高三数学基础复习资料，复习补习资料，强化练习资料-不等式

高中数学复习----不等式
一、不等式的性质及均值不等式
1．实数的三岐性：设，
那么；；；
2．不等式的性质：
(1)对称性:,(2)传递性:;
(3)加法原理:;
(4)乘法原理;
(5)可加性:,(减法可以转化为加法来进行
;
(6)可乘性:;(除法可转化为乘法来进行)
(7)乘方原理:;
(8)开方原理:;
(9)三角不等式,(其中左等号成立的充要条件是;右等号成立的充要条件是;
3.均值不等式
(1)(当且仅当时”=”成立)
(2)(当且仅当时’=”成立)
(应用于求最值要注意三个条件:一正,二定,三相等缺一不可.
(3)均值不等式的拓展:
4.典型例题
例1.已知,求证:;
例2.若比较与的大小;
例3.设,其中且,试比较和的大小.
例4.设求的最小值.
例5.设,求的最大值.
例6.已知求证: ；
5.巩固训练
A组
1.下列推理正确的是( )
(A) (B) (C) (D)
2.已知满足且,那么下列选项中一定成立的是( )
(A) (B) (C) (D)
3.若则( )
(A) (B) (C) (D)
4.已知,则的最小值为( )
(A)2 (B)6 (C)8 (D)9
5.设,已知命题命题,则是成立的( )
(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件
6.若,则三个数按从小到大排列为 ;
7.若,且,则的最小值为 ;
8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次.一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 吨.
B组
1.已知则的大小关系是 ;
2已知点在直线上,则的最小值是 ;
3.如果,则且 ;
4.已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为 ;
5.设数列中,若,比较与的大小；
二.不等式的证明及含绝对值的不等式
1不等式的证明是不等式的难点之一,证明的主要方法有:比较法,分析法和综合法.
(1)比较法:是证明不等式的最基本的方法,可分为作差比较法,作商比较法
(2)分析法:指从证明的不等式出发,”执果索因”,从结论出发找命题成立的充分条件,直到找到明显成立的不等式或已经证明的不等式为止,这种方法叫分析法.
(3)综合法:从一个正确的不等式出发,根据不等式的性质及均值不等式对该不等式变形,直到得出所求证的不等式为止,即”执因索果”
注:除了以上方法外还有反证法,放缩法,数学归纳法,换元法,函数法与数形结合法等
2.含绝对值的不等式
(1)实数的绝对值的定义;
(2)对有
(3)对有
(4)含绝对值的不等式的定理的推广
3.典型例题
例1.已知,且,求证:;
例2.已知实数其中与为正数,求证:;
例3. 已知,求证:;
例4:若,求证:
例5.证明:;
例6(1)已知求证;;
(2)求实数的取值范围,使不等式对满足的一切实数恒成立;
4.巩固训练
A 组
1.不等式同时成立的充要条件是( )
(A) (B) (C) (D)
2.设且,那么( )
(A)有最小值 (B)有最大值
(C)有最小值 (D)有最小值
3.若且,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
4.设实数满足.若对满足条件的,恒成立,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
5.设,若且,则下列结论中正确的是( )
(A) (B) (C) (D)
6.已知,其中为常数,则的最大值为 ;
7.设且,则与的大小关系为 ;
B组
1.在(1) ;(2);(3);(4),这四个函数中,当时,使恒成立的函数有 ;
2.设,则恒成立的的最小值是 ;
3.设,则与的大小关系是 ;
4.已知且,求证:
5.已知,证明:;
6.已知,求证:
7.已知且,求证:
8.已知数列中,,求证:
三、不等式的解法及不等式的综合应用
1．解不等式的过程实质上是一个等价转化的过程，最终都要转化为一元一次或一元二次不等式，要掌握以下几类不等式解法
(1)一元一次不等式的解法；
(2)一元二次不等式的解法；
(3)简单的高次不等式的解法；
(4)分式不等式解法；
(5)含绝对值不等式的解法；
(6)了解指、对数不等式的解法；
(7)了解无理不等式的解法；
2．不等式的综合应用
(1)不等式知识贯穿于高中数学的始终，是构建高中数学知识交汇点的一个典型平台。
(2)考查学生综合应用所学的数学知识，思想和方法解决实际问题的能力，需要依赖于不等式知识。
(3)不等式的应用问题的常见形式：
①利用不等式知识求最值；②不等式在方程函数中应用；
③不等式在几何问题中的应用；④利用不等式知识解决实际问题；
3．典型例题
例1．若不等式对于一切成立，则实数的最小值是（ ）
(A)0 (B) (C) (D)
例2．解不等式
例3．解关于的不等式
例4．若不等式的解集为求实数的取值范围
例5．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围
例6．解不等式
例7．是互不相等的实数，设，
，试比较与的大小
例8．已知集合，函数的定义域为
(1)若，求实数的取值范围
(2)若方程在内有解，求实数的取值范围
4．巩固训练
A组
1．若不等式的解集是则的值为（ ）
(A) (B) (C)10 (D)14
2．函数的定义域是（ ）
(A) (B) (C) (D)
3．若，则的充要条件是（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
5．设，则与的关系是 ；
6．方程的一根大于3，另一根小于3，则实数k的取值范围是 ；
7．不等式的解集是 ；
8．不等式的解集是 ；
B组
1．已知，则不等式的解集是 ；
2．集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围可以是 ；
3．不等式对恒成立，则实数的值为 ；
4．已知函数的值域为，则函数的定义域为 ；
5．解关于的不等式；
6．已知函数
(1)判断在上的增减性，并证明你的结论；
(2)解关于的不等式；
(3)若在上恒成立，求的取值范围