相等这一隐含
性质.
例2 如图4-2-3所示,△ABC≌△DCB,指出所有的对应边和对应角.
?
图4-2-3
分析 方法一:已知△ABC≌△DCB,故公共边BC和CB是对应边,它们所
对的∠A和∠D是对应角,最短边AB和DC是对应边,它们所对的∠ACB
和∠DBC是对应角,余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.
方法二:根据书写规范可知点A和点D,点B和点C,点C和点B是对应顶点,
两组对应顶点的夹边是对应边,对应边所对的角是对应角.
解析????AB与DC,AC与DB,BC与CB是对应边;∠ABC与∠DCB,∠A与
∠D,∠ACB与∠DBC是对应角.
题型????利用全等三角形的性质解决全等变换问题
例 如图4-2-4,将长方形ABCD沿DE折叠,使点C恰好落在BA边上的点C'处,若∠C'EB=40°,求∠EDC'的度数.
?
图4-2-4
分析 由于折叠前的△DEC与折叠后的△DEC'完全重合,因此它们全
等,得到∠DEC'=∠DEC,∠DC'E=∠C=90°.可先求出∠DEC'的度数,再
求∠EDC'的度数.
解析 由题意,得△DEC≌△DEC',
∴∠DEC'=∠DEC,∠DC'E=∠C=90°.
∵∠C'EB+∠DEC'+∠DEC=180°,∠C'EB=40°,
∴∠DEC'=?=70°.
在△DEC‘中,∠EDC’=180°-∠DC‘E-∠DEC’=180°-90°-70°=20°.
点拨????平移、翻折、旋转都是图形的全等变换,利用任何一种全等变换
所得的新图形都与原图形全等,有了全等就可以利用相关的性质得到相
等的线段和相等的角,进而解决与线段、角有关的计算和证明问题.一
定要明确全等变换的方法,找出新图形与原图形的对应关系,避免得到
错误的结论.
易错点????不能准确找出全等三角形的对应边和对应角
例 如图4-2-5,△ABC≌△CDA,AB和CD,BC和DA是对应边,请写出另
一组对应边和对应角.
?
图4-2-5
错解 另一组对应边是AC和AC;对应角有∠BAC和∠DAC,∠B和∠D,
∠BCA和∠ACD.
错因分析 没有弄清楚图形中哪些角是两个图形的对应角.
正解 另一组对应边是AC和AC;对应角为∠BAC和∠ACD,∠B和∠D,
∠BCA和∠DAC.
知识点一????全等图形
1.对于两个图形,给出下列说法:①两个图形的周长相等;②两个图形的
面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大
小也相等.其中能得到这两个图形全等的说法共有?( )
A.1个 ????B.2个 ????
C.3个 ????D.4个
答案????A ①周长相等的两个图形不一定重合,所以不一定全等;②如果
面积相同而形状不同也不全等;③如果周长相同面积相同而形状不同,
则不全等;④两个图形的形状相同,大小也相等,则二者一定完全重合,则
这两个图形全等.故选A.
2.图4-2-1(1)~(12)中全等的图形是 ????; ????; ????;
????; ????;????.
(填图形的序号)
?
图4-2-1
答案 (1)和(11);(2)和(10);(3)和(6);(4)和(7);(5)和(8);(9)和(12)
知识点二????全等三角形
3.如图4-2-2,如果△ABC和△CDA是全等三角形,那么一定是一组对应
边的是?( )
?
图4-2-2
A.AB和CD ????B.AC和AC
C.AD和CB ????D.AD和DC
答案????B????AC是两个三角形的公共边,所以一定是两个全等三角形的对
应边,其他对应边不能确定.
4.(2016四川成都中考)如图4-2-3,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=
24°,则∠B= ????°.
?
图4-2-3
答案 120
解析 ∵△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=24°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180
°-36°-24°=120°.
5.如图4-2-4,将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠,使D点落在BC上
(与点N重合),如果AD=10 cm,DM=8.4 cm,∠DAM=40°,则AN= ????cm,
∠NAB= ????.
?
图4-2-4
答案 10;10°
解析 由折叠知△ANM≌△ADM,∴AN=AD=10 cm,∠NAM=∠DAM=
40°,∴∠NAB=90°-∠NAM-∠DAM=90°-40°-40°=10°.
1.观察下列图形,其中是全等图形的是?( )
?
答案????A 全等图形不受位置摆放的限制.
2.下列叙述:①能够完全重合的两个图形一定是全等图形;②全等图形
的面积一定相等;③两个周长相等的图形一定是全等图形.其中正确的
个数是?( )
A.0 ????B.1 ????C.2 ????D.3
答案????C ①②正确,故选C.
3.如图所示,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论:①AC=AF;
②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是
?( )
?
A.1 ????B.2 ????C.3 ????D.4
答案????C????AC和AF,EF和BC分别是对应边,所以AC=AF,EF=BC,因此①
③正确.因为∠BAC和∠EAF是对应角,所以∠BAC=∠EAF,所以∠EAB=
∠FAC,因此④正确.易知②错误.
4.(2016重庆云阳盛堡初级中学月考)如图,若△ABE≌△ACF,且AB=7,
AE=3,则EC的长为?( )
?
A.3 ????B.4 ????C.4.5 ????D.5
答案????B 因为△ABE≌△ACF,所以AC=AB=7,又因为AE=3,所以EC=
AC-AE=7-3=4,故选B.
1.(2018山东临沂月考)如图4-2-5,已知△ABC≌△CDE,那么下列结论中,
不正确的是?( )
?
图4-2-5
A.AC=CE ??? ?B.∠BAC=∠ECD
C.∠ACB=∠ECD ????D.∠B=∠D
答案????C ∵△ABC≌△CDE,∴∠ACB=∠CED,AC=CE,∠BAC=
∠ECD,∠B=∠D,∴C选项中∠ACB=∠ECD是错的.故选C.
2.(2018甘肃武威凉州期末)如图4-2-6,△ABC≌△A'B'C,∠ACB=90°,
∠A'CB=20°,则∠BCB'的度数为?( )
?
图4-2-6
A.20° ????B.40° ????C.70° ????D.90°
答案????C ∵△ACB≌△A'CB',∴∠ACB=∠A'CB',又∠ACB=90°,∠A'CB
=20°,∴∠BCB'=∠A'CB'-∠A'CB=70°.故选C.
3.(2018福建龙岩上杭期中)如图4-2-7,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则
DE的长是 ????.
?
图4-2-7
答案 5
解析 ∵BE=4,AE=1,∴AB=BE+AE=4+1=5,∵△ABC≌△DEF,∴DE=
AB=5.故答案为5.
4.如图4-2-8,∠C=∠CAM=90°,AC=8,BC=4,P、Q两点分别在线段AC和射线AM上运动,且PQ=AB.若△ABC与△PQA全等,则AP的长度为 ???? ????.
?
图4-2-8
答案 8或4
解析 当△ABC≌△PQA时,AP=AC=8;当△ABC≌△QPA时,AP=BC=4,
故答案为8或4.
1.已知△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,若△DEF的周长为偶数,则EF的取
值为?( )
A.3 ????B.4 C.5 ????D.3或4或5
答案????B ∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC.∵AB=2,AC=4,∴4-2即2的周长为偶数,所以EF=4.故选B.
2.已知△ABC的三边长分别为7,5,3,△DEF的三边长分别为3x-2,2x-1,3,
若这两个三角形全等,则x= ????.
答案 3
解析 ∵△ABC与△DEF全等,∴3x-2=7且2x-1=5,此时x=3,或3x-2=5且
2x-1=7,此时不存在满足条件的x.故答案为3.
一、选择题
1.(2018广东河源正德中学段考,7,★☆☆)已知△ABC≌△DEF,∠A=
80°,∠E=40°,则∠F等于?( )
A.80° ????B.40° ????C.60° ????D.120°
答案????C ∵△ABC≌△DEF,∴∠D=∠A=80°,∴∠F=180°-∠D-∠E=
180°-80°-40°=60°.
二、填空题
2.(2018江苏宝应城郊中学期末,16,★★☆)如图4-2-9,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点G,若∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,则∠DGB= ????.
?
图4-2-9
答案 70°
解析 ∵∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,
∴∠AFB=180°-(∠B+∠CAB+∠DAC)=86°,
∴∠GFD=∠AFB=86°.
∵△ABC≌△ADE,
∴∠D=∠B=24°,
∴∠DGB=180°-∠D-∠GFD=70°.
1.(2018山东潍坊寿光期末,7,★★☆)如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的
直线向右平移到Rt△DEF,则下列结论中,错误的是?( )
?
A.BE=EC ????B.BC=EF
C.AC=DF ????D.△ABC≌△DEF
答案????A ∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF,∴BC=EF,AC=DF,∴BC-EC=EF-EC,即BE=CF,∴只
有选项A是错误的,故选A.
2.(2017河南周口太康期中,12,★★☆)已知△ABC≌△DEF,BC=EF=
5 cm,△ABC的面积是20 cm2,那么△DEF中EF边上的高是 ????cm.
答案 8
解析 ∵△ABC≌△DEF,BC=EF=5 cm,△ABC的面积是20 cm2,∴?BC·
h=20(h为△ABC中BC边上的高),∴h=8 cm,则△DEF中EF边上的高是
8 cm.
3.(2018吉林四平伊通期末,16,★★★)如图,A、C、N三点在同一直线
上,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,若△MNC≌△ABC,则
∠BCM∶∠BCN= ????.
?
答案 1∶4
解析 ∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A=30°,∠ABC=50°,∠ACB=100°.∵△MNC≌△ABC,∴∠N=∠ABC
=50°,∠M=∠A=30°,∴∠MCA=∠M+∠N=80°,∴∠BCM=20°,∠BCN=
80°,∴∠BCM∶∠BCN=1∶4.????
一、选择题
1.如图4-2-10,点E,F在线段BC上,△ABF与
△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则
∠DCE=?( )
?
图4-2-10
A.∠B ????B.∠A ????C.∠EMF ????D.∠AFB
答案????A ∵△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,
∴∠DCE=∠B,故选A.
二、填空题
2.(2015广西柳州中考,14,★☆☆)如图4-2-11,△ABC≌△DEF,则EF
=???? ????.
?
图4-2-11
答案 5
解析 ∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC=5.
如图,△ABD≌△CBD,若∠A=80°,
∠ABC=70°,则∠ADC的度数为 ????°.
?
答案 130
解析 ∵△ABD≌△CBD,∴∠C=∠A=80°,又∵∠A+∠ABC+∠C+
∠ADC=360°,∴∠ADC=360°-80°-70°-80°=130°.
1.全等三角形又叫做合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三
角形与镜面合同三角形,假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形,且
点A与点A1对应,点B与点B1对应,点C与点C1对应,当沿周界A→B→C→A
及A1→B1→C1→A1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形
(如图4-2-12①所示);若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图
4-2-12②所示).两个真正合同三角形,都可以在平面内通过平移或旋转
使它们重合;而两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中的一个翻折.
?
图4-2-12
下列各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是?( )
?
答案????B 解题的关键是准确理解题目中新概念的意义和性质.易知要
使B中两个三角形重合,必须将其中一个进行翻折,故选B.
2.如图4-2-13所示,已知△ABE≌△ACD.
(1)说明△ABE经过怎样的变换后可与△ACD重合;
(2)∠BAD与∠CAE有何关系?请说明理由;
(3)BD与CE相等吗?为什么?
?
图4-2-13
解析 (1)先将△ABE沿DC方向平移,使B与C重合,再将平移后的△ABE
沿过C且垂直于DC的直线翻折,即可使△ABE与△ACD重合(方法不唯
一).
(2)∠BAD=∠CAE.
理由:∵△ABE≌△ACD,∴∠BAE=∠CAD.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠CAD=∠CAE+∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
(3)相等.理由:∵△ABE≌△ACD,∴BE=CD,
∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE.
1.长为1的一根绳恰好可围成两个三边长都不相等的全等三角形,则其
中一个三角形的最长边x的取值范围为?( )
A.?≤xC.?答案????C 由题意可得两个三角形的周长相等,且为?.设三角形中除最
长边x外,另外两边为y,z,则x+y+z=?,∵y+z>x,∴xy,x>z,
∴x>?.综上可得?2.如图,△ABE≌△EDC,E在BD上,AB⊥BD,B为垂足.
?
(1)试问:AE和EC相等吗?AE和CE垂直吗?
(2)分别将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转,分别画出满足下列条
件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角.
①使AE与CE重合;②使AE与CE垂直;③使AE与EC在同一直线上.
解析 (1)AE和EC相等且垂直.
∵△ABE≌△EDC,∴AE=EC,∠A=∠CED,
∵AB⊥BD,∴∠A+∠AEB=90°,∴∠CED+∠AEB=90°,
∴∠AEC=180°-90°=90°,∴AE⊥CE.
(2)如图所示,相等的边有AB=ED,AE=EC,BE=DC;
相等的角有∠BAE=∠DEC,∠ABE=∠EDC,∠AEB=∠ECD.
?
