高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：11【基础】空间点、直线、平面之间的位置关系
文档属性
| 名称 | 高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：11【基础】空间点、直线、平面之间的位置关系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 666.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-02 08:32:09 | ||
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文档简介
空间中直线、平面之间的位置关系
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；
2．掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；
3.了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系．
【要点梳理】
要点一：空间两直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系：
(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；
(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
3.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
要点诠释：
（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．
（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a，直线，a∥b，不能由a、b不同在平面内就误认为a与b异面，实际上，由a∥b可知a与b共面，它们不是异面直线．
（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．
（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．
4.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内．
5.平行直线：
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：，.
公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.
定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
6.异面直线所成的角：
直线a、b是异面直线，经过空间中一点O，分别引直线，，相交直线a＇、b＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b形成的角，如右图所示．当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.
要点诠释：
异面直线所成角的取值范围是；
求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
要点二：直线和平面的位置关系
1．直线和平面的位置关系
（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.
如果直线a和平面平行，记作.
（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交.
如果直线a和平面相交于点，记作.
（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作.
2．直线与平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类
（2）按直线是否在平面内分类
3．直线与平面位置关系的图形表示和符号表示
位置关系
直线a在平面内
直线a与平面相交
（直线不在平面内）
直线a与平面平行
（直线不在平面内）
符号表示
图形表示
要点三：两个平面的位置关系
1．两个平面的位置关系
（1）两个平面平行——没有公共点．
（2）两个平面相交——有一条公共直线（或至少有一个公共点）．
2．两个平面位置关系的图形表示和符号表示
位置关系
图形表示
符号表示
公共点个数
两平面平行
无公共点
两平面相交
斜交
有一条公共直线
垂直
且
有一条公共直线
3．两个平面平行的画法
画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的．
4．两个相交平面的画法
（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）．
（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）．
（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3）．
（4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4））．
【典型例题】
类型一、空间两条直线的位置关系
例1．异面直线是指（ ）
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
【答案】 D
【解析】应根据异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线”予以判断．
对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行（共面），二是异面，∴A项排除．
对于B，分别位于两个不同平面内的直线，既可能平行，也还可能相交，还可能异面，如上图，就是相交的情况，B应排除．
对于C，如上图中的a，b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．
只有D符合定义，∴应选D．
【总结升华】解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面需要掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关模型，特例模型能快速、有效地排除相关的选择项．
举一反三：
【变式1】 判断下列说法是否正确?若正确，请简述理由；若不正确，请在下列给出的图形中找出反例，并给予说明．
（1）没有公共点的两条直线是异面直线；
（2）分别在两个平面内的直线一定是异面直线；
（3）分别与两条相交直线都相交的两条直线共面；
（4）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面．
【答案】
（1）不正确，如下图①③中的直线a，b；
（2）不正确，如下图②③中的直线AC，BC及a，b．
（3）不正确，如下图②中的直线AB与；
（4）不正确，如下图④中，直线AD与BC是异面直线AB，AC都与AD，BC相交，但AB，AC是共面直线．
例2．已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
【答案】平行、相交或异面
【解析】对空间直线与直线的三种位置关系逐一判断．直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如下图（1）（2）（3）．
【总结升华】不论是在空间还是在同一平面内，平行直线都具有传递性，而异面直线不具有这一特点．本例中的三条直线，由于位置关系不确定，因此，要按照直线位置关系的三种情况逐一分析，而画出示意图对问题的解决是很有帮助的．
举一反三：
【变式1】如图，正方体中，点分别是棱的中点，判断下列直线的位置关系：
（1）与 ：（2）与：
（3）与：（4）与．
【答案】（1）异面（2）异面（3）共面（4）共面
类型二、平行公理与等角定理的应用
例3．已知棱长为a的正方体中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：（1）四边形是梯形；
（2）．
【答案】详见证明
【证明】（1）如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，．
由正方体的性质得：AC∥，．
∴MN∥，且，
即，
∴四边形是梯形．
（2）由(1)可知MN∥，
又因为ND∥，
∴∠DNM与相等或互补．
而∠DNM与均是直角三角形的锐角，
∴．
例4．如右图所示，△ABC和△的对应顶点的连线AA＇，BB＇，CC＇交于同一点D，且．
（1）求证：，，；
（2）求的值．
【解析】（1）∵AA＇与BB＇相交于O点，且，∴．同理，，．
（2）∵，，∴AB和AC，和所成的
锐角（或直角）相等，即∠BAC=∠．同理，∠ABC=∠，∠ACB=∠．
∴△ABC∽△．
又，∴．
【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．
在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．
举一反三：
【变式1】 已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点．
求证：∠BEC=∠B1E1C1．
证明：如右图，连接EE1，
∵E1、E分别为A1D1、AD的中点，∴A1E1AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1AE1E．
又∵A1AB1B，∴E1EB1B，
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．
又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1=∠CEB．
类型三、异面直线所成的角
例5．如下图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
【解析】解法一：（直接平移法）如下图1，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1，则OG∥DB1，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1=GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
解法二：分别取AA1，CC1的中点M，N，
连接MN，则MN∥EF，如上图2所示，连接DM，B1N，B1M，DN，
则B1N∥DM且B1N=DM，
∴四边形DMB1N为平行四边形，
∴MN与B1D必相交，设交点为P，并设正方体的棱长为1，则，，，
∴DM2=DP2+MP2，∴∠DPM=90°，即DB1⊥EF．∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程．通常是通过解三角形求得．
举一反三：
【变式1】已知正方体中：
（1）与所成的角为________；
（2）AD与所成的角为________．
【答案】（1）60°；（2）45°
【解析】连接，则∥，连接，则就是与所成的角．
由△为正三角形，
知，
由AD∥BC，知AD与所成的角就是．
易知．
【变式2】（2017 包头模拟）正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，
∵正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为，
∴
因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，
则∠OEB即为PA与BE所成的角
所以，
在Rt△OEB中，，
所以
故选B
类型四、直线与平面的位置关系
例6．下列命题中正确命题的个数为（ ）
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；
④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面．如下图（1）中正方体ABCD-A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD， A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90°，
因此命题①是错误的．
对于③，如上图（1），∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD，AB平面ABCD，A1D1，A1B1平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条．可以想象，经过平面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的，∴命题③也是错误的．
对于④，我们可以继续借助正方体ABCD- A1B1C1D1来举反例，如上图（2），分别取AD，BC的中点E，F，A1D1，B1C1的中点G，H，顺次连接E、F、H、G，∵E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，∴可以证明四边形EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A，D两个点到该截面的距离相等，直线AD∩平面EFHG=E，∴命题④也是错误的．
对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直．
∴正确的命题只有一个，∴应选B．
【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形．
正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型．而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．
举一反三：
【变式1】 下列命题中正确的个数是（ ）．
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于过b的任何一个平面；
②如果直线a满足a∥，那么a与平面内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥，b∥，则a∥b；
④如果直线a、b和平面满足a∥b，a∥，b，那么b∥；⑤如果a与平面内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面．
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】C
类型五、平面与平面的位置关系
例7．已知下列说法：
①两平面，则；
②若两个平面，则与是异面直线；
③若两个平面，则与一定不相交；
④若两个平面，则与平行或异面；
⑤若两个平面，，则与一定相交．
其中正确的序号是 （将你认为正确的序号都填上）．
【答案】③④
【解析】①错．与也可能异面．
②错．与也可能平行．
③对．，与无公共点．又，
与无公共点．
④对．由已知③知：与无公共点，那么或与异面．
⑤错．与也可能平行．
【总结升华】解答此类问题，要把符号语言转化为自然语言，根据两平面间的位置关系，借助空间想象能力求解．
举一反三：
【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【解析】本题主要考查两平面平行的特点．当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面．
【总结升华】两个平面平行的主要特点就是它们没有公共点，这一重要特点是解题时常用的结论．
【巩固练习】
1．已知a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b（ ）．
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线、
C．不可能是相交直线 D．不可能是平行直线
2．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）．
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
3．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）．
A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
5．（2017春 福建厦门月考）以下四个结论：
①若，则a，b为异面直线；
②若，则a，b为异面直线；
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．若三个平面两两相交，则它们交线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．1或3
7.正六面体中，与面的对角线异面的棱有 条．
8．已知a，b，c是直线，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．
其中真命题是______________(写出所有正确命题的序号)．
9．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．
10．在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，EF，CD都相交的直线有________条．
11．（2017 成都金牛区月考）如图，已知长方体ABCD—A＇B＇C＇D中，，AA＇=2，
（1）哪些棱所在直线与直线BA＇是异面直线？
（2）直线BC与直线A＇C＇所成角是多少度？
12．三个平面，，．如果，，，且直线，．
（1）判断c与的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与a的位置关系，并说明理由．
13．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 若c∥b，则由c∥a，得a∥b，与已知a、b异面矛盾．故应选D．
2．【答案】B
【解析】 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6=24（对），故应选B．
3．【答案】C
【解析】A，B中PQ∥RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C．
4．【答案】D
【解析】 根据三角形中位线的性质及正方形的定义判断．
5．【答案】A
【解析】①满足若的直线a，b可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线．所以①错误．
②根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线，可能是异面直线，可能是平行直线，也可能相交，所以②错误．
③在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误．
④在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线，所以④错误．
故选A．
6．【答案】D
【解析】 如下图，当三平面的位置关系如下图（1）时，有三条交线；当三平面的位置关系如下图（2）时，有一条交线．
7. 【答案】 6
【解析】画出正方体的图形，即可数出。
8．【答案】①③
【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以平行也可以相交或异面，②不正确；易知③正确；与两条异面直线都垂直的直线有无数条，④不正确．故填①③．
9．【答案】平行或相交
【解析】结合实例分析验证．
10．【答案】无数
【解析】如图示，
在EF上任取一点M，直线与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．故填无数．
11．【答案】（1）B＇C＇、CC＇、CD＇、C＇D＇、DD＇、AD；（2）45°
【解析】（1）由异面直线的定义知与BA＇异面的直线有：B＇C＇、CC＇、CD＇、C＇D＇、DD＇、AD
（2）∵此几何体为长方体
∴BC∥B＇C＇
∴BC与A＇C＇所成的角等于B＇C＇与A＇C＇所成的角
又∵AB=AD
∴四边形A＇B＇C＇D＇是正方形
∴B＇C＇与A＇C＇所成的角为∠A＇C＇B＇=45°
∴BC与A＇C＇所成的角等于45°
12．【解析】（1）c∥．因为∥，所以与没有公共点，又c，所以c与无公共点，则c∥．
（2）c∥a．因为∥，所以与没有公共点，又，，则，，且，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a．
13．【解析】根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE（或CD）．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．
取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）．
在Rt△EAB中，AB=1，，∴．
在Rt△AEF中，，，∴．
在Rt△ABF中，AB=1，，∴．
在等腰△EBF中，，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为．
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；
2．掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；
3.了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系．
【要点梳理】
要点一：空间两直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系：
(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；
(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
3.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
要点诠释：
（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．
（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a，直线，a∥b，不能由a、b不同在平面内就误认为a与b异面，实际上，由a∥b可知a与b共面，它们不是异面直线．
（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．
（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．
4.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内．
5.平行直线：
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：，.
公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.
定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
6.异面直线所成的角：
直线a、b是异面直线，经过空间中一点O，分别引直线，，相交直线a＇、b＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b形成的角，如右图所示．当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.
要点诠释：
异面直线所成角的取值范围是；
求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
要点二：直线和平面的位置关系
1．直线和平面的位置关系
（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.
如果直线a和平面平行，记作.
（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交.
如果直线a和平面相交于点，记作.
（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作.
2．直线与平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类
（2）按直线是否在平面内分类
3．直线与平面位置关系的图形表示和符号表示
位置关系
直线a在平面内
直线a与平面相交
（直线不在平面内）
直线a与平面平行
（直线不在平面内）
符号表示
图形表示
要点三：两个平面的位置关系
1．两个平面的位置关系
（1）两个平面平行——没有公共点．
（2）两个平面相交——有一条公共直线（或至少有一个公共点）．
2．两个平面位置关系的图形表示和符号表示
位置关系
图形表示
符号表示
公共点个数
两平面平行
无公共点
两平面相交
斜交
有一条公共直线
垂直
且
有一条公共直线
3．两个平面平行的画法
画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的．
4．两个相交平面的画法
（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）．
（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）．
（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3）．
（4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4））．
【典型例题】
类型一、空间两条直线的位置关系
例1．异面直线是指（ ）
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
【答案】 D
【解析】应根据异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线”予以判断．
对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行（共面），二是异面，∴A项排除．
对于B，分别位于两个不同平面内的直线，既可能平行，也还可能相交，还可能异面，如上图，就是相交的情况，B应排除．
对于C，如上图中的a，b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．
只有D符合定义，∴应选D．
【总结升华】解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面需要掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关模型，特例模型能快速、有效地排除相关的选择项．
举一反三：
【变式1】 判断下列说法是否正确?若正确，请简述理由；若不正确，请在下列给出的图形中找出反例，并给予说明．
（1）没有公共点的两条直线是异面直线；
（2）分别在两个平面内的直线一定是异面直线；
（3）分别与两条相交直线都相交的两条直线共面；
（4）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面．
【答案】
（1）不正确，如下图①③中的直线a，b；
（2）不正确，如下图②③中的直线AC，BC及a，b．
（3）不正确，如下图②中的直线AB与；
（4）不正确，如下图④中，直线AD与BC是异面直线AB，AC都与AD，BC相交，但AB，AC是共面直线．
例2．已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
【答案】平行、相交或异面
【解析】对空间直线与直线的三种位置关系逐一判断．直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如下图（1）（2）（3）．
【总结升华】不论是在空间还是在同一平面内，平行直线都具有传递性，而异面直线不具有这一特点．本例中的三条直线，由于位置关系不确定，因此，要按照直线位置关系的三种情况逐一分析，而画出示意图对问题的解决是很有帮助的．
举一反三：
【变式1】如图，正方体中，点分别是棱的中点，判断下列直线的位置关系：
（1）与 ：（2）与：
（3）与：（4）与．
【答案】（1）异面（2）异面（3）共面（4）共面
类型二、平行公理与等角定理的应用
例3．已知棱长为a的正方体中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：（1）四边形是梯形；
（2）．
【答案】详见证明
【证明】（1）如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，．
由正方体的性质得：AC∥，．
∴MN∥，且，
即，
∴四边形是梯形．
（2）由(1)可知MN∥，
又因为ND∥，
∴∠DNM与相等或互补．
而∠DNM与均是直角三角形的锐角，
∴．
例4．如右图所示，△ABC和△的对应顶点的连线AA＇，BB＇，CC＇交于同一点D，且．
（1）求证：，，；
（2）求的值．
【解析】（1）∵AA＇与BB＇相交于O点，且，∴．同理，，．
（2）∵，，∴AB和AC，和所成的
锐角（或直角）相等，即∠BAC=∠．同理，∠ABC=∠，∠ACB=∠．
∴△ABC∽△．
又，∴．
【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．
在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．
举一反三：
【变式1】 已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点．
求证：∠BEC=∠B1E1C1．
证明：如右图，连接EE1，
∵E1、E分别为A1D1、AD的中点，∴A1E1AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1AE1E．
又∵A1AB1B，∴E1EB1B，
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．
又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1=∠CEB．
类型三、异面直线所成的角
例5．如下图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
【解析】解法一：（直接平移法）如下图1，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1，则OG∥DB1，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1=GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
解法二：分别取AA1，CC1的中点M，N，
连接MN，则MN∥EF，如上图2所示，连接DM，B1N，B1M，DN，
则B1N∥DM且B1N=DM，
∴四边形DMB1N为平行四边形，
∴MN与B1D必相交，设交点为P，并设正方体的棱长为1，则，，，
∴DM2=DP2+MP2，∴∠DPM=90°，即DB1⊥EF．∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程．通常是通过解三角形求得．
举一反三：
【变式1】已知正方体中：
（1）与所成的角为________；
（2）AD与所成的角为________．
【答案】（1）60°；（2）45°
【解析】连接，则∥，连接，则就是与所成的角．
由△为正三角形，
知，
由AD∥BC，知AD与所成的角就是．
易知．
【变式2】（2017 包头模拟）正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，
∵正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为，
∴
因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，
则∠OEB即为PA与BE所成的角
所以，
在Rt△OEB中，，
所以
故选B
类型四、直线与平面的位置关系
例6．下列命题中正确命题的个数为（ ）
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；
④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面．如下图（1）中正方体ABCD-A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD， A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90°，
因此命题①是错误的．
对于③，如上图（1），∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD，AB平面ABCD，A1D1，A1B1平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条．可以想象，经过平面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的，∴命题③也是错误的．
对于④，我们可以继续借助正方体ABCD- A1B1C1D1来举反例，如上图（2），分别取AD，BC的中点E，F，A1D1，B1C1的中点G，H，顺次连接E、F、H、G，∵E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，∴可以证明四边形EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A，D两个点到该截面的距离相等，直线AD∩平面EFHG=E，∴命题④也是错误的．
对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直．
∴正确的命题只有一个，∴应选B．
【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形．
正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型．而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．
举一反三：
【变式1】 下列命题中正确的个数是（ ）．
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于过b的任何一个平面；
②如果直线a满足a∥，那么a与平面内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥，b∥，则a∥b；
④如果直线a、b和平面满足a∥b，a∥，b，那么b∥；⑤如果a与平面内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面．
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】C
类型五、平面与平面的位置关系
例7．已知下列说法：
①两平面，则；
②若两个平面，则与是异面直线；
③若两个平面，则与一定不相交；
④若两个平面，则与平行或异面；
⑤若两个平面，，则与一定相交．
其中正确的序号是 （将你认为正确的序号都填上）．
【答案】③④
【解析】①错．与也可能异面．
②错．与也可能平行．
③对．，与无公共点．又，
与无公共点．
④对．由已知③知：与无公共点，那么或与异面．
⑤错．与也可能平行．
【总结升华】解答此类问题，要把符号语言转化为自然语言，根据两平面间的位置关系，借助空间想象能力求解．
举一反三：
【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【解析】本题主要考查两平面平行的特点．当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面．
【总结升华】两个平面平行的主要特点就是它们没有公共点，这一重要特点是解题时常用的结论．
【巩固练习】
1．已知a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b（ ）．
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线、
C．不可能是相交直线 D．不可能是平行直线
2．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）．
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
3．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）．
A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
5．（2017春 福建厦门月考）以下四个结论：
①若，则a，b为异面直线；
②若，则a，b为异面直线；
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．若三个平面两两相交，则它们交线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．1或3
7.正六面体中，与面的对角线异面的棱有 条．
8．已知a，b，c是直线，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．
其中真命题是______________(写出所有正确命题的序号)．
9．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．
10．在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，EF，CD都相交的直线有________条．
11．（2017 成都金牛区月考）如图，已知长方体ABCD—A＇B＇C＇D中，，AA＇=2，
（1）哪些棱所在直线与直线BA＇是异面直线？
（2）直线BC与直线A＇C＇所成角是多少度？
12．三个平面，，．如果，，，且直线，．
（1）判断c与的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与a的位置关系，并说明理由．
13．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 若c∥b，则由c∥a，得a∥b，与已知a、b异面矛盾．故应选D．
2．【答案】B
【解析】 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6=24（对），故应选B．
3．【答案】C
【解析】A，B中PQ∥RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C．
4．【答案】D
【解析】 根据三角形中位线的性质及正方形的定义判断．
5．【答案】A
【解析】①满足若的直线a，b可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线．所以①错误．
②根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线，可能是异面直线，可能是平行直线，也可能相交，所以②错误．
③在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误．
④在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线，所以④错误．
故选A．
6．【答案】D
【解析】 如下图，当三平面的位置关系如下图（1）时，有三条交线；当三平面的位置关系如下图（2）时，有一条交线．
7. 【答案】 6
【解析】画出正方体的图形，即可数出。
8．【答案】①③
【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以平行也可以相交或异面，②不正确；易知③正确；与两条异面直线都垂直的直线有无数条，④不正确．故填①③．
9．【答案】平行或相交
【解析】结合实例分析验证．
10．【答案】无数
【解析】如图示，
在EF上任取一点M，直线与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．故填无数．
11．【答案】（1）B＇C＇、CC＇、CD＇、C＇D＇、DD＇、AD；（2）45°
【解析】（1）由异面直线的定义知与BA＇异面的直线有：B＇C＇、CC＇、CD＇、C＇D＇、DD＇、AD
（2）∵此几何体为长方体
∴BC∥B＇C＇
∴BC与A＇C＇所成的角等于B＇C＇与A＇C＇所成的角
又∵AB=AD
∴四边形A＇B＇C＇D＇是正方形
∴B＇C＇与A＇C＇所成的角为∠A＇C＇B＇=45°
∴BC与A＇C＇所成的角等于45°
12．【解析】（1）c∥．因为∥，所以与没有公共点，又c，所以c与无公共点，则c∥．
（2）c∥a．因为∥，所以与没有公共点，又，，则，，且，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a．
13．【解析】根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE（或CD）．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．
取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）．
在Rt△EAB中，AB=1，，∴．
在Rt△AEF中，，，∴．
在Rt△ABF中，AB=1，，∴．
在等腰△EBF中，，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为．