3 探索三角形全等的条件
第1课时 (SSS)
测试时间:25分钟
一、选择题
1.如图,AB=AC,BD=CD,则可推出( )
A.△BAD≌△BCD B.△ABD≌△ACD
C.△ACD≌△BCD D.△ACE≌△BDE
2.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2=110°,∠BAE=60°,则下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE
C.∠ACE=30° D.∠1=70°
3.如图,在四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AC,AE,若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
4.如图,线段AD与BC相交于点O,连接AB、AC、BD,若AC=BD,AD=BC,则下列结论中不正确的是( )
A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA
C.OB=OC D.∠C=∠D
二、填空题
5.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的 性.?
6.如图,已知AB=CD,AD=BC,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中有 对全等三角形.?
7.工人师傅常用角尺平分一个任意角,作法如图所示,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使得角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C作射线OC,则射线OC平分∠AOB.由作法得△MOC≌△NOC的依据是 .?
8.如图,AB=DE,AC=DF,BF=CE.
(1)若BC=18 cm,则FE= ; ?
(2)若∠B=50°,∠D=80°,则∠DFE的度数是 .?
9.“三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的知识得到的结论,那么小明得到全等三角形的依据是
(用字母表示).?
三、解答题
10.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC.
(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
11.如图所示,AB=AC,AD=AE,BD=CE,试说明:∠BAD=∠CAE.
3 探索三角形全等的条件（答案版）
第1课时 (SSS)
测试时间:25分钟
一、选择题
1.如图,AB=AC,BD=CD,则可推出( )
A.△BAD≌△BCD B.△ABD≌△ACD
C.△ACD≌△BCD D.△ACE≌△BDE
1.答案 B ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).
2.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2=110°,∠BAE=60°,则下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE
C.∠ACE=30° D.∠1=70°
2.答案 C ∵BE=CD,∴BE-DE=CD-DE,∴BD=CE,∵AB=AC,AD=AE,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE,∴∠B=∠ACE=∠2-∠BAE=50°,∴C选项错误.
3.如图,在四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AC,AE,若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
3.答案 D ∵E是BC的中点,∴BE=CE.在△ABE和△ACE中,
∴△ABE≌△ACE(SSS).
在△ACE和△CAD中,∴△ACE≌△CAD(SSS),∴△ABE≌△CAD,故选D.
4.如图,线段AD与BC相交于点O,连接AB、AC、BD,若AC=BD,AD=BC,则下列结论中不正确的是( )
A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA
C.OB=OC D.∠C=∠D
4.答案 C A项,根据SSS可以证明△ABC≌△BAD,故本选项正确;B项,根据全等三角形的对应角相等,得∠CAB=∠DBA,故本选项正确;C项,OB和OC显然不是对应边,故本选项错误;D项,根据全等三角形的对应角相等,得∠C=∠D,故本选项正确.故选C.
二、填空题
5.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的 性.?
5.答案 稳定
解析 三角形的支架很稳固,这是利用了三角形的稳定性.
6.如图,已知AB=CD,AD=BC,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中有 对全等三角形.?
6.答案 3
解析 由题意可知△ABE≌△CDF,△AED≌△CFB,△ABD≌△CDB,∴共有3对全等三角形.
7.工人师傅常用角尺平分一个任意角,作法如图所示,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使得角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C作射线OC,则射线OC平分∠AOB.由作法得△MOC≌△NOC的依据是 .?
7.答案 边边边
8.如图,AB=DE,AC=DF,BF=CE.
(1)若BC=18 cm,则FE= ; ?
(2)若∠B=50°,∠D=80°,则∠DFE的度数是 .?
8.答案 (1)18 cm (2)50°
解析 ∵BF=CE,∴BF+FC=CE+CF,
∴BC=EF,又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF,∴FE=BC=18 cm,∠E=∠B=50°,又∠D=80°,则∠DFE=180°-50°-80°=50°.
9.“三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的知识得到的结论,那么小明得到全等三角形的依据是
(用字母表示).?
9.答案 SSS
解析 ∵在△DEH和△DFH中,∴△DEH≌△DFH(SSS),∴∠DEH=∠DFH.
三、解答题
10.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC.
(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
10.解析 (1)连接OE,如图所示,
在△AOE和△COE中,∴△AOE≌△COE(SSS),∴∠A=∠C.
(2)作辅助线的意图是构造全等三角形.
11.如图所示,AB=AC,AD=AE,BD=CE,试说明:∠BAD=∠CAE.
11.解析 在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS),
∴∠BAD=∠CAE(全等三角形的对应角相等).
5
第2课时 (ASA AAS)
测试时间:25分钟
一、选择题
1.如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AC∥DB,且AC=BD,那么△AEC≌△BFD的理由是( )
A.SSS B.AAS C.SAS D.ASA
2.如图,已知∠A=∠D,∠B=∠DEF,AB=DE.若BF=6,EC=1,则BC的长为( )
A.4 B.3.5 C.3 D.2.5
3.在△ABC和△DEF中,若∠C=∠D,∠B=∠E,要判定△ABC≌△FED,还要添加的条件为( )
A.AB=ED B.AC=FD C.AB=FD D.∠A=∠F
4.在△ABC和△EMN中,已知∠A=50°,∠B=60°,∠E=70°,∠M=60°,AC=EN,则这两个三角形( )
A.一定全等 B.一定不全等 C.不一定全等 D.以上都不对
5.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E点,AD⊥CE于D点,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,则BE的长为( )
A.0.8 cm B.1 cm C.1.5 cm D.4.2 cm
二、填空题
6.如图,黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片,现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃,正确的办法是带第 块去配,依据是定理 (可以用字母简写).?
7.如图,AC、BD相交于点O,∠ABC=∠DCB,根据“ASA”得△ABC≌△DCB,需补充的条件是 ,根据“AAS”得△ABC≌△DCB,需补充的条件是 .?
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,CB=4,延长CB至点D,使BD=AC,作∠BDE=90°,∠DBE=∠A,则DE的长为 . ?
三、解答题
9.如图,AB∥CD,E是CD上的一点,BE交AD于点F,EF=BF.
试说明:AF=DF.
10.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,试说明:△ABC≌△ADE.
11.如图,在△ABC中,高AD与高BE相交于点H,且AD=BD,问△BHD≌△ACD吗?为什么?
第2课时 (ASA AAS)（答案版）
测试时间:25分钟
一、选择题
1.如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AC∥DB,且AC=BD,那么△AEC≌△BFD的理由是( )
A.SSS B.AAS C.SAS D.ASA
1.答案 B ∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠AEC=∠BFD=90°.∵AC∥DB,∴∠A=∠B.
在△AEC和△BFD中,∴△AEC≌△BFD(AAS),故选B.
2.如图,已知∠A=∠D,∠B=∠DEF,AB=DE.若BF=6,EC=1,则BC的长为( )
A.4 B.3.5 C.3 D.2.5
2.答案 B ∵在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA),
∴BC=EF,则BE=CF,∴BF=2BE+EC,又BF=6,EC=1,∴BE=2.5,
∴BC=BE+EC=3.5,故选B.
3.在△ABC和△DEF中,若∠C=∠D,∠B=∠E,要判定△ABC≌△FED,还要添加的条件为( )
A.AB=ED B.AC=FD C.AB=FD D.∠A=∠F
3.答案 B 如图,可添加AC=FD,在△ABC和△FED中,
∵∴△ABC≌△FED(AAS).故选B.
4.在△ABC和△EMN中,已知∠A=50°,∠B=60°,∠E=70°,∠M=60°,AC=EN,则这两个三角形( )
A.一定全等 B.一定不全等 C.不一定全等 D.以上都不对
4.答案 A ∵∠A=50°,∠B=60°,∴∠C=70°,在△ABC和△NME中,
∴△ABC≌△NME(AAS),故选A.
5.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E点,AD⊥CE于D点,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,则BE的长为( )
A.0.8 cm B.1 cm C.1.5 cm D.4.2 cm
5.答案 A ∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠DCA=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
∴△CEB≌△ADC(AAS),∴BE=DC,CE=AD=2.5 cm.
∵DC=CE-DE,DE=1.7 cm,∴DC=2.5-1.7=0.8 cm,∴BE=0.8 cm,故选A.
二、填空题
6.如图,黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片,现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃,正确的办法是带第 块去配,依据是定理 (可以用字母简写).?
6.答案 ③;ASA
解析 因为第③块中有完整的两个角以及它们的夹边,利用ASA易证三角形全等,故应带第③块去配.
7.如图,AC、BD相交于点O,∠ABC=∠DCB,根据“ASA”得△ABC≌△DCB,需补充的条件是 ,根据“AAS”得△ABC≌△DCB,需补充的条件是 .?
7.答案 ∠ACB=∠DBC;∠A=∠D
解析 由∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC可得△ABC≌△DCB(ASA);
由∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,BC=CB可得△ABC≌△DCB(AAS).
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,CB=4,延长CB至点D,使BD=AC,作∠BDE=90°,∠DBE=∠A,则DE的长为 . ?
8.答案 4
解析 ∵∠C=90°,∠BDE=90°,∴∠C=∠BDE,
在△ACB和△BDE中,∴△ACB≌△BDE(ASA),∴DE=CB,∵CB=4,∴DE=4,故答案为4.
三、解答题
9.如图,AB∥CD,E是CD上的一点,BE交AD于点F,EF=BF.
试说明:AF=DF.
9.解析 ∵AB∥CD,∴∠B=∠DEF,在△AFB和△DFE中,
∵
∴△AFB≌△DFE.∴AF=DF.
10.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,试说明:△ABC≌△ADE.
10.解析 ∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
∵∠B+∠1=∠ADE+∠3,且∠1=∠3,∴∠B=∠ADE.
在△ABC和△ADE中,∴△ABC≌△ADE(AAS).
11.如图,在△ABC中,高AD与高BE相交于点H,且AD=BD,问△BHD≌△ACD吗?为什么?
11.解析 △BHD≌△ACD.
理由:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC,∴∠DAC=∠EBD.
在△BHD和△ACD中,
∴△BHD≌△ACD(ASA).
1
第3课时 (SAS)
测试时间:25分钟
一、选择题
1.如图,△ABC和△DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根据“SAS”判定△ABC≌△DEF还需要的条件是( )
A.∠A=∠D B.∠B=∠DEF C.∠ACB=∠F D.以上均可以
2.如图,AC、BD交于E点,AC=BD,AE=BE,∠B=35°,∠1=95°,则∠D的度数是( )
A.60° B.35° C.50° D.75°
3.工人师傅用同一种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3 cm,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为( )
A.45 cm B.48 cm C.51 cm D.54 cm
4.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA
5.如图,在①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE四个条件中,能说明△ABD与△ACE全等的一组条件是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④
6.下列条件中,可以确定△ABC和△A'B'C'全等的是( )
A.BC=BA,B'C'=B'A',∠B=∠B' B.∠A=∠B',AC=A'B',AB=B'C'
C.∠A=∠A',AB=B'C',AC=A'C' D.BC=B'C',AC=A'B',∠B=∠C'
二、填空题
7.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠OAD等于 度. ?
8.如图,点B、E、C、F在一条直线上,∠B=∠DEF,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= .?
9.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 (添加一个条件即可).?
10.把两根钢条A'B、AB'的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).如图,若测得AB=5厘米,则工件内槽宽为 厘米.?
三、解答题
11.如图,点C是AE的中点,∠A=∠ECD,AB=CD.试说明:∠B=∠D.
12.如图,在△ABC和△CED中,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.试说明:∠B=∠E.
第3课时 (SAS)（答案版）
测试时间:25分钟
一、选择题
1.如图,△ABC和△DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根据“SAS”判定△ABC≌△DEF还需要的条件是( )
A.∠A=∠D B.∠B=∠DEF C.∠ACB=∠F D.以上均可以
1.答案 B 要利用“SAS”判定△ABC≌△DEF,已知AB=DE,BC=EF,还缺少夹角相等,即∠B=∠DEF,故选B.
2.如图,AC、BD交于E点,AC=BD,AE=BE,∠B=35°,∠1=95°,则∠D的度数是( )
A.60° B.35° C.50° D.75°
2.答案 A ∵AC=BD,AE=BE,∴BD-BE=AC-AE,即ED=EC.在△ADE和△BCE中,
∴△ADE≌△BCE,∴∠A=∠B=35°,∴∠D=∠1-∠A=60°.
3.工人师傅用同一种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3 cm,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为( )
A.45 cm B.48 cm C.51 cm D.54 cm
3.答案 A ∵BF=EC,BC=BF+FC,EF=EC+CF,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴C△DEF=C△ABC=24 cm.
∵CF=3 cm,∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45(cm).
4.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA
4.答案 B A.由“SAS”可判定△ABD≌△ACD,C.由“AAS”可判定△ABD≌△ACD,D.由“ASA”可判定△ABD≌△ACD.
5.如图,在①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE四个条件中,能说明△ABD与△ACE全等的一组条件是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④
5.答案 C 当满足条件①③④时,可根据“边角边”说明△ABD与△ACE全等.故选C.
6.下列条件中,可以确定△ABC和△A'B'C'全等的是( )
A.BC=BA,B'C'=B'A',∠B=∠B' B.∠A=∠B',AC=A'B',AB=B'C'
C.∠A=∠A',AB=B'C',AC=A'C' D.BC=B'C',AC=A'B',∠B=∠C'
6.答案 B 在已知两组边对应相等和一组角对应相等的情况下,只有根据“SAS”才能得到两三角形全等,本题中只有B符合要求,A、C、D都不符合“SAS”,故选B.
二、填空题
7.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠OAD等于 度. ?
7.答案 95
解析 在△OBC中,∠OBC=180°-∠O-∠C=180°-60°-25°=95°.
在△OBC和△OAD中,∴△OBC≌△OAD,∴∠OAD=∠OBC=95°.故答案是95.
8.如图,点B、E、C、F在一条直线上,∠B=∠DEF,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= .?
8.答案 6
解析 ∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF,∵AC=6,∴DF=6.故答案为6.
9.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 (添加一个条件即可).?
9.答案 ∠B=∠C(或AE=AD或∠AEB=∠ADC)
解析 添加∠B=∠C(或AE=AD或∠AEB=∠ADC)后可根据“ASA”(或“SAS”或“AAS”)判定△ABE≌△ACD.
10.把两根钢条A'B、AB'的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).如图,若测得AB=5厘米,则工件内槽宽为 厘米.?
10.答案 5
解析 连接AB,设两根钢条交于O点.∵把两根钢条A'B、AB'的中点连在一起,∴AO=B'O,BO=A'O.
在△AOB和△B'OA'中,∴△AOB≌△B'OA'(SAS),
∴A'B'=AB=5 cm.
三、解答题
11.如图,点C是AE的中点,∠A=∠ECD,AB=CD.试说明:∠B=∠D.
11.解析 ∵点C是AE的中点,∴EC=CA,在△CAB和△ECD中,
∴△CAB≌△ECD(SAS),∴∠B=∠D.
12.如图,在△ABC和△CED中,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.试说明:∠B=∠E.
12.解析 ∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD,
在△ABC和△CED中,
∴△ABC≌△CED(SAS),∴∠B=∠E.
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第四章 三角形
初中数学（北师大版）
七年级 下册
知识点一????判定三角形全等的条件——边边边
内容 应用格式 图形表示
边边边(SSS) 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”) 在△ABC和△A'B'C'中,
∵?
∴△ABC≌
△A'B'C'(SSS) ?
注意 用“≌”表示时,对应顶点写在对应的位置上
例1 如图4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C
在同一直线上,试说明:△ABF≌△DCE.
图4-3-1
分析 要说明△ABF≌△DCE,需要得出这两个三角形的三对对应边相
等,题目提供的条件中“AB=DC,AF=DE”恰好是对应边相等,我们只需
再得到BF=CE即可,这个可由“BE=CF”运用等式性质,两边同时加上
EF获得.
解析 ∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,?
∴△ABF≌△DCE(SSS).
知识点二????判定三角形全等的条件——角边角、角角边
内容 应用格式 图形表示
角边角
(ASA) 两角和它们的夹边分别相等的两
个三角形全等(可以简写成“角
边角”或“ASA”) 在△ABC和△A'B'C'中,
∵?
∴△ABC≌
△A'B'C'(ASA) ?
角角边
(AAS) 两角分别相等且其中一组等角的
对边相等的两个三角形全等(可
以简写成“角角边”或
“AAS”) 在△ABC和△A'B'C'中,
∵?
∴△ABC≌
△A'B'C'(AAS) ?
知识详解 (1)用“ASA”判定两个三角形全等的条件是两角及这两个角的夹边对应相等.因此列举两个三角形全等
的条件时,一定要把夹边写在中间,以突出边角的位置及对应关系,避免出错.
(2)用“AAS”来判定两个三角形全等时,要注意边是其中一角的对边,三个条件一定要对应,按“角角边”
的顺序列出全等的三个条件.
(3)“AAS”与“ASA”的联系
结合三角形的内角和定理可知,“AAS”可由“ASA”推导得出,将两者结合起来可得出:两个三角形,如
果具备两个角和一边对应相等,就可判定其全等.其中“对应”必不可少.如图,△ABC与△DEF不全等
?
例2????(2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线
上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
?
图4-3-2
分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS
得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减
去EC即可得BE=CF.
解析 ∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,
在△ABC和△DEF中,?
∴△ABC≌△DEF(AAS),∴BC=EF,
∴BC-CE=EF-CE,即BE=CF.
知识点三????判定三角形全等的条件——边角边
内容 应用格式 图形表示
边角边
(SAS) 两边和它们的夹角分别相等的两
个三角形全等(可以简写成“边
角边”或“SAS”) 在△ABC和△A'B'C'中,
∵?
∴△ABC≌
△A'B'C'(SAS) ?
知识详解 (1)用“SAS”判定两个三角形全等时,对应相等的三对元素中的角必须是两条边的夹角,而不是其中一边
的对角.书写时,要按照边角边的顺序来写.
?
(2)当角是一组相等边的对角,即两边和其中一边的对角分别相等时,两个三角形不一定全等.如图所示,在
△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B(∠B分别是AC,AD边的对角),显然△ABC和△ABD不全等
例3????(2017四川南充中考)如图4-3-3,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是
点E、F,DE=CF,AE=BF,试说明:AC∥BD.
?
图4-3-3
分析 欲得出AC∥BD,只要得出∠A=∠B,从而只要得出△DEB≌
△CFA即可.
解析 ∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEB=∠AFC=90°,
∵AE=BF,∴AF=BE.在△DEB和△CFA中,
?∴△DEB≌△CFA(SAS),
∴∠B=∠A,∴AC∥DB.
知识点四????全等三角形判定方法的灵活运用
判定两个三角形全等时,如果给出的条件不全面,则需要根据已知的条
件结合相应的判定方法进行分析,先找出所缺的条件再说明全等.
具体思路如下:
(1)已知两边 思路一(找第三边) 思路二(找角)
?
AB=DE,BC=EF 首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等 ①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用
“SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定
全等(后面会学到)
(2)已知两角 思路一(找夹边) 思路二(找角的对边)
?
∠A=∠D,∠B=∠E 首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全
等 首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用
“AAS”判定全等
(3)已知一边一角 思路一(找夹
角的另一边) 思路二(找夹
边的另一角) 思路三
(找边的对角)
? ①边为角的邻边:AB=
DE,∠B=∠E 首先找出BC=EF,然
后应用“SAS”判定
全等 首先找出∠A=∠D,然后应用“ASA”判定全
等 首先找出∠C=∠F,然
后应用“AAS”判定
全等
②边为角的对边:AC
=DF,∠B=∠E 找边的邻角对应相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等
例4 如图4-3-4,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其
延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,
并说明理由.你添加的条件是 ????(不添加辅助线).
图4-3-4
分析 由中点知BD=CD,又由对顶角相等知∠BDF=∠CDE,故可添加一
个条件用“SAS”或“AAS”或“ASA”判定两三角形全等.
解析 可添加的条件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=
∠DFB).
理由:(以DE=DF为例)∵D是BC的中点,∴BD=CD.在△BDF和△CDE中,
?
∴△BDF≌△CDE(SAS).
知识点五????三角形的稳定性
只要三角形三条边的长确定了,这个三角形的大小和形状就确定了,这
就是三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中应用很广,无论什
么构件,只要做成三角形形状,放于任何地方都不变形.
例5 木匠师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图4-3-5,要使这个木
架不变形,他至少要再钉上 ????根木条. ?????( )
?
图4-3-5
A.0 ????B.1 ????C.2 ????D.3
解析 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性.
答案????B
题型一????利用三角形全等说明两直线的位置关系
例1 如图4-3-6,△ABC是等边三角形,D是AB上一点,以CD为边作等边
三角形CDE,使点E,A在直线CD的同侧,连接AE.试说明:AE∥BC.
?
图4-3-6
分析 根据等边三角形的三边相等,三个角相等,推出AC=BC,CE=CD,
∠B=∠BCA=∠ECD=60°,进而得出∠ACE=∠BCD,从而根据“SAS”
得出△ACE≌△BCD,可得∠EAC=∠B=60°=∠BCA,进而得出AE∥BC.
解析 因为△ABC和△DEC是等边三角形,
所以AC=BC,CE=CD,∠B=∠BCA=∠ECD=60°.
所以∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,?
所以△ACE≌△BCD(SAS),
所以∠EAC=∠B=60°=∠BCA.
所以AE∥BC.
点拨 要得出两直线平行,一般将问题转化为两角(同位角、内错角或
同旁内角)的关系,可利用三角形全等来完成.
题型二????利用三角形全等解决线段的和(差)问题
例2 如图4-3-7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过点B,C向过点A
的直线作垂线,垂足分别为点E,F.
?
图4-3-7
(1)如图4-3-7①,过点A的直线与斜边BC不相交时,试说明:EF=BE+CF;
(2)如图4-3-7②,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变.若BE=10,
CF=3,求EF的长.
分析 (1)首先根据已知条件得出△ABE≌△CAF,然后利用对应边相等
就可以得出EF=BE+CF.(2)与(1)同理可知△ABE≌△CAF仍成立,再根
据对应边相等求出EF的长.
解析 (1)因为BE⊥EF,CF⊥EF,
所以∠BEA=∠AFC=90°.
因为∠BAC=∠BEA=90°,
所以∠EAB+∠FAC=90°,∠EBA+∠EAB=90°.
所以∠EBA=∠FAC.
在△ABE和△CAF中,?
所以△ABE≌△CAF(AAS).
所以AE=CF,BE=AF.所以EF=BE+CF.
(2)与(1)同理可得到△ABE≌△CAF.
所以AE=CF=3,AF=BE=10.
所以EF=AF-AE=10-3=7.
点拨 解决线段的和(差)问题,通常把各线段转化到同一条直线上,可用
全等三角形进行转化.
易错点????错用“SAS”
例 如图4-3-8,∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,AD=BC,试说明:△ABD
≌△BAC.
?
图4-3-8
错解 在△ABD和△BAC中,
因为?
所以△ABD≌△BAC(SAS).
错因分析 ∠CAB和∠DBA并不是AD与AB和BC与AB的夹角.
正解 因为∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,
所以∠DAC+∠CAB=∠CBD+∠DBA,即∠DAB=∠ABC.
在△ABD和△BAC中,
因为?所以△ABD≌△BAC(SAS).
知识点一????判定三角形全等的条件——边边边
1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判
定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=
BE;④BF=BE,可利用的是?( )
?
图4-3-1
A.①或② ????B.②或③ ????C.①或③ ????D.①或④
答案????A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定,
只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可
以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④
不可以,故选A.
2.如图4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA,则添
加的条件是 ????.
?
图4-3-2
答案????AB=CD
3.如图4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,试说明:△ABC≌△AED.
?
图4-3-3
解析 因为BD=CE,所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED.
在△ABC和△AED中,?所以△ABC≌△AED.
知识点二????判定三角形全等的条件——角边角、角角边
4.如图4-3-4,小红同学把一块三角形的玻璃打碎成
了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,
那么最省事的办法是?( )
A.带①去 ????B.带②去
C.带③去 ????D.带①和②去
图4-3-4
答案????C ③中有完整的∠B,∠C和BC边,由“ASA”可配出完全一样
的玻璃.
5.已知在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,
还需添加一个条件,这个条件可以是 ????.
答案 ∠C=∠C1或∠B=∠B1
6.如图4-3-5,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD
及其延长线上的点,CF∥BE.请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF.(不
再添加其他线段,不再标注或使用其他字母)
?
图4-3-5
(1)你添加的条件是 ????;
(2)试说明:△BDE≌△CDF.
解析 (1)BD=DC(或点D是线段BC的中点或ED=FD或CF=BE).
(2)以BD=DC为例进行说明:
因为CF∥BE,所以∠EBD=∠FCD.
又因为BD=DC,∠EDB=∠FDC,所以△BDE≌△CDF.
知识点三????判定三角形全等的条件——边角边
7.如图4-3-6,AB∥CD,AB=CD,BE=DF,则图中的全等三角形有?( )
?
图4-3-6
A.3对 ????B.4对 ????C.5对 ????D.6对
答案????A ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.
由“SAS”可判定△ABD≌△CDB,△ABE≌△CDF,
进而可证得△AED≌△CFB.
8.(2018广东中山期末)如图4-3-7,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=
∠C.试说明:∠A=∠D.
?
图4-3-7
解析????∵BE=FC,∴BE+EF=FC+EF,即BF=EC,
在△ABF和△DCE中,?
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠A=∠D.
知识点四????全等三角形判定方法的灵活运用
9.已知△ABC的六个元素,则图4-3-8②中的甲、乙、丙三个三角形和图
4-3-8①中的△ABC全等的是?( )
?
图4-3-8
A.甲、乙 ????B.丙 ????C.乙、丙 ????D.乙
答案????C 由SAS可判定乙三角形与△ABC全等,由AAS可判定丙三角
形与△ABC全等.
10.(2016江苏连云港灌云西片月考)如图4-3-9,已知:点B、F、C、E在一
条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件得出AB∥ED?如果能,
请说明理由;如果不能,请从下列四个条件中选择一个合适的条件,添加
到已知条件中,使AB∥ED成立,并说明理由.
供选择的四个条件:①AB=DE;②∠A=∠D=90°;③∠ACB=∠DFE;④∠A
=∠D.
?
图4-3-9
解析 不能;选择条件①AB=DE(还可选择条件②或③,但不能选择条件④).
理由:∵FB=CE,∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,?
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠B=∠E,∴AB∥ED.
知识点五????三角形的稳定性
11.下面图形中具有稳定性的是?( )
?
答案????A 三角形具有稳定性.故选A.
12.如图4-3-10是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两根木条后,它
的形状将会改变,若想固定其形状,下列有四种加固木条的方法,不能固
定形状的是钉在 ????两点上的木条.( )
?
图4-3-10
A.A,F ????B.B,E ????C.C,A ????D.E,F
答案????D
1.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是?????( )
?
A.△ABD≌△ACD ???? B.∠ADB=90°
C.∠BAD是∠B的一半 ????D.AD平分∠BAC
答案????C 由“SSS”可判定△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC=90°,
∠BAD=∠CAD.∴A、B、D选项均正确.
2.如图,在△ABC和△ADE中,①AB=AD;②AC=AE;③BC=DE;④∠C=
∠E;⑤∠B=∠ADE.下列四个选项分别以其中三个为条件,剩下两个为
结论,则错误的是?( )
?
A.若①②③成立,则④⑤成立
B.若②④⑤成立,则①③成立
C.若①③⑤成立,则②④成立
D.若①②④成立,则③⑤成立
答案????D????SSA不能判定三角形全等.
3.教室的门松动了,老师用一根木条斜着钉上去,门就不松动了,这是什
么道理?
解析 因为教室的门是四边形,四边形具有不稳定性,易松动.斜钉一根
木条就变成了三角形,而三角形具有稳定性,所以门就不再松动了.
4.如图,AB=CD,AB∥CD,CE=AF.试说明:∠E=∠F.
?
解析 ∵CE=AF,∴AE=CF.
∵AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB.
在△ABE与△CDF中,?
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠E=∠F.
1.(2015湖北宜昌中考)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图4
-3-11,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形
的性质时,得到如下结论:
①AC⊥BD;②AO=CO=?AC;③△ABD≌△CBD.
其中正确的结论有?( )
?
图4-3-11
A.0个 ????B.1个 ????C.2个 ????D.3个
答案????D 在△ABD与△CBD中,?
∴△ABD≌△CBD(SSS),
∴∠ADB=∠CDB,
在△AOD与△COD中,
?
∴△AOD≌△COD(SAS),
∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC,
∴AC⊥DB,AO=CO=?AC.
综上,①②③正确,故选D.
2.(2015四川宜宾中考)如图4-3-12,AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE.试说
明:∠A=∠D.
?
图4-3-12
解析????∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE,即∠DCE=
∠ACB.
在△ACB和△DCE中,?
∴△ACB≌△DCE,∴∠A=∠D.
3.如图4-3-13,已知A,D,E三点共线,C,B,F三点共线,AB=CD,AD=CB,DE=
BF,那么BE与DF之间有什么数量关系?请说明理由.
?
图4-3-13
解析????BE=DF.理由如下:
如图,连接BD.
?
在△ABD和△CDB中,?
所以△ABD≌△CDB(SSS).
所以∠A=∠C.
因为AD=CB,DE=BF,所以AD+DE=CB+BF,即AE=CF,
在△ABE和△CDF中,?
所以△ABE≌△CDF(SAS),
所以BE=DF.
1.(2016河北唐山乐亭期中)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC
到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC—
CD—DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为 ????时,
△ABP和△DCE全等.?????( )
?
A.1 ????B.1或3 ????C.1或7 ????D.3或7
答案????C????AB=CD,∠DCE=90°,若∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE=2,则根
据SAS可证得△ABP≌△DCE,此时BP=2t=2,所以t=1;若∠BAP=∠DCE
=90°,AP=CE=2,则根据SAS可证得△BAP≌△DCE,此时AP=16-2t=2,解
得t=7.综上,当t的值为1或7时,△ABP和△DCE全等.故选C.
2.如图,已知点D是△ABC的边AB上一点,AB∥FC,DF交AC于点E,DE=
EF.试说明:△ADE≌△CFE.
?
解析 解法一:∵AB∥FC,∴∠F=∠ADE.
在△ADE和△CFE中,有?
∴△ADE≌△CFE(ASA).
解法二:∵AB∥FC,∴∠A=∠ECF,
在△ADE和△CFE中,有?
∴△ADE≌△CFE(AAS).
3.如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,点E为BC的中点,点F为BD的中点,
连接AE,AF,AE=AF.试说明:∠C=∠D.
?
解析????∵点E、点F分别为BC、BD的中点,
∴BE=?BC,BF=?BD,
又∵BC=BD,∴BE=BF.
在△ABE和△ABF中,?
∴△ABE≌△ABF(SSS),
∴∠ABE=∠ABF(全等三角形的对应角相等).
在△ABC和△ABD中,?
∴△ABC≌△ABD(SAS),
∴∠C=∠D(全等三角形的对应角相等).
一、选择题
1.(2018甘肃临泽二中月考,6,★☆☆)如图4-3-14所示,在下列条件中,不
能判断△ABD≌△BAC的条件是?( )
?
图4-3-14
A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABC
B.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC
C.BD=AC,∠BAD=∠ABC
D.AD=BC,BD=AC
答案????C 对于C,∠BAD与∠ABC不是BD和AB与AC和AB的夹角,所以
不能判断△ABD≌△BAC.
二、填空题
2.(2018广东佛山顺德江义初中期中,11,★☆☆)如图4-3-15所示,建高楼
常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,这是因为三
角形具有 ????.
?
图4-3-15
答案 稳定性
3.(2018江苏无锡宜兴月考,14,★★☆)如图4-3-16,∠DAB=∠EAC=65°,
AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于点O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,
则∠DOE的度数是 ????.????
?
图4-3-16
答案 115°
解析 ∵∠DAB=∠EAC=65°,
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC,∴∠DAC=∠EAB.
在△ADC和△ABE中,
?∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴∠E=∠ACD,又∵∠AFE=∠OFC,
∴∠EAF=∠COF=65°,∴∠DOE=180°-∠COF=115°.
三、解答题
4.(2018广东河源正德中学段考,22,★☆☆)如图4-3-17,已知AB=AC,∠B
=∠C,试说明:BD=CE.
?
图4-3-17
解析 在△ABD和△ACE中,
∵∠B=∠C,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
5.(2017陕西西安七十中月考,21,★☆☆)如图4-3-18,AB=AC,AD=AE,BE
=CD,试说明:△ABD≌△ACE.
?
图4-3-18
解析 ∵BE=CD,∴BE+ED=CD+ED,即BD=CE.又∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
1.(2018四川成都成华月考,11,★★☆)如图,A、B、C、D四点在一条直
线上,AB=CD,EC⊥AD于C,FB⊥AD于B,若要使△ACE≌△DBF,则还需
补充条件 ????.(写出一种即可)
?
答案 ∠A=∠D(或∠E=∠F或CE=BF或AE=DF等)
解析 ∵A、B、C、D四点在一条直线上,AB=CD,∴AC=BD.又EC⊥
AD于C,FB⊥AD于B,∴∠ACE=∠DBF=90°,
∴当根据ASA判定△ACE≌△DBF时,需要添加∠A=∠D.当根据AAS判
定△ACE≌△DBF时,需要添加∠E=∠F.当根据SAS判定△ACE≌
△DBF时,需要添加CE=BF.当根据HL判定Rt△ACE≌Rt△DBF时,需要添
加AE=DF.
故答案是∠A=∠D(或∠E=∠F或CE=BF或AE=DF等).
2.(2018江苏扬州广陵月考,15,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=
AC,分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE,垂足分别为D、E,若
BD=3,CE=2,则DE= ????.
?
答案 5
解析 ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵BD⊥DE,∴∠BDA=90°,
∴∠BAD+∠DBA=90°,
∴∠DBA=∠CAE.
∵CE⊥DE,∴∠E=90°.在△BDA和△AEC中,
?∴△BDA≌△AEC(AAS),
∴DA=CE=2,DB=AE=3,∴ED=5.
3.(2018江苏泰州高港月考,20,★★☆)长方形具有四个内角均为直角,并
且两组对边分别平行且相等的特征.如图,把一张长方形纸片ABCD折
叠,使点C与点A重合,折痕为EF.
(1)如果∠DEF=110°,求∠BAF的度数;
(2)判断△ABF和△AGE是否全等,请说明理由.
?
解析 (1)∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠CFE=180°-∠DEF=70°,
由折叠知∠AFE=∠CFE=70°,
∴∠AFB=180°-∠AFE-∠CFE=40°,
∵∠B=90°,
∴∠BAF=90°-∠AFB=50°.
(2)△ABF≌△AGE.
理由如下:
由折叠知AG=CD,∠G=∠D=90°,∠DEF=∠GEF.
∴∠B=∠G.
∵AB=CD,∴AB=AG.
∵∠AEF=180°-∠DEF,
∴∠AEG=∠GEF-∠AEF=2∠DEF-180°,
又∠AFB=180°-2∠CFE=180°-2(180°-∠DEF)
=2∠DEF-180°,
∴∠AFB=∠AEG.
在△ABF和△AGE中,?
∴△ABF≌△AGE(AAS).
一、选择题
1.(2018河北中考,1,★☆☆)下列图形具有稳定性的是?( )
?
答案????A 三角形具有稳定性.故选A.
2.(2018江苏南京中考,5,★★☆)如图4-3-19,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是
AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为?( )
?
图4-3-19
A.a+c ????B.b+c ????C.a-b+c ????D.a+b-c
答案????D ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,
∴∠A=∠C,又∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.
∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.
故选D.
3.(2018贵州安顺中考,5,★★☆)如图4-3-20,点D,E分别在线段AB,AC上,
CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定
△ABE≌△ACD?( )
?
图4-3-20
A.∠B=∠C ????B.AD=AE
C.BD=CE ???? D.BE=CD
答案????D 已知AB=AC,∠A为公共角,
选项A,添加∠B=∠C,利用ASA即可说明△ABE≌△ACD;
选项B,添加AD=AE,利用SAS即可说明△ABE≌△ACD;
选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,然后利用SAS即可说明△ABE≌
△ACD;
选项D,添加BE=CD,因为SSA不能判定两三角形全等.故选D.
二、解答题
4.(2018四川泸州中考,18,★★☆)如图4-3-21,EF=BC,DF=AC,DA=EB.试
说明:∠F=∠C.
?
图4-3-21
解析 ∵DA=BE,∴DE=AB,
在△ABC和△DEF中,
?
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠C=∠F.
5.(2018陕西中考,18,★★☆)如图4-3-22,AB∥CD,E、F分别为AB、CD
上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,试
说明:AG=DH.
?
图4-3-22
解析 ∵AB∥CD,∴∠A=∠D.
∵EC∥BF,
∴∠BHA=∠CGD.
在△ABH和△DCG中,
∵?
∴△ABH≌△DCG(AAS),
∴AH=DG,
∵AH=AG+GH,DG=DH+GH,
∴AG=DH.
1.(2018山东菏泽中考,17,★★☆)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出
DF与AE的数量关系,并说明理由.
?
解析????DF=AE.
理由:∵AB∥CD,∴∠C=∠B.
∵CE=BF,∴CE-EF=BF-FE,∴CF=BE.
又∵CD=AB,∴△DCF≌△ABE(SAS),∴DF=AE.
2.(2018四川南充中考,18,★☆☆)如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=
∠DAC.试说明:∠C=∠E.
?
解析 ∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE,即∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中,
∵?
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠C=∠E.
3.(2018浙江温州中考,18节选,★★☆)如图,在四边形ABCD中,E是AB的
中点,AD∥EC,∠AED=∠B.
试说明:△AED≌△EBC.
?
解析 ∵AD∥EC,∴∠A=∠BEC.
∵E是AB的中点,∴AE=EB.
∵∠AED=∠B,∴△AED≌△EBC(ASA).
1.如图4-3-23①,已知AB=AC,D为∠BAC的平分线上一点.连接BD,CD,全
等三角形的对数是 ????;
如图4-3-23②,已知AB=AC,D,E为∠BAC的平分线上的两点.连接BD,CD,
BE,CE,全等三角形的对数是多少?
如图4-3-23③,已知AB=AC,D,E,F为∠BAC的平分线上的三点,连接BD,
CD,BE,CE,BF,CF,全等三角形的对数是多少?
……
依此规律,第n个图形中全等三角形的对数是多少?
图4-3-23
解析 题图①中,∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD与△ACD中,
?∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴题图①中有1对全等三角形.
同理,题图②中,△ABE≌△ACE,∴BE=EC,
∵△ABD≌△ACD,∴BD=CD.
在△BDE和△CDE中,?
∴△BDE≌△CDE(SSS),
∴题图②中有3对全等三角形.
同理,题图③中有6对全等三角形.
由此发现:第n个图形中全等三角形的对数是?.
2.(2018山西期中)问题情境:如图4-3-24①,在直角三角形ABC中,∠BAC=
90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C;
特例探究:如图4-3-24②,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C分
别在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.
试说明:△ABD≌△CAF;
归纳证明:如图4-3-24③,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在
∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知
AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.试说明:△ABE≌△CAF;
拓展应用:如图4-3-24④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=
2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△
ACF与△BDE的面积之和为 ????.
?
图4-3-24
解析 特例探究:
理由:∵CF⊥AE,BD⊥AE,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,
又∠MAN=90°,∠BAD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF.
在△ABD和△CAF中,
∵?
∴△ABD≌△CAF(AAS).
归纳证明:
理由:∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,
∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA.
在△ABE和△CAF中,∵?
∴△ABE≌△CAF(ASA).
拓展应用:
∵△ABC的面积为15,CD=2BD,
∴△ABD的面积是?×15=5,
由上可知△ABE≌△CAF,
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和,即等于
△ABD的面积5,故答案为5.
1.如图,已知△ABC中,AB=AC=16厘米,
∠B=∠C,BC=10厘米,点D为AB的中点,
如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度
由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上
由C点向A点运动.当△BPD与△CQP全
等时,点Q的运动速度为 ????厘米/秒.
答案 2或3.2
解析 ∵AB=16厘米,点D为AB的中点,
∴BD=?×16=8厘米,
设点P、Q的运动时间为t秒,
则BP=2t厘米,PC=(10-2t)厘米.
要使△BPD与△CQP全等,由于∠B=∠C,
所以BD=PC,BP=CQ或BP=PC,BD=CQ.
①当BD=PC,BP=CQ时,10-2t=8,
∴t=1,∴CQ=2厘米,
∴点Q的运动速度为2÷1=2(厘米/秒);
②当BP=PC,BD=CQ时,CQ=8厘米,
∵BC=10厘米,∴BP=PC=5厘米,∴t=5÷2=2.5.
故点Q的运动速度为8÷2.5=3.2(厘米/秒).
2.如图①所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,
且B,C在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(1)试说明:BD=DE+CE;
(2)若直线AE绕A点旋转到如图②所示的位置(BD则BD与DE,CE的关系如何?说明理由;
(3)若直线AE绕A点旋转到如图③所示的位置(BD>CE),其余条件不变,
则BD与DE,CE的关系怎样?请直接写出结果;
(4)归纳上述(1)(2)(3),请用简洁的语言表述BD,DE,CE的关系.
?
解析 (1)∵BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠BAC=90°,∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,?
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=AD+DE,∴BD=CE+DE.
(2)BD=DE-CE.理由如下:
∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠AEC=90°.
又∠BAC=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°.
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,?
∴△ABD≌△CAE(AAS).∴BD=EA,AD=CE.
∴BD=EA=DE-AD=DE-CE.
(3)BD=DE-CE.
(4)归纳(1)(2)(3),结论可表述为:当B,C在AE同侧时,BD=DE-CE;当B,C在
AE异侧时,BD=DE+CE.
