江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考试题 数学 word版

2018-2019学年第二学期
南京市六校联合体髙二年级期末考试试卷
数学 2019.06
参考公式：样本数据的方差其中.
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1.复数z=(l+2i)(3-i)，其中i为虚数单位，则z的实部是 ▲.
2.为调查某髙校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人。若其他年级共有学生2000 人，则该校学生总人数是▲.
3.下图是一个算法流程图,若输入x的值为2,则输出y的值为▲.







4.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm),所得数据均在区间[80, 130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有▲ 株树木的底部周长大于110 cm.
5.已知一组数据6, 7, 8, x，y的平均数是8,且xy= 90,则该组数据的方差为
6.某种产品每箱装6个，其中有4个合格，2个不合格，现质检人员从中随机抽取2个进行检测，则检测出至少有一个不合格产品的概率是
7.执行右图所示的伪代码，则输出的5的值是_.
8.在区间[2, 4]上随机地取一个实数x，若实数x满足的概率为,则
9.已知命题任意，恒成立，命题方程表示双曲线。若“”为真命题，则实数的取值范围为 ▲ .
10.在的展开式中，项的系数为▲.(用数字作答）
11.已知双曲线 (a>0,b>0)的左顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1:2, 则该双曲线的渐近线方程为▲.
12.—场晚会共有7个节目丄B、C、D、E、F、G,要求第一个节目不能排G，节目A必须排在前4个，节目D必须后3个，则有 ▲种不同的排法。(用数字作答）
13.观察下列数表，




如此继续下去，则此表最后一行的数为 ▲.(用数字作答）
14.己知函数，若函数恰有4个不同的零点， 则的取值范围为 ▲ .
二、解答题:本大体共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分14分）
己知矩阵.
（1）求A2.
（2）求矩阵A的特征值和特征向量。
16.(本小题满分14分)
如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1.
（1）求异面直线所成角的余弦值；
（2）求二面角B1—EB—F的余弦值.
17.(本小题满分14分）
为了纪念国庆70周年，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高二某班的同学将班级长AB=4米、宽BC=2米的黑板做如图所示的区域划分：取AB中点F，连接CF,以AB为对称轴，过A、C两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点P，作PE丄AB垂足为E.作PG//AB交CF于点G.在四边形PEFG内设计主题LOGO,其余区域用于文字排版，设PE的长度为t米.
（1）求PG长度的表达式，并写出定义域；
（2）设四边形PEFG面积为S，求当为何值时，S取最大值，最大为多少平方米？
18.(本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C: (a>0,b>0)的离心率为，点(2, 1)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与圆O: 相切，与椭圆C相交于P，Q两点.
①若直线过椭圆C的右焦点F，且与圆O切于第一象限，求△OPQ的面积；
②求证：的值为定值.
19.(本小题满分16分）
已知数列{}各项均为正数，.
(1)若,
①求a2，a3, a4的值：
②猜想数列{}的通项公式知，并用数学归纳法证明;
(2)若，证明：当时，.
20. (本小题满分16分）
己知函数有极值，且函数的极值点是的极值点，其中e是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值).
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)求关于的函数关系式；
(3)当a>0时，若函数的最小值为，证明：/
2018-2019学年第二学期
南京市六校联合体高二年级期末考试试卷
数学附加题 2019.06
21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或浪算步骤。
A.选修4-2:矩阵与变换
已知点P(1,2)，经矩阵，对应的变换作用下，变为点
Q(4,2)
(1)求的值；
(2)直线在M对应的变换作用下变为直线,求直线的方程.
B.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以直角坐标系原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线C的交点的直角坐标.
C.选修4一5:不等式选讲
若正数满足，求的最小值.
【必做埋】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或浪算步骤。
22.(本小题满分10分）
某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名男同学，3名女同学，在这10名同学中，1班和2班各有两名同学，3班至8班各有一名同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自不同班级的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.
23.(本小题满分10分）
己知函数，其中
若,求 的值；
若，化简：






南京市六校联合体高二年级期末考试试卷
数学参考答案及评分标准 2019.06
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．5 2．5000 3．5 4．18 5．2 6． 7．110 8．2
9．[0,1) 10．6 11．y＝±x 12．1224 13．2816 14．[－16,0)

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
(1)A2＝＝ ····································6分

(2)矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ－3)( λ－4)－6＝(λ－1)( λ－6) ····················8分
令f(λ)＝0得λ1＝1，λ2＝6 ····················9分
λ1＝1时 解得x＝－y，取y＝2得＝·······················11分
λ2＝6时 解得x＝y，取y＝1得＝·······························13分
∴矩阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝6，分别对应特征向量＝，＝．········14分
（注：特征向量答案不唯一，只要共线即可）

16. (本小题满分14分)
解答 (1) 因为DA，DC，DD1两两垂直，所以分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为棱长为 3, A1E＝CF＝1，
则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，C1(0,3,3)，
E(3,0,2)，F(0,3,1)． 所以＝(－3,3,3)，＝(3,0,－1)， ···········3分
所以cos〈，〉＝ ＝ ＝－，·········6分
所以异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值是. ···········7分
(2)平面的法向量是 ···································8分
设平面 BED1F的法向量是n＝(x，y，z)，
又因为＝(0，－3,2)，＝(－3,0,1)，n⊥，n⊥，
所以n·＝0，n·＝0，
即令z＝3，则x＝1，y＝2，所以n＝(1,2,3)．···········11分
所以， ···········13分
所以二面角B1-EB-F的余弦值是 ·······························14分

17．(本小题满分14分)
解：⑴以为坐标原点，以所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系.
所以,所以直线为 ……………2分
因为抛物线是以AB 为对称轴， 设抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，所以 ………………………4分
因为，所以，所以 …7分
⑵因为，，所以四边形的面积
………………9分
设，由，解得： ……11分
t
+ 0 -
↗ 极大值[来源:Z_xx_k.Com] ↘







所以当t=1时，g(t)取极大值且是最大值g(t)max＝ ……………………13分
答：当时，四边形面积取得最大值为 ……………………14分
（注：不答扣一分）

18．(本小题满分16分)
解：（1）由题意，得＝ EQ \F(,2)，＋＝1，解得a2＝6，b2＝3． ·······················2分
所以椭圆的方程为＋＝1． ··········································3分
（2）椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以eq \F(|－k |,)＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)． ·················5分
把切线方程 y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0．
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝ EQ \F(8,5)．
由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e( x1＋x2)＝2×－ EQ \F(,2)× EQ \F(8,5)＝eq \F(6,5)．········7分
所以，△OPQ的面积为eq \F(6,5)． ·······················8分
②解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－．
当x＝时，P (，)，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ．··········9分
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ。
由等面积法可知 ＝ ·································10分
(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．
因为直线与圆相切，所以 EQ \F(|m|,)＝，即m2＝2k2＋2． ··················12分
将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．··········13分
因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)×＋km×(－)＋m2．
将m2＝2k2＋2代入上式可得·＝0， ··················15分
所以OP⊥OQ．由等面积法可知 ＝ 为定值 ··················16分
解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x＋y＝2．
(i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝或x＝－．
当x＝时，P (，)，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ．
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ． 由等面积法可知 ＝为定值
··································10分
(ii) 当y0≠0时，
由方程组eq \b\lc\{(\a\al(x0x＋y0y－2＝0，,＋＝1，))消去y得(2x＋y)x2－8x0x＋8－6y＝0．
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝eq \F(8x0,2x＋y)，x1x2＝eq \F(8－6y,2x＋y)． ················12分
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝ eq \f(－8(x02＋y)＋16,y02(2x＋y))．
因为x＋y＝2，代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ．·······················15分
综上所述，OP⊥OQ．
由等面积法可知 ＝为定值 ·······················16分



19．(本小题满分16分)
解析： (1) 当时，即
1 当n=2时，………………………………………………………………………1分
当n=3时，…………………………………………………………………………2分
当n=4时，…………………………………………………………………………3分
②由此猜想：
证明如下：
①当n=1时，，成立；……………………………………………………4分
②假设当n=k时，猜想也成立，即,
则当n=k+1时，
. ……………………………………7分
即当n=k+1时，猜想也成立。
由①②得，猜想成立，即.() …………………………8分
(2) 当时，即
当n=2时，由知不等式成立。…………………………………10分
假设当n=k(k)时，命题也成立，即.
由………………………………12分
…………………………………………………15分
即当n=k+1时，命题也成立。
由①②得，原命题成立，即当。……………………………………16分


20．(本小题满分16分)
解：（1）当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ex，f (x)＝(x＋2)ex，
f(1)＝2e，f (1)＝3e，所以切线方程为y＝3e x－e ························2分
（2）因为，令，解得.
列表如下.


单调减 极小值 单调增
所以时，取得极小值. ························4分
因为，
由题意可知，且
所以，
化简得， ························6分
由，得.
所以，. ························7分
（2）因为，
所以

························9分
记，则，令，解得.
列表如下.


单调减 极小值 单调增
所以时，取得极小值，也是最小值，
此时，
. ························11分
令，解得.
列表如下.


单调减 极小值 单调增
所以时，取得极小值，也是最小值.
所以
. ························13分
令，则，
记，，
则，.
因为，，
所以，所以单调递增.
所以，所以. ························16分

























南京市六校联合体高二年级期末考试试卷
数学附加题参考答案及评分标准 2019.06
21A．（1）＝
解得
∴a＝1；b＝0 …………4分
（2）由（1）知M＝
TM：＝＝
设直线l上任意一点P(x0，y0)经矩阵M变换为P’(x’，y’)
则 …………7分
∵2x’＋4y’＋1＝0
∴2(2x0＋y0)＋4y0＋1＝0即4x0＋6y0＋1＝0
∴直线l的方程为4x＋6y＋1＝0 …………10分
21B．解：将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 …………2分
将曲线C的参数方程化为普通方程可得： …………5分
由得，解得或，又，所以，
所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. …………10分
注：结果多一解的扣2分

21C．解 因为正数a，b，c满足a+b+c=1，
所以，，………5分
即，
当且仅当，即时，原式取最小值1． …………10分
22．（本小题满分10分）
解：（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件，则
………4分
答：选出的3名同学是来自不同班级的概率为.
（2）随机变量的所有可能值为
………5分
………6分
………7分
………8分
的分布列为
0 1 2 3


答：选出的3名同学中女同学人数的数学期望为. ………10分
(注：不答扣1分，分布列不列表不扣分)

23．（本小题满分10分）
（1），=2019时，

令得， ·················1分
令得 ·················2分
可得； ·················3分
（2）若，，
当时，， ·················4分
当时，， ·················5分
当时，， ···········6分

·····
··········9分
综上， · ···············10分



南京市六校联合体高二年级期末考试试卷
数学附加题参考答案及评分标准 2019.06
21A．（1）＝
解得
∴a＝1；b＝0 …………4分
（2）由（1）知M＝
TM：＝＝
设直线l上任意一点P(x0，y0)经矩阵M变换为P’(x’，y’)
则 …………7分
∵2x’＋4y’＋1＝0
∴2(2x0＋y0)＋4y0＋1＝0即4x0＋6y0＋1＝0
∴直线l的方程为4x＋6y＋1＝0 …………10分
21B．解：将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 …………2分
将曲线C的参数方程化为普通方程可得： …………5分
由得，解得或，又，所以，
所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. …………10分
注：结果多一解的扣2分

21C．解 因为正数a，b，c满足a+b+c=1，
所以，，………5分
即，
当且仅当，即时，原式取最小值1． …………10分
22．（本小题满分10分）
解：（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件，则
………4分
答：选出的3名同学是来自不同班级的概率为.
（2）随机变量的所有可能值为
………5分
………6分
………7分
………8分
的分布列为
0 1 2 3


答：选出的3名同学中女同学人数的数学期望为. ………10分
(注：不答扣1分，分布列不列表不扣分)

23．（本小题满分10分）
（1），=2019时，

令得， ·················1分
令得 ·················2分
可得； ·················3分
（3）若，，
当时，， ·················4分
当时，， ·················5分
当时，， ···········6分

·····
··········9分
综上， · ···············10分








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