高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：07【基础】《空间几何体》单元复习与巩固
文档属性
| 名称 | 高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：07【基础】《空间几何体》单元复习与巩固 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 486.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-02 08:29:54 | ||
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文档简介
《空间几何体》全章复习与巩固
【学习目标】
（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图．
（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图
1．多面体的结构特征
（1）棱柱（以三棱柱为例）
如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．
各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．
（2）棱锥（以四棱锥为例）
如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．
（3）棱台
棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．
2．旋转体的结构特征
旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．
要点二．空间几何体的三视图和直观图
1．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
2．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．
3．平行投影与中心投影
平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．
要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．
要点三．空间几何体的表面积和体积
1．旋转体的表面积
名称
图形
表面积
圆柱
S=2πr（r+）
圆锥
S=πr（r+）
圆台
球
2．几何体的体积公式
（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh；
（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=Sh；
（3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为，S，高为h，则体积V=（++S）h；
（4）设球半径为R，则球的体积V=π．
要点诠释：
1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．
2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．
3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．
【典型例题】
类型一．空间几何体的结构特征
例1．一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）
A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体
【思路点拨】分析多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离后，平移前后点、线、面之间的关系，结合棱柱的几何特征即可得到答案．
【答案】B
【解析】一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离
则平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行
且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行
各边在平移过程形成的面均为平行四边形
故形成的几何体为棱柱
故选B
【总结升华】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中熟练掌握各个几何体的几何特征是解答此类问题的关键．
举一反三：
【变式】如图选项中的长方体，由如图的平面图形（其中，若干矩形被涂黑）围成的是（ ）
【思路点拨】利用长方体的侧面展开图求解．
【解析】由长方体的侧面展开图，知：
这个长方体中相对的两个最小的矩形被涂黑，
剩余的两组对面中，一组被涂黑，另一组是原色．
故选D．
例2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
【思路点拨】运用图形判断，结合棱柱的概念．
【解析】∵如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，
∴据图可判断为：棱柱，底面为梯形，三角形等情况，
故选A
【总结升华】本题考查了空间几何体的性质，概念，空间想象能力．
举一反三：
【变式】一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．正六边形
【答案】D
类型二．空间几何体的三视图
例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）．
【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．
【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
举一反三：
【变式】已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）
【答案】B
【解析】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，
由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2
故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，
故选B．
例4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．球 D．四棱柱
【思路点拨】由已知中的三视图中有两个矩形，可得该几何体为柱体，进而根据俯视图为三角形，可得几何体的形状．
【答案】B
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是三棱柱，
故选B．
举一反三：
【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．
【答案】A
【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．
又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，
观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为
，
则该几何体的表面积为．
故选A．
【变式2】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
【答案】A
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积，
高为1，
故棱锥的体积，
故选：A
【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
类型三．几何体的直观图
例5．如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 （ ）
A．6 B．8
C．2＋3 D．2＋2
【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．
【答案】B
【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝2，OA＝1，
∴AB＝3，所以周长为8．
故选B
【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．
【变式】用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是________．
【思路点拨】根据斜二测画法与平面直观图的关系进行求解即可．
【解析】如图△A＇B＇C＇是边长为2的正三角形ABC的直观图，
则A＇B＇=2，C＇D＇为正三角形ABC的高CD的一半，
即，
则高，
∴三角形△A＇B＇C＇的面积为．
故答案为：．
【总结升华】本题主要考查斜二测画法的应用，要求熟练掌握斜二测对应边长的对应关系，比较基础．
类型四．空间几何体的表面积与体积
例6．有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．
【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图），
由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起．止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC=5πcm，
故铁丝的最短长度为5πcm．
【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．
举一反三：
【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______． 【答案】圆半径r=10，面积S=100π，圆锥母线．
例7．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为________．
【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．
【答案】2
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2 m2，
棱锥的高h=3 m，
故体积，
故答案为：2
【总结升华】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
举一反三：
【变式】一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥
其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3
故棱锥的体积
故选B
【巩固练习】
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．三角形绕其一边旋转一周后成一个圆锥
B．一个直角梯形绕其一边旋转一周后成为一个圆台
C．平行四边形绕其一边旋转一周后成为圆柱
D．圆面绕其一条直径旋转一周后成为一个球
2．以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；
③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．
A．③④ B．①④ C．①②④ D．①
3．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C．8 D．4
6．一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．7 B． C． D．
11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．则该几何体的表面积是________；体积是________．
12．已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为________．
13．正三棱柱ABC—A1B1C1内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．
14．某几何体的三视图如图所示，作出该几何体直观图的简图，并求该几何体的体积．
15．设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．
【参考答案与解析】
1．【答案】D
【解析】在A中，直角三角形绕直角边旋转一周后成一个圆锥，绕斜边得到是两底部相等并重合的顶部方向相反的圆锥集合体，故A错误；
在B中，一个直角梯形绕其上底和下底中点连线旋转一周后成为一个圆台，故B错误；
在C中，矩形绕其一边旋转一周后成为圆柱，故C错误；
在D中，圆面绕其一条直径旋转一周后成为一个球，故D正确．
故选D．
2．【答案】D
【解析】①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；正确，当平面与棱柱的所有平面不平行时，截出的两个几何体不是棱柱．
②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；不正确，不满足棱台的定义．
③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；不正确；当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台．
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱，不正确，不满足棱柱的定义．
故选：D．
3．【答案】C.
【解析】由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是可知该几何体的底面积是，由图知A的面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，故选C.
4．【答案】B
【解析】由三视图知几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，
∴四棱锥的体积是．
故选B．
5．【答案】A
【解析】由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：
该几何体是一个四棱锥A—CDEF和一个三棱锥组F—ABC成的组合体，
四棱锥A—CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，
三棱锥组F—ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，
故这个几何体的体积，
故选：A
6．【答案】C
7．【答案】A
【解析】由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以1为高的四棱锥
由于正视图是一个上底为1，下底为2，高为1的直角梯形
故棱锥的底面面积
则
故选A
8．【答案】A
【解析】该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，
三棱柱的底面是等腰直角三角形，
其面积，高为1；
故其体积V1=1×1=1；
三棱锥的底面是等腰直角三角形，
其面积，高为1；
故其体积；
故该几何体的体积；
故选A．
9．【答案】B
【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，
几何体的体积为：．故选B．
10．【答案】D
【解析】依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，
故选D．
11．【答案】．
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：
平面ABFE的面积为32，
平面BCDF的面积为：24，
平面ABC的面积为：8，
平面DEF的面积为：，
平面ADE的面积为：，
平面ACD的面积为：，
故组合体的表面为：，
棱柱ABC—EFG的体积为：64，
棱锥D—BFG的体积为：，
故组合体的体积为：，
故答案为：．
12．【答案】
【解析】设球的半径为r，O＇是△ABC的外心，外接圆半径为，
∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，
∴得，得．
球的表面积．
故答案为：．
13．【答案】8
【解析】由条件可得，所以，O到平面ABC的距离为，所以所求体积等于8．
14．【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥，
且底面正方形的边长为1；画出该四棱锥的直观图如图所示：
∴该四棱锥的体积为V=
15．【答案】42+9π
【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和一个球形成的组合体，
长方体的体积为3×3×2=18，球的体积为：，
故组合体的体积，
长方体的表面积为2(2×3+2×3+3×3)=42，球的表面积为：，
故组合体的表面积S=42+9π．
【学习目标】
（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图．
（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图
1．多面体的结构特征
（1）棱柱（以三棱柱为例）
如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．
各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．
（2）棱锥（以四棱锥为例）
如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．
（3）棱台
棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．
2．旋转体的结构特征
旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．
要点二．空间几何体的三视图和直观图
1．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
2．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．
3．平行投影与中心投影
平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．
要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．
要点三．空间几何体的表面积和体积
1．旋转体的表面积
名称
图形
表面积
圆柱
S=2πr（r+）
圆锥
S=πr（r+）
圆台
球
2．几何体的体积公式
（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh；
（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=Sh；
（3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为，S，高为h，则体积V=（++S）h；
（4）设球半径为R，则球的体积V=π．
要点诠释：
1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．
2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．
3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．
【典型例题】
类型一．空间几何体的结构特征
例1．一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）
A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体
【思路点拨】分析多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离后，平移前后点、线、面之间的关系，结合棱柱的几何特征即可得到答案．
【答案】B
【解析】一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离
则平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行
且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行
各边在平移过程形成的面均为平行四边形
故形成的几何体为棱柱
故选B
【总结升华】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中熟练掌握各个几何体的几何特征是解答此类问题的关键．
举一反三：
【变式】如图选项中的长方体，由如图的平面图形（其中，若干矩形被涂黑）围成的是（ ）
【思路点拨】利用长方体的侧面展开图求解．
【解析】由长方体的侧面展开图，知：
这个长方体中相对的两个最小的矩形被涂黑，
剩余的两组对面中，一组被涂黑，另一组是原色．
故选D．
例2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
【思路点拨】运用图形判断，结合棱柱的概念．
【解析】∵如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，
∴据图可判断为：棱柱，底面为梯形，三角形等情况，
故选A
【总结升华】本题考查了空间几何体的性质，概念，空间想象能力．
举一反三：
【变式】一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．正六边形
【答案】D
类型二．空间几何体的三视图
例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）．
【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．
【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
举一反三：
【变式】已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）
【答案】B
【解析】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，
由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2
故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，
故选B．
例4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．球 D．四棱柱
【思路点拨】由已知中的三视图中有两个矩形，可得该几何体为柱体，进而根据俯视图为三角形，可得几何体的形状．
【答案】B
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是三棱柱，
故选B．
举一反三：
【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．
【答案】A
【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．
又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，
观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为
，
则该几何体的表面积为．
故选A．
【变式2】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
【答案】A
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积，
高为1，
故棱锥的体积，
故选：A
【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
类型三．几何体的直观图
例5．如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 （ ）
A．6 B．8
C．2＋3 D．2＋2
【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．
【答案】B
【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝2，OA＝1，
∴AB＝3，所以周长为8．
故选B
【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．
【变式】用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是________．
【思路点拨】根据斜二测画法与平面直观图的关系进行求解即可．
【解析】如图△A＇B＇C＇是边长为2的正三角形ABC的直观图，
则A＇B＇=2，C＇D＇为正三角形ABC的高CD的一半，
即，
则高，
∴三角形△A＇B＇C＇的面积为．
故答案为：．
【总结升华】本题主要考查斜二测画法的应用，要求熟练掌握斜二测对应边长的对应关系，比较基础．
类型四．空间几何体的表面积与体积
例6．有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．
【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图），
由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起．止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC=5πcm，
故铁丝的最短长度为5πcm．
【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．
举一反三：
【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______． 【答案】圆半径r=10，面积S=100π，圆锥母线．
例7．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为________．
【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．
【答案】2
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2 m2，
棱锥的高h=3 m，
故体积，
故答案为：2
【总结升华】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
举一反三：
【变式】一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥
其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3
故棱锥的体积
故选B
【巩固练习】
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．三角形绕其一边旋转一周后成一个圆锥
B．一个直角梯形绕其一边旋转一周后成为一个圆台
C．平行四边形绕其一边旋转一周后成为圆柱
D．圆面绕其一条直径旋转一周后成为一个球
2．以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；
③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．
A．③④ B．①④ C．①②④ D．①
3．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C．8 D．4
6．一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．7 B． C． D．
11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．则该几何体的表面积是________；体积是________．
12．已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为________．
13．正三棱柱ABC—A1B1C1内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．
14．某几何体的三视图如图所示，作出该几何体直观图的简图，并求该几何体的体积．
15．设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．
【参考答案与解析】
1．【答案】D
【解析】在A中，直角三角形绕直角边旋转一周后成一个圆锥，绕斜边得到是两底部相等并重合的顶部方向相反的圆锥集合体，故A错误；
在B中，一个直角梯形绕其上底和下底中点连线旋转一周后成为一个圆台，故B错误；
在C中，矩形绕其一边旋转一周后成为圆柱，故C错误；
在D中，圆面绕其一条直径旋转一周后成为一个球，故D正确．
故选D．
2．【答案】D
【解析】①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；正确，当平面与棱柱的所有平面不平行时，截出的两个几何体不是棱柱．
②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；不正确，不满足棱台的定义．
③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；不正确；当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台．
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱，不正确，不满足棱柱的定义．
故选：D．
3．【答案】C.
【解析】由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是可知该几何体的底面积是，由图知A的面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，故选C.
4．【答案】B
【解析】由三视图知几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，
∴四棱锥的体积是．
故选B．
5．【答案】A
【解析】由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：
该几何体是一个四棱锥A—CDEF和一个三棱锥组F—ABC成的组合体，
四棱锥A—CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，
三棱锥组F—ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，
故这个几何体的体积，
故选：A
6．【答案】C
7．【答案】A
【解析】由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以1为高的四棱锥
由于正视图是一个上底为1，下底为2，高为1的直角梯形
故棱锥的底面面积
则
故选A
8．【答案】A
【解析】该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，
三棱柱的底面是等腰直角三角形，
其面积，高为1；
故其体积V1=1×1=1；
三棱锥的底面是等腰直角三角形，
其面积，高为1；
故其体积；
故该几何体的体积；
故选A．
9．【答案】B
【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，
几何体的体积为：．故选B．
10．【答案】D
【解析】依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，
故选D．
11．【答案】．
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：
平面ABFE的面积为32，
平面BCDF的面积为：24，
平面ABC的面积为：8，
平面DEF的面积为：，
平面ADE的面积为：，
平面ACD的面积为：，
故组合体的表面为：，
棱柱ABC—EFG的体积为：64，
棱锥D—BFG的体积为：，
故组合体的体积为：，
故答案为：．
12．【答案】
【解析】设球的半径为r，O＇是△ABC的外心，外接圆半径为，
∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，
∴得，得．
球的表面积．
故答案为：．
13．【答案】8
【解析】由条件可得，所以，O到平面ABC的距离为，所以所求体积等于8．
14．【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥，
且底面正方形的边长为1；画出该四棱锥的直观图如图所示：
∴该四棱锥的体积为V=
15．【答案】42+9π
【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和一个球形成的组合体，
长方体的体积为3×3×2=18，球的体积为：，
故组合体的体积，
长方体的表面积为2(2×3+2×3+3×3)=42，球的表面积为：，
故组合体的表面积S=42+9π．