4 用尺规作三角形
测试时间:30分钟
一、选择题
1.利用尺规作图作出的三角形不唯一的是( )
A.已知三边 B.已知两边及其夹角
C.已知两角及其夹边 D.已知两边及其中一边的对角
2.已知三边作三角形,所用到的知识是( )
A.作一个角等于已知角 B.在射线上截取一条线段等于已知线段
C.平分一个已知角 D.作一条直线的垂线
3.已知线段a,b和m,求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC边上的中线AD=m,作法合理的顺序为( )
①延长CD到点B,使BD=CD;②连接AB;③作△ADC,使DC=a,AC=b,AD=m.
A.③①② B.①②③ C.②③① D.③②①
4.如图所示,用尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,连接OP,则射线OP为∠AOB的平分线.由作法得△OCP≌△ODP,其根据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
5.如图所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以作出 个.( )?
A.2 B.4 C.6 D.8
6.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,如图所示,则说明∠A'O'B'=∠AOB的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
二、填空题
7.我们知道只要三角形的三边长度确定了,那么它的形状和大小是固定不变的,这说明三角形具有 性;作一个三角形,使它与已知三角形全等的理论依据有 .?
8.已知一条线段作等边三角形,使其边长等于已知线段的长,则作图的依据是 .?
三、解答题
9.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.已知:线段a、c,∠β(如图).求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠β.
10.已知:如图,线段a和∠α.
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠BAC=∠α.
11.如图,已知线段a,求作△ABC,使AB=2a,BC=3a,AC=4a.(写出作法)
12.如图所示,小明在纸上作了一个三角形,不料被墨水污染了一部分,请你作一个与他作的完全一样(全等)的三角形.
13.已知,如图:∠α,线段c.求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=2c,AC=3c.(保留作图痕迹,不写作法)
4 用尺规作三角形（答案版）
测试时间:30分钟
一、选择题
1.利用尺规作图作出的三角形不唯一的是( )
A.已知三边 B.已知两边及其夹角
C.已知两角及其夹边 D.已知两边及其中一边的对角
1.答案 D
2.已知三边作三角形,所用到的知识是( )
A.作一个角等于已知角 B.在射线上截取一条线段等于已知线段
C.平分一个已知角 D.作一条直线的垂线
2.答案 B 已知三边作三角形实际上就是作线段等于已知线段.
3.已知线段a,b和m,求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC边上的中线AD=m,作法合理的顺序为( )
①延长CD到点B,使BD=CD;②连接AB;③作△ADC,使DC=a,AC=b,AD=m.
A.③①② B.①②③ C.②③① D.③②①
3.答案 A 根据已知条件,能够确定的三角形是△ADC,故先作△ADC,使DC=a,AC=b,AD=m;再延长CD到点B,使BD=CD;连接AB,即可得△ABC,故选A.
4.如图所示,用尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,连接OP,则射线OP为∠AOB的平分线.由作法得△OCP≌△ODP,其根据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
4.答案 D 根据作图可以看出:OC=OD,CP=DP,又OP=OP,所以可以根据“SSS”来说明△OCP≌△ODP,故选D.
5.如图所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以作出 个.( )?
A.2 B.4 C.6 D.8
5.答案 B
6.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,如图所示,则说明∠A'O'B'=∠AOB的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
6.答案 A 由作法知,OC=OD=O'C'=O'D',CD=C'D'.由SSS可知,△OCD≌△O'C'D',从而说明∠A'O'B'=∠AOB,故选A.
二、填空题
7.我们知道只要三角形的三边长度确定了,那么它的形状和大小是固定不变的,这说明三角形具有 性;作一个三角形,使它与已知三角形全等的理论依据有 .?
7.答案 稳定;SSS、SAS、ASA、AAS
8.已知一条线段作等边三角形,使其边长等于已知线段的长,则作图的依据是 .?
8.答案 SSS
三、解答题
9.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.已知:线段a、c,∠β(如图).求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠β.
9.解析 如图所示.
10.已知:如图,线段a和∠α.
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠BAC=∠α.
10.解析 作法:(1)作∠MAN=∠α;
(2)在射线AM,AN上分别截取AB=a,AC=a;
(3)连接BC,则△ABC即为所求,如图.
11.如图,已知线段a,求作△ABC,使AB=2a,BC=3a,AC=4a.(写出作法)
11.解析 作法:(1)作线段CA=4a;
(2)分别以C、A为圆心,3a、2a为半径画弧,两弧相交于点B;
(3)连接AB、CB.
△ABC就是所求作的三角形.如图.
12.如图所示,小明在纸上作了一个三角形,不料被墨水污染了一部分,请你作一个与他作的完全一样(全等)的三角形.
12.解析 作法:(1)作∠DA'E=∠A;
(2)在射线A'D上截取线段A'B'=AB;
(3)以B'为顶点,B'A'为一边,作∠A'B'F=∠B,B'F交A'E于点C'.△A'B'C'就是所求作的三角形.如图所示.
13.已知,如图:∠α,线段c.求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=2c,AC=3c.(保留作图痕迹,不写作法)
13.解析 如图,△ABC即为所求.
4
(共32张PPT)
第四章 三角形
初中数学（北师大版）
七年级 下册
知识点????用尺规作三角形的类型
1.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.如图4-4-1,已知线段c,b和∠
α,求作△ABC,使AB=c,AC=b,∠A=∠α.
?
图4-4-1
作法:如图4-4-2,(1)作∠DAE=∠α;
(2)分别在射线AD,AE上截取AB=c,AC=b;
(3)连接BC.△ABC就是所求作的三角形.
?
图4-4-2
注意:(1)求作三角形的过程用到了最基本的尺规作图,作一个角等于已知
角.(2)作一个三角形的步骤:①已知;②求作;③作图;④作法.
(3)如果已知三角形的两边及其一边的
对角,则不能确定唯一的三角形.如图4-4-3,
△ABC和△ABD中,∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,
但是△ABC与△ABD并不全等.
图4-4-3
2.已知三角形的两角及其夹边,求作三角形.如图4-4-4,已知∠α,∠β和线
段c,求作△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
?
图4-4-4
作法:如图4-4-5所示,(1)作∠DAE=∠α;(2)在射线AE上截取AB=c;(3)以
点B为顶点在AB的同侧作∠ABF=∠β,BF交AD于点C,则△ABC就是所
求作的三角形.
?
图4-4-5
注意:已知三角形的两角及其中一角的对边,也可以作出一个三角形,可
以先求出三角形的第三个角,从而转化为已知三角形的两角及其夹边求
作三角形.
3.已知三角形的三条边,求作三角形.如图4-4-6,已知线段a,b,c,求作
△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
?
图4-4-6
作法:如图4-4-7所示,(1)作射线AM,并在AM上截取线段AB=c;(2)以点A
为圆心,b为半径作弧;(3)以点B为圆心,a为半径作弧,交前面的弧于点C,
连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形.
?
图4-4-7
例 小明教材上的三角形被墨迹污染了一部分,如图4-4-8,他想在作业
本上画一个与教材上完全一样的三角形,他该怎么办?你能帮助他画出
来吗?
?
图4-4-8
分析 已知两角及其夹边,可依据ASA求作三角形.
解析 作法:(1)作线段A'B'=AB;(2)以点A'为顶点作∠B'A'M=∠1;(3)以点
B'为顶点作∠A'B'N=∠2,B'N与A'M交于点C',则△A'B'C'就是所求作的三
角形.
题型????判断能否作出三角形
作一个三角形等于已知三角形的依据有SSS,ASA,AAS,SAS,由这四种
依据完成即可.
例 利用尺规作图不能唯一作出三角形的是?( )
A.已知三边 ???? B.已知两边及夹角
C.已知两角及夹边 ????D.已知三个角
解析 三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”.三个角都分别相等不能作为三角形全等的判定方法,也就不能确定三角形.
答案????D
点拨 看所给的条件是否符合三角形全等的判定方法中的某一种.
知识点????用尺规作三角形的类型
1.利用下列条件进行尺规作图,画出的三角形不唯一的是?????( )
A.已知三边 ???? B.已知三个角
C.已知两角和夹边 ????D.已知两边和夹角
答案????B????三个角相等,没有一边固定时,三角形大小不唯一.
2.如图4-4-1,在△ABC中,∠ACB=80°,∠ABC=60°.按以下步骤作图:①以
点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点
E,F为圆心,大于?EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交
BC于点D.则∠ADB的度数为 ????.
?
图4-4-1
答案 100°
解析 根据已知条件的作图步骤知,AG是∠CAB的平分线,由∠ACB=80°,∠ABC=60°可得∠CAB=40°,所以∠BAD=20°.在△ADB中,∠B=60°,
∠BAD=20°,所以∠ADB=100°.
3.已知线段a,b和m,如图4-4-2①,求作△ABC,使BC=2a,AC=b,BC边上的
中线AD=m.盈盈想出了一种作法,根据图4-4-2②中的作图痕迹,你能想
出她是怎样作出来的吗?把她的具体作法写下来吧!
?
①
?
②
图4-4-2
解析 作法:(1)作线段CD=a,延长CD至B,使DB=CD;(2)以C为圆心,b为
半径画弧;(3)以D为圆心,m为半径画弧,两弧交于点A;(4)连接AC,AB,AD.
△ABC就是所求作的三角形.
4.如图4-4-3,△ABC中,a=5 cm,b=3 cm,c=4 cm,∠B=30°,∠C=40°.选择适
当数据,作出与△ABC全等的三角形,写出所有的情况,看共有几种作法.
?
图4-4-3
解析 共6种作法:
①4 cm,3 cm,5 cm;②4 cm,5 cm,30°;③3 cm,5 cm,40°;④30°,5 cm,40°;
⑤30°,40°,3 cm;⑥30°,40°,4 cm.
1.下列各条件中,能作出唯一的△ABC的是?( )
A.AB=4,BC=5,AC=10
B.AB=5,BC=4,∠A=40°
C.∠A=90°,AB=10
D.∠A=60°,∠B=50°,AB=5
答案????D ∵4+5<10,即AB+BC
作不出三角形.∠A是边BC的对角,“边边角”不能确定唯一的三角形,
故B选项不满足题意.满足选项C中条件的三角形有无数多个,∴不满足
题意.D选项中,“角边角”能作出唯一三角形,满足题意,故选D.
2.已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使BC=a,AC=b,∠ACB=∠α,则作法的
合理顺序为 ????.(填序号即可)
①在射线CM上截取CA=b;②作一条线段BC,使BC=a;③以C为顶点,CB
为一边,作∠BCM=∠α;④连接AB,△ABC就是所要求作的三角形.
答案 ②③①④
解析 此类题目要看清已知和求作,可画草图分析作图顺序.
1.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图4-4-4所示,能得出∠A'O'B'=
∠AOB的依据是?( )
?
图4-4-4
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
答案????B 根据图形可知OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D',所以能得出∠A'O
'B'=∠AOB的依据是SSS.
2.如图4-4-5所示,已知线段a,c和∠α,求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=
∠α,根据作图在下面空格填上适当的文字或字母.
?
图4-4-5
(1)如图4-4-6①所示,作∠MBN= ????;
(2)如图4-4-6②所示,在射线BM上截取BC= ????,在射线BN上截取
BA= ????;
(3)连接 ????,如图4-4-6③所示,△ABC就是所求作的三角形.
?
图4-4-6
答案 (1)∠α (2)a;c (3)AC
3.如图4-4-7,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:
?
图4-4-7
①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;
②分别以点E,F为圆心,大于?EF长为半径画弧,两弧相交于点G;
③作射线AG,交BC边于点D.
则∠ADC的度数为 ????.
答案 65°
解析 根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线,因为∠CAB=50°,所以
∠CAD=?∠CAB=25°.因为∠C=90°,所以∠CDA=90°-25°=65°.
1.如图所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置
不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以
作出 ????个.
?
答案 4
解析 可以使B、D为对应顶点,C、E为对应顶点,这样可以分别在DE
的上下方各作一个三角形,同理,使B、E为对应顶点,C、D为对应顶点,
也可以作2个三角形,故一共可作4个满足条件的三角形.
2.如图,已知线段a及∠O,只用直尺和圆规,求作△ABC,使BC=a,∠B=
∠O,∠C=2∠B.(保留作图痕迹,不写作法)
?
解析 如图所示,△ABC即为所求.
?
选择题
1.(2016山西农大附中期末,9,★★☆)利用基本作图法,不能作出唯一三
角形的是?( )
A.已知两边及其夹角 ???? B.已知两角及夹边
C.已知两边及一边的对角 ????D.已知三边
答案????C????
2.(2018河北秦皇岛抚宁期末,6,★★☆)根据已知条件,能画出唯一
△ABC的是?( )
A.AC=4,AB=5,BC=10
B.AC=4,AB=5,∠B=60°
C.∠A=50°,∠B=60°,AB=2
D.∠C=90°,AB=5
答案????C????A.AC+AB=4+5=9<10=BC,三边不能组成三角形,A不正确;B.
∵AC=4,AB=5,∠B=60°,由SSA不能得出两三角形全等,∴AC=4,AB=5,
∠B=60°不能确定唯一的三角形,B不正确;C.∵∠A=50°,∠B=60°,AB=2,由
ASA能得出两三角形全等,∴∠A=50°,∠B=60°,AB=2能确定唯一的三角
形,C正确;D.∵∠C=90°,AB=5,缺少证明两三角形全等的条件,∴∠C=90°,
AB=5不能确定唯一的三角形,D不正确.故选C.
(2017北京昌平临川育人学校月考,21,★★☆)尺规作图:已知∠α,线段a,
b.(如图)
求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=a,AC=b.(不写作法,保留痕迹)
?
?
解析 如图,△ABC即为所求作的三角形.
?
解答题
“综合与实践”学习活动准备制作一组
三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度
为大于1且小于5的整数个单位长度.
(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边
长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角
形;
(2)用直尺和圆规作出三边满足a写作法,保留作图痕迹).
解析 (1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,
4),(4,4,4).
(2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的△ABC即为满足条件的三角形.
?
如图,以△ABC的顶点A为圆心,BC长为
半径作弧;再以顶点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧交于点D;连接AD、
CD.若∠B=65°,则∠ADC的大小为 ????度.
?
答案 65
解析 由作图知:AB=CD,AD=BC,又∵AC=AC,∴△ABC≌△CDA,
∴∠ADC=∠B=65°.
已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm,一个内角为40°.
(1)请你用尺规作一个满足条件的三角形;
(2)你是否还能作出既满足条件,又与(1)中所作的三角形不全等的三角
形?若能,请你用“尺规作图”作出这样的三角形;若不能,请说明理由.
解析 (1)如图所示,作∠AOB=40°,以O为圆心,1 cm为半径画弧,交OA于
点C,以O为圆心,2 cm为半径画弧,交OB于点D,连接CD,则△OCD就是满
足条件的一个三角形(如图所示).
?
(2)能.如图所示,作∠AOB=40°,以点O为圆心,1 cm为半径画弧,交OA于
点C,以点C为圆心,2 cm为半径画弧,交OB于点E,连接CE,则△OCE即为
所求.(不唯一)
?
一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块,请你用尺规作图的方
法画一个三角形,使所得的三角形和原来的三角形全等.(不要求写作法,
保留作图痕迹)
?
?
解析 如图所示,△ABC就是所求作的三角形.
?
