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《23.1图形的旋转》导学案
课题 图形的旋转 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．探索旋转的性质，会画出旋转后的图形3.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案
重点难点 重点：图形的旋转的基本性质及其应用、用旋转的有关知识画图．难点：发现“对应角到旋转中心的夹角相等”的性质．
教学过程
知识链接 1、什么叫图形的平移？ 2、平移有什么特征？
合作探究 知识1、旋转的定义（1）请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？（2）再看自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？ 思考：这些现象有什么共同特点？●归纳：像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的 ，点O叫做 ，转动的角叫做 ． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的 ．理解下列旋转的现象，并归纳出描述旋转的关键因素： （1）题 （2题） （3题）（1）点Ａ绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到点Ｂ．（2）线段AB绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到线段A’B’．（3）△ABC绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到△A’B’C’ ．●归纳：旋转的三个要素：___________、_________、_________知识2、旋转的性质 探究：如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC )，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′ )移开硬纸板． △A'B'C'是由△ABC绕点O旋转得到的．线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与 ∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？ （1）轴对称的性质中对应点之间有怎样的位置关系和数量关系？旋转呢？（2）旋转是一个图形围绕旋转中心旋转一定的角度，此时，图形上的点发生旋转了吗？它是如何旋转的？哪个角表示了旋转的角度？ 通过思考、讨论，归纳出旋转的性质：●旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离_______． 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________． 旋转前、后的图形________例1、如下图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形． 知识3、旋转的图形让我们一起来欣赏一下美丽的图案，体会一下旋转的奥秘．你们猜猜旋转到底和什么有关呢？ 把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形. 旋转中心不变，改变旋转角. 旋转角不变，改变旋转中心. 我们可以设计成如下图美丽的图案. 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.例2、按要求画出下列图形（1）将A点绕O沿顺时针方向旋转60?。 （2）将线段AB绕O沿顺时针方向旋转60?。（3）已知△OAB，画出△OAB绕点O逆时针旋转100°后的图形。
自主尝试 1、下列现象中属于旋转的有( )个①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动. A.2 B.3 C.4 D.5 2、如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？3、如图,?ABC是等边三角形，D是BC上一点， ?ABD经过旋转后到达?ACE的位置。（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 4、如图：△ABC绕点A旋转后到达△ADE处，若∠BAC＝120°，∠BAD＝30°，则∠DAE＝_________，∠CAE＝__________。5、如图：△ABD经旋转后到达△ACE的位置，点M是AC的中点，若BD=3cm，AB=8cm，则EC=_____;AM=_______。 4题 5题 6题6、如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将△ABP旋转后能与△CBQ重合. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度? (3)△BPQ是什么三角形? 1、把如图所示的图案绕其中心旋转n0时与原图案完全重合，那么n的最小值是（ ）A.60 B. 90 C. 120 D. 1802、如图，它可以看作是由一个菱形绕某一点旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而得的， ①请你在图中用字母O标注出这一点； ②每次旋转了_______度； ③一共旋转了_______次． 3、四边形AOBC 绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么? （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ （3）旋转角是什么？（4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ （5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？ 4、如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD,请设计方案,使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,你能写出几种方案?
当堂检测 1、如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角形OEF绕点O旋转.在旋转过程中,当AE=BF时,∠AOE的大小是_____________. 2、△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形。 3、如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心旋转一定的角度得到,请你找出这旋转中心。4、如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE′C的度数. 5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1,连结DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明; （2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.
小结反思 这节课，主要学习了什么？
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《23.1图形的旋转》导学案
课题 图形的旋转 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．探索旋转的性质，会画出旋转后的图形3.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案
重点难点 重点：图形的旋转的基本性质及其应用、用旋转的有关知识画图．难点：发现“对应角到旋转中心的夹角相等”的性质．
教学过程
知识链接 1、什么叫图形的平移？ 2、平移有什么特征？欣赏PPT中图形的动态变化提出问题：这些图形的变化还可以用平移的知识来解释吗？如果不能，那类似平移你能给它下个定义吗？今天我们将来研究几何图形中的另一种变化——旋转。
合作探究 知识1、旋转的定义我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． （1）请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ 学生口答，教师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． （2）再看自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？ 思考：这些现象有什么共同特点？共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．●归纳：像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．理解下列旋转的现象，并归纳出描述旋转的关键因素： （1）题 （2题） （3题）（1）点Ａ绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到点Ｂ．（2）线段AB绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到线段A’B’．（3）△ABC绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到△A’B’C’ ．●归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转角、旋转方向 知识2、旋转的性质 探究：如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC )，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′ )移开硬纸板． △A'B'C'是由△ABC绕点O旋转得到的．线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与 ∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？ 教师让学生思考这些问题．必要时，可引导学生从以下问题中进行思考： （1）轴对称的性质中对应点之间有怎样的位置关系和数量关系？旋转呢？（2）旋转是一个图形围绕旋转中心旋转一定的角度，此时，图形上的点发生旋转了吗？它是如何旋转的？哪个角表示了旋转的角度？ 通过思考、讨论，归纳出旋转的性质：●旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等． 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 旋转前、后的图形全等 例1、如下图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形． 分析：关键是确定△ADE三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置． 解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身． 正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB =90°，所以旋转后点D与点B重合． 设点E的对应点为点E′．因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°，BE′=DE． 因此，在CB的延长线上取点E'，使BE′=DE，则△ABE′为旋转后的图形(下图)．知识3、旋转的图形让我们一起来欣赏一下美丽的图案，体会一下旋转的奥秘．你们猜猜旋转到底和什么有关呢？（可动态演示PPT内容）把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形. 旋转中心不变，改变旋转角. 旋转角不变，改变旋转中心. 我们可以设计成如下图美丽的图案. 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.例2、按要求画出下列图形（PPT动态演示）（1）将A点绕O沿顺时针方向旋转60?。作法： 1.以O为圆心，OA长为半径画圆; 2.连接OA，用量角器或三角板（限特殊角）作出∠AOB，与圆周交于B点； 3.B点即为所求作。 （2）将线段AB绕O沿顺时针方向旋转60?。作法： 1.将点A绕点O顺时针旋转60?，得点C; 2.将点B绕点O顺时针旋转60 ?，得点D ； 3.连接CD, 则线段CD即为所求作. （3）已知△OAB，画出△OAB绕点O逆时针旋转100°后的图形。作法： 1.连接OA。 2.作∠AOC=100°，在OC上截取OA′=OA 。 3.连接OB 。 4.作∠BOD=100°，在OD上截OB′=OB 。 5.连接A′B′，则△OA′B′即为所求作。注：作旋转后的图形可以转化为作旋转后的对应点。
自主尝试 1、下列现象中属于旋转的有( )个C①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动. A.2 B.3 C.4 D.5 2、如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？ 答案：旋转中心是点O、旋转角是∠AOA'、∠BOB'3、如图,?ABC是等边三角形，D是BC上一点， ?ABD经过旋转后到达?ACE的位置。（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？解:（1）旋转中心是点A;（2）旋转了600;（3）点M转到了AC的中点位置上.4、如图：△ABC绕点A旋转后到达△ADE处，若∠BAC＝120°，∠BAD＝30°，则∠DAE＝_________，∠CAE＝__________。答案:1200,3005、如图：△ABD经旋转后到达△ACE的位置，点M是AC的中点，若BD=3cm，AB=8cm，则EC=_____;AM=_______。答案3cm,4cm 4题 5题 6题6、如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将△ABP旋转后能与△CBQ重合. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度? (3)△BPQ是什么三角形? 解:(1)旋转中心是点B. (2)因为△ABC为等边三角形,当边AB旋转到边BC的位置时,正好转过了60°,所以旋转角的度数是60°. (3)BP=BQ,而旋转角又等于60°,所以∠PBQ=60°,这样△BPQ就是一个等边三角形.1、把如图所示的图案绕其中心旋转n0时与原图案完全重合，那么n的最小值是（ ）CA.60 B. 90 C. 120 D. 1802、如图，它可以看作是由一个菱形绕某一点旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而得的， ①请你在图中用字母O标注出这一点； ②每次旋转了_______度； ③一共旋转了_______次．答案：60、53、四边形AOBC 绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么? （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ （3）旋转角是什么？（4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ （5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？解：（1）旋转中心是O、（2）点D和点E的位置、 （3）∠AOD和∠BOE都是、（4）AO=DO，BO=EO、（5）∠AOD=∠BOE 4、如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD,请设计方案,使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,你能写出几种方案? 方案一、把正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°方案二、把正方形ABCD绕点C逆时针旋转90°.方案三、把正方形ABCD绕CD的中点O旋转180°
当堂检测 1、如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角形OEF绕点O旋转.在旋转过程中,当AE=BF时,∠AOE的大小是_____________.答案：150或1650 2、△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形。 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB则B′即为所求的B的对应点。 （4）连结DB′则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形。 3、如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心旋转一定的角度得到,请你找出这旋转中心。解：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。4、如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE′C的度数.解：连接EE′,由旋转性质知∠EBE′=90°,BE=BE′=2, ∴∠EE′B=45°,EE′=2; 在△EE′C中,EE′=2,E′C=1,EC=3, 由勾股定理的逆定理可知∠EE′C=90°, ∴∠BE′C=∠BE′E+∠EE′C=135°. 5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1,连结DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明; （2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由. （1）解：正确 证明：∵四边形AEFG是正方形 ∴GF=EF=AG=AE∠DGF=∠BEF=90° ∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB ∴AD-AG=AB-AE即 DG=BE ∴△DGF≌△BEF∴BF=DF （2）解:BF≠DE 连接BE 有BE=DG 理由如下：∵∠DAB=∠GAE=90°∴∠DAG=∠BAE 又AD=AB AG=AE ∴△DAG≌△BAE ∴BE=DG
小结反思 这节课，主要学习了什么？
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