5 利用三角形全等测距离
测试时间:30分钟
一、选择题
1.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在过B点的AB的垂线上取两点C,D,使CD=BC,再在过D点的BD的垂线上取点E,使A,C,E在一条直线上,这时△ACB≌△ECD,则ED=AB,所以测ED的长就可得AB的长.这里判定△ACB≌△ECD的根据是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
2.把等腰直角三角形纸板ABC按如图所示的方式直立在桌面上,顶点A顶着桌面,若另外两个顶点与桌面的距离分别为5 cm和3 cm,过另外两个顶点向桌面作垂线,则两个垂足之间的距离DE为( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.无法确定
二、解答题
3.如图所示,要测量池塘的宽AB,可过点A作AC⊥AB,再在BA的延长线上找一点B',使∠ACB'=∠ACB,这时只要量出AB'的长就能知道AB的长,为什么?
4.如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图,横板绕它的中点O转动,立柱OC与地面垂直.当一边着地时,另一边上升到最高点.在转动横板的过程中,两人上升的最大高度AA',BB'有何数量关系?为什么?
5.如图所示,工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的B点处打开,墙壁厚是35 cm,AB⊥OA,AB=20 cm.AC平行于地面,在直线AC上截取OC=35 cm,作CD⊥OC,截取CD=
20 cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,钻头正好从B点处打出,这是什么道理呢?
6.如图所示,为了测量出池塘两端A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?
7.如图所示,小明想测量一下马戏团中钢丝上A,C间的距离,他爸爸帮他想了一个好办法,把两根草绳AB、CD的中点O连在一起,将绳子拉直,只要量出B,D间的距离,就可以知道钢丝上A,C间的距离了,你能说出其中的道理吗?
8.如图,D是△ABC的边AB上一点,E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.试说明:AD=CF.
5 利用三角形全等测距离（答案版）
测试时间:30分钟
一、选择题
1.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在过B点的AB的垂线上取两点C,D,使CD=BC,再在过D点的BD的垂线上取点E,使A,C,E在一条直线上,这时△ACB≌△ECD,则ED=AB,所以测ED的长就可得AB的长.这里判定△ACB≌△ECD的根据是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
1.答案 B
2.把等腰直角三角形纸板ABC按如图所示的方式直立在桌面上,顶点A顶着桌面,若另外两个顶点与桌面的距离分别为5 cm和3 cm,过另外两个顶点向桌面作垂线,则两个垂足之间的距离DE为( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.无法确定
2.答案 C 由∠CAB=90°得∠CAE+∠BAD=90°,因为∠ADB=90°,所以∠ABD+∠BAD=90°,所以∠CAE=∠ABD.又因为∠AEC=∠ADB=90°,AC=AB,所以△ACE≌△BAD.从而AE=BD,CE=AD,所以DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8(cm).
二、解答题
3.如图所示,要测量池塘的宽AB,可过点A作AC⊥AB,再在BA的延长线上找一点B',使∠ACB'=∠ACB,这时只要量出AB'的长就能知道AB的长,为什么?
3.解析 由题意知∠CAB=∠CAB'=90°.在△ABC和△AB'C中,所以△ABC≌△AB'C(ASA),所以AB=AB'.
4.如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图,横板绕它的中点O转动,立柱OC与地面垂直.当一边着地时,另一边上升到最高点.在转动横板的过程中,两人上升的最大高度AA',BB'有何数量关系?为什么?
4.解析 AA'=BB'.理由如下:因为O是AB',A'B的中点,所以OA=OB',OA'=OB,又∠A'OA=∠B'OB,所以△A'OA≌△BOB',所以AA'=BB'.
5.如图所示,工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的B点处打开,墙壁厚是35 cm,AB⊥OA,AB=20 cm.AC平行于地面,在直线AC上截取OC=35 cm,作CD⊥OC,截取CD=
20 cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,钻头正好从B点处打出,这是什么道理呢?
5.解析∵AB⊥OA,CD⊥OC,∴∠A=∠C=90°.∵OA=OC,AB=CD,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴∠AOB=∠COD(全等三角形的对应角相等).∵∠AOB+∠BOC=180°,∴∠BOC+∠COD=180°,即∠BOD=180°,∴D,O,B三点在一条直线上.故钻头正好从B点处打出.
6.如图所示,为了测量出池塘两端A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?
6.解析 能.因为∠ACB=90°,
所以∠ACD=180°-∠ACB=90°.
又因为BC=DC,AC=AC,
所以△ABC≌△ADC(SAS),
所以AB=AD.
故只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.
7.如图所示,小明想测量一下马戏团中钢丝上A,C间的距离,他爸爸帮他想了一个好办法,把两根草绳AB、CD的中点O连在一起,将绳子拉直,只要量出B,D间的距离,就可以知道钢丝上A,C间的距离了,你能说出其中的道理吗?
7.解析 能.因为O是AB,CD的中点,
所以AO=BO,CO=DO.
在△AOC和△BOD中,
所以△AOC≌△BOD,所以AC=BD.
8.如图,D是△ABC的边AB上一点,E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.试说明:AD=CF.
8.解析 ∵E是AC的中点,∴AE=CE.
∵CF∥AB,∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
在△ADE与△CFE中,
∵
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF.
1
(共35张PPT)
第四章 三角形
初中数学（北师大版）
七年级 下册
知识点????利用三角形全等测距离
测量距离?
例 小强为了测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.
测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得在P
点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得P到楼底的距离
PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米,
如图4-5-1,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
?
图4-5-1
分析 根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB-PB
求出楼高.
解析 因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,所以∠DCP=
∠APB=54°.在△CPD和△PAB中,因为∠CDP=∠ABP,DC=PB,∠DCP=
∠APB,所以△CPD≌△PAB(ASA),所以DP=AB.由DB=36米,PB=10米,
得AB=DP=36-10=26(米).即楼高AB是26米.
题型????实际应用题
例 如图4-5-2所示,某湖泊岸边有A、B两棵大树,计划在两棵大树间架
一条电话线路,为了计算两棵大树能承受的压力,需测量出A、B之间的
距离,但是A、B两地又不能直接到达,请你用学过的知识设计一个测量
方案,求出A、B之间的距离,写出你的测量方案.
?
图4-5-2
解析 测量方案如下:
如图4-5-3,连接AB,在湖泊岸边找一点C,连接AC,BC,并延长,截取CD=
BC,EC=AC,连接DE.
?
图4-5-3
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴AB=ED,
∴量出ED的长即可得到A、B之间的距离.
点拨 利用三角形全等来测量距离(或角度),实际上就是利用已有的全
等三角形或构造出的全等三角形,通过全等三角形的对应边相等(或对
应角相等)这一性质,把较难测量长度的线段(或较难测得的角)转化成已
知线段(或已知角)或是较容易测得长度的线段(或是较容易测得的角).
运用直观想象构造全等三角形
素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与
变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:
借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描
述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索
解决问题的思路.
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形
成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.
直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助
几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
典例剖析
例????(2018河南漯河临颍月考)如图4-5-4所示,已知一池塘宽为AB.请你
运用所学的“三角形全等”的有关知识设计一种测量AB的方案,并说
明理由.
?
图4-5-4
解析 答案不唯一,提供以下方案,任选一种即可.
方案一:如图4-5-5①,先在平地取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,
BC,并分别延长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为
A,B间的距离.
?
图4-5-5
理由:在△ABC和△DEC中,
∵?∴△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=ED.
方案二:如图4-5-5②,过点B作BD⊥AB,再由点D观测,得出∠BDA的大
小,在AB的延长线上取一点C,使∠BDC=∠BDA,这时只要测出BC的长
即为A,B间的距离.
理由:在△ABD和△CBD中,∵?
∴△ABD≌△CBD(ASA),∴AB=BC.
素养呈现 本题以测量池塘宽度为背景,通过构造全等三角形,利用全
等三角形的判定和性质来测量池塘的宽.解决本题的关键是利用全等三
角形的判定方法,根据选取的判定方法合理设计方案,从而使问题得以
解决.方案一选择“SAS”构造全等三角形,方案二选择“ASA”构造
全等三角形.
知识点????利用三角形全等测距离
1.如图4-5-1,将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起,使AA'、BB'可以绕
着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽AB的长,
那么判定△AOB≌△A'OB'的理由是?( )
?
图4-5-1
A.边角边 ????B.角边角 ????C.边边边 ????D.角角边
答案????A 因为OA=OA',OB=OB',∠AOB=∠A'OB',所以根据“SAS”可
判定△AOB≌△A'OB'.
2.如图4-5-2,小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和E.C、E、A三点
在同一直线上,B、C相距20米,D、C相距40米,乙楼高BE为15米,小明的
身高忽略不计,则甲楼高AD为 ?????( )
?
图4-5-2
A.40米 ????B.20米 ????C.15米 ????D.30米
答案????D 过E作EF⊥AD,垂足为F,则EF∥CD,∴∠C=∠AEF,又
∵∠AFE=∠EBC=90°,FE=BD=CD-BC=40-20=20米=BC,∴△EBC≌△AFE,
∴AF=BE.∴AD=AF+FD=2BE=2×15=30米.
1.如图所示,要测量河岸相对的两点A、B之间的距离,先从B点出发沿与
AB成90°角的方向走50 m到C点立一根标杆,然后方向不变继续走50 m
到D点,在D点转90°沿DE方向再走17 m,到达E点,使A、C、E三点在同
一条直线上,那么得A、B两点的距离为 ????.
?
答案 17 m
解析 由题意易得△ABC≌△EDC,则AB=DE=17 m.
2.如图,工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔,要使孔口从墙壁对面的B
点处打开,墙壁厚是35 cm,B点与O点的铅直距离AB长是20 cm,工人师傅
在旁边墙上与AO水平的线上截取OC=35 cm,画CD⊥OC,使CD=20 cm,
连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从B点处打出,这是为什
么呢?请你说出理由.
?
解析 因为OC=35 cm,墙壁厚OA=35 cm,
所以OC=OA.
因为墙体是竖直的,所以∠OAB=90°.
又因为CD⊥OC,所以∠OAB=∠OCD=90°.
在△OAB和△OCD中,
因为∠OAB=∠OCD=90°,OC=OA,∠AOB=∠COD,
所以△OAB≌△OCD(ASA),所以AB=DC.
因为DC=20 cm,所以AB=20 cm.
所以钻头正好从B点处打出.
3.在新修的花园小区中,有一条“Z”字形绿色长廊ABCD,如图,AB∥CD,在AB、BC、CD三段绿色长廊上各修建一凉亭E、M、F,且BE=CF,M是BC的中点,E、M、F在一条直线上.若在凉亭M与F之间有一池塘,在用皮尺不能直接测量的情况下,你能知道M与F之间的距离吗?试说明理由.
?
解析 能,测出M与E之间的距离就知道了M与F之间的距离.
理由如下:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,
∵M是BC的中点,∴BM=MC,
在△EBM和△FCM中,?
∴△EBM≌△FCM,∴ME=MF.
1.如图4-5-3,点D为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB为海岸
线.一轮船离开码头,计划沿∠ADB的平分线航行,在航行途中C点处,测
得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等.试问:轮船航行是否偏离指定航线?
请说明理由.
?
图4-5-3
解析 此时轮船没有偏离航线.
理由:由题意知,DA=DB,AC=BC,
在△ADC和△BDC中,
?
所以△ADC≌△BDC(SSS),
所以∠ADC=∠BDC.
所以DC为∠ADB的平分线.
所以此时轮船没有偏离航线.
2.如图4-5-4,七年级数学兴趣小组要测量河中
浅滩B(可看成一点)与对岸A之间的距离.先在
另一岸边确定点C,使C,A,B三点在同一条直线上,
再在AC的垂直方向上作线段CD,取CD的中点O,
然后过点D作DF⊥CD,使F,O,A三点在同一条直
线上,在DF上取一点E,使E,O,B三点也在同一条
直线上.那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的
距离,你能说出同学们这样做的根据吗?
图4-5-4
解析 能.∵AC⊥CD,FD⊥CD,∴∠C=∠D=90°.
在△AOC和△FOD中,?
∴△AOC≌△FOD(ASA),∴OA=OF,∠A=∠F.
在△AOB和△FOE中,?
∴△AOB≌△FOE(ASA),
∴AB=FE,即EF的长就是浅滩B与对岸A之间的距离.
1805年,法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔展开激战,德军在
莱茵河对岸Q处,如图所示,因不知河宽,法军的大炮很难准确射击对岸
的德军兵营,聪明的拿破仑站在河岸的O点,调整了自己的帽子,使视线
恰好擦过帽舌边缘看到对岸德军的兵营Q处,然后他保持姿势一步一步
后退,一直退到自己的视线恰好落在他刚才站到的O点,让士兵测量他站
在B点和O点之间的距离,并下令按这个距离开炮.这样法军能命中目标
吗?为什么?
?
解析 法军能命中目标.理由如下:
由题意知AB=PO,∠BAO=∠OPQ.
∵AB⊥BO,PO⊥BO,∴∠ABO=∠POQ=90°.
在△ABO与△POQ中,?
∴△ABO≌△POQ(ASA),∴BO=OQ.
∴按BO的距离炮轰德军兵营时,炮弹恰好落入德军兵营Q处,这样法军
能命中目标.
一、填空题
1.(2017山东青岛胶州期末,17,★☆☆)如图4-5-5,
小明要测量水池的宽AB,但没有足够长的绳子,
聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以
直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,
使CD=CA,连接BC并延长
到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,则DE的长度就是AB的长,理
由是根据 ????(用简写形式即可),可以得到△ABC≌△DEC,从而由
全等三角形的对应边相等得出结论.
图4-5-5
答案 边角边(或SAS)
二、解答题
2.(2016陕西兴平期末,24,★☆☆)如图4-5-6,要测量河两岸相对的两
点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再作出BF
的垂线DE,使A、C、E三点在同一条直线上,这时测得的DE的长就是
AB的长,请说明理由.
图4-5-6
解析 理由如下:在△ABC和△EDC中,
∵∠ABC=∠EDC,BC=CD,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC,∴DE=AB.即DE的长就是AB的长.
(2016甘肃白银期末,26,★★☆)如图是一座大楼相邻的两面墙,现需测
量外墙根部两点A、B之间的距离(人不能进入墙内测量).请你按以下要
求设计一个测量A、B之间距离的方案.
(1)画出测量图案;
(2)写出方案步骤;
(3)说明理由.
?
解析 (1)图略.
(2)延长BO到D,使BO=DO,延长到AO到C,使AO=CO,连接DC,则DC的长
就是A、B之间的距离.
(3)在△AOB和△COD中,?
∴△AOB≌△COD,∴AB=DC,故DC的长就是A、B之间的距离.
选择题
如图4-5-7,
小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,
BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R
重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的
两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ
的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌
△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是?(???? )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
图4-5-7
答案????D 因为在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以
△ABC≌△ADC(SSS),故选D.
如图,D是△ABC的边AB上一点,E是AC
的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.试说明:AD=CF.
?
解析 ∵E是AC的中点,∴AE=CE.
∵CF∥AB,∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
在△ADE与△CFE中,
∵?
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF.
图4-5-8是一张简易木床的侧面图,现要钉上两根木条以确保其坚固
耐用,木条AB已经钉上了,如果为了美观,要求木条EF与木条AB等长,那
么应该怎样确定点E,F的位置?请说明理由.
?
图4-5-8
解析 如图,利用刻度尺测量,使BC=DF,AC=DE时,
木条EF与木条AB等长.
理由:在△ACB和△EDF中,
?
∴△ACB≌△EDF(SAS),∴AB=EF.
?
某同学根据数学原理制作了如图所示的一个测量工具——拐尺,其中
O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD.现要测量一透明隔离房间的深
度,如何使用此工具测量?请说明理由.
?
解析 如图所示,使AC与房间内壁在一条
直线上,且C与一端点接触,然后人在BD的
延长线上移动至F,使F、O、E三点正好在
一条直线上,记
下F点,这时量出DF的长即为房间深度CE的长.
∵CA⊥AB,DB⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
在△BOF和△AOE中,?
∴△BOF≌△AOE(ASA),
∴BF=AE(全等三角形的对应边相等).
∵AC=BD,
∴AE-AC=BF-BD,即CE=DF.
