高三数学基础复习资料，复习补习资料，强化练习资料-排列组合二项式概率统计

“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料
一、基础知识和方法梳理
（一）排列组合
1．计数两原理：
分类计数原理：完成一件事情，有n类方法，在第1类方法中又有m1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m2种方式，……第n类方法中有mn种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：
分步计数原理：完成一件事情，需要分成n步完成，在第1步中，有m1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m2种方式，……第n步中，有mn种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：
2．排列：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数
3．组合：
从n个不同的元素中不重复选取m个元素组成一组，与顺序无关；
组合公式：；
组合数性质：，
4．排列组合常用方法：
分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？
间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？
捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？
特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数
分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？
隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？
等可能性法：六个字母a、r、r、r、b、c排成一排，有多少种排列方式？
（二）二项式定理
1．二项式定理：，其中为第项的二项式系数，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．通项公式：,
3．二项式定理的性质：
（1）对称性，二项式系数是关于对称
（2）增减性与最大值，当为偶数时，二项式系数最大项为第项，最大值为
当为奇数时，二项式系数最大项为第项和第项，最大值为
（3）二项式系数之和
奇数项与偶数项的二项式系数之和相等
（三）概率
1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A发生的频率总是接近于某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记做．
2．事件的和A+B：表示事件A和B至少有一个发生；
事件的积A×B：表示事件A和B同时发生
3．常见的几种类型的概率计算：
（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同
计算方法：
（2）互斥事件：在一次试验中，事件A发生了，则事件B一定不会发生，事件B发生了，事件A不可能发生
互斥事件有一个发生的概率计算方法：，
特殊的，对立事件：
（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，同理，事件B发生与否对事件A发生的概率没有影响，
若A与B是独立事件，则与B，A与，与都是独立事件
独立事件同时发生的概率的计算方法：
（4）n次独立重复事件恰有k次发生的概率：
4．关于两个事件常见的概率计算：（若）
事件A、B表示的意义
若A、B是互斥事件
若A、B是独立事件
A和B都发生
A、B中至少发生一个
A、B恰有一个发生
A、B至多发生一个
A、B都不发生
5．注意事项
（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.
（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破.
（3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.
（四）统计
1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。
2．离散型随机变量的分步列：
……
……
……
……
分步列的性质：（1）；（2）
特殊分步：二项分步：，记为
3．离散型随机变量的期望（平均值）：
4．离散型随机变量的方差：
5．期望和方差的性质：
（1）；（2）；
（3）若，则
6．抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样
（1）三种抽样方法的共同点：每个个体被取出的概率都等于
（2）各自的特点及相互关系：简单随机抽样是逐个抽取；系统抽样先将个体平均分组，在第一组中采用简单随机抽样，然后按某种规则抽取；分层抽样是根据个体的差异进行分层，每层中采用简单随机抽样或系统抽样
（3）适用范围：当个体数较少时，用简单随机抽样；当个体数较多时，用系统抽样；当个体差异明显时，用分层抽样
7．总体分布的估计：用样本的频率分布来估计总体的概率分布
（1）若个体的取值很少时，其几何表示是条形图，其高度表示对应的频率，
（2）若个体数取值较多时，甚至无限时，其几何表示为没有间隔的直方图来表示，其直方图的面积为相应范围内的频率，此时可用一条光滑的曲线来表示，即总体密度曲线。
8．特殊的分布：正态分布
（1）定义：若总体密度曲线接近于正态曲线（中间高，两端低，左右对称），则服从正态分布，记为：
（2）正态曲线的性质：在x轴上方，以x轴为渐近线；关于直线对称；在时取得最高点；当时，曲线上升，当时，曲线下降；当一定时，曲线形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”
（3）关于标准正态分布的计算：
（4）关于一般的正态分布的计算：
二、例题分析
类型一：二项式定理及相关性质的考查
例1．设二项式的展开式中的第五项是常数项，求展开式中系数最大的项．
例2．化简（1）；
（2）．
类型二：以排列组合为基础的等可能事件的概率计算
例3．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率；?
(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球．
例4．有9国乒乓球队，内有3个亚洲球队，抽签分成三组进行预赛（每组3个队）试求：
（1）三个组中各有一个亚洲球队的概率；
（2）3个亚洲球队集中在某一组的概率．
类型三：互斥事件、独立事件的综合问题
例5．根据以往的比赛纪录，乒乓球单打比赛中，每局中甲胜乙的概率为0.6、乙胜甲的概率为0.4，某日比赛进行五局（并非五局三胜制），求：
①甲只胜第一局的概率； ②甲只胜一局的概率；
③甲胜第一局的概率；④甲至少胜一局的概率；
⑤直到第四局甲才胜的概率；⑥假定采用五局三胜制，甲取胜的概率有多大？
例6．如图：用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为
（Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；
（Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；
（Ⅲ）求系统N正常工作的概率．
类型四：n次独立重复事件的概率
例7．有9粒种子分别种在甲、乙、丙三个坑内，每坑3粒，每粒种子的发芽率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则不需要补种，否则需要补种，
求（1）需要补种的坑的个数的数学期望；（2）恰有一个坑需要补种的概率；（3）有坑需要补种的概率．
类型五：概率、分布列、期望方差综合问题
例8．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（2）求需要照顾的机器的台数的分步列；
（3）求需要照顾的机器数的期望和方差．
类型六：概率与递推数列
例9．口袋中装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依次有放回的从袋中取球，每次取一个，规则如下；若一方取出的红球，则此人继续下一次取球，若取出的是白球，则由对方接替下一次取球，且每次取球相互独立，第一次由甲取球，
（1）在前三次取球中，表示甲取到红球的次数，求的分布列；
（2）设第n次交由甲取球的概率为，求与的关系式，并求出的表达式．
类型七：统计初步
例10．已知测量误差，则必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10的概率大于0.9？（参考：
三、巩固练习
（一）选择题
1．身高互不相同的6个人排成3行2纵列,在第一行的每个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数有( )
(A)15 (B)20 (C)40 (D)90
2．停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同型号的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,则不同的停车方法有( )
(A)种 (B)种 (C)种 (D)种
3．在1，3，5，7，9中任意取3个数字，在0，2，4，6，8中任取2个数字，可以组成不同的五位偶数的个数是（ ）
（A）4550 （B）3590 （C）4560 （D）4650
4．某单位有3个科室，为实现减员增效，每个科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排一人，问有多少种不同的安排方法（ ）
（A）75 （B）42 （C）30 （D）15
5．四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )
（A）96 （B）48 （C）24 （D）0
6．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
（A） （B） （C） （D）
7．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )
（A）种 （B）种 （C）种 （D）种
8． 按的降幂排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
（A）第4项和第5项 （B）第5项 （C）第5项和第6项 （D）第6项
9．的展开式中，常数项是（ ）
（A）160 （B）－160 （C）240 （D）－240
10．在(x?1)(x+1)8的展开式中x5的系数是（　　）
（A）?14 （B）14 （C）?28 （D）28
11．的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（ 　　）
（A）4项 （B）3项 （C）2项 （D）1项
12．下列说法中正确的是（ ）
（A）事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B恰有一个发生的概率大
（B）事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
（C）互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
（D）互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
13．如果事件A、B互斥，那么（ ）
（A）A+B是必然事件 　　　　　　 （B）是必然事件
（C）与一定互斥 　　　　　　　（D）与一定不互斥
14．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )
（A） （B） （C） （D）
15．甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋中各取出一个球，那么概率等于的事件为（ ）
（A）2个球都是白球 （B）2个球中恰好有1个是白球
（C）2个球都不是白球 （D）2个球不都是白球
16．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
17．已知随机变量服从二项分布，且，则的值分别为（ ）
（A）4、0.6 （B）6、0.4 （C）8、0.3 （D）24、0.1
18．下列属于分层抽样特点的是( )
（A）从总体中逐个抽取
（B）将总体分成几层,分层进行抽取
（C）将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取
（D）将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取
19．某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭 95户,为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取1个容量为100的样本,记做(1);某学校高一年级有12名女排运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记做(2).那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是( )
（A）(1)用随机抽样法,(2)用系统抽样法 （B） (1)用分层抽样法,(2)用随机抽样法
（C）(1)用系统抽样法,(2)用分层抽样法 （D） (1)用分层抽样法,(2)用系统抽样法
20．已知随机变量的总体密度函数为，下列错误的是（ ）
（A） （B）
（C）图像的渐近线为 （D）
（二）填空题
21．现有6名女生，分配至甲、乙两个宿舍住宿，每个宿舍组多住4人，有 种不同的住宿方法．
22．某人在输入北大网址：www.pku.edu.cn时，不小心将pku.edu.cn中的两个字母交换了顺序，则可能出现的错误情况有　　　　　种．
23．有四种植物种在“田”字形的四个方格中，相邻的两格不能种同一种植物，则有 种方法．
24．有8本不同的书，其中数学书3本，英语书2本，语文书3本，现将8本书排成一排，现要求3本数学书要放在一起，2本英语书不能相邻，则有 种排法.
25．某校运动会,把跳高的20个选手名额分配到三个年级,每个年级至少一个名额,则不同的分配方案有 种.
26．7名同学安排在星期一至星期日值日，每人一天，若甲乙丙三位同学必须按甲乙丙的顺序值日，则不同的排法有 种.
27．在大小相同的6个小球中，其中有2个为红色，4个为白色，若从中任取出3个小球，取出3个小球中至少有一个是红球的取法有 种.
28．
29．的展开式中系数的最大项是第 项，系数最大值为
30．某企业正常用水（1天24小时用水不超过一定量）的概率为3/4，则在5天内至少有4天用水正常的概率为 。
31．设，且，则＝
32．一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查．若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为__________________
（三）解答题
33．若，（1）求的值，（2）求的值，（3）求的值；（4）求的值。
34．袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求取球2次终止的概率；（Ⅲ）求甲取到白球的概率
35．食品出厂前进行4项指标检查，若至少有2项不合格，则不能出厂，检查每项指标是独立的，查出不合格的概率是0.25，
（1）求不能出厂的概率；
（2）求直至4项全部查完，才能确定是否出厂的概率。
36．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问：乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
37．据统计，一年中，一个家庭万元以上的财产被盗的概率是0.01，保险公司办一年期万元以上的家庭财产保险，参加着需要交保险费100元，若在一年内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（a>100），问a不超过多少，才能让保险公司获益？
38．有10张卡片，有8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随机取出3张，求这3张卡片的数字之和的期望和方差。
39．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在编号为1～10的10道试题中，甲能答对编号为1～6的6道题，乙能答对编号为3～10的8道题，规定每位考生都从备选题中抽出3道试题进行测试，至少答对2道才算合格，
（1）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
40．平面上有两质点A、B，分别位于点，在某一时刻开始同时开始每隔一秒向上下左右四个方向的任意方向移动一个单位，已知质点A向左右移动的概率均为，向上下移动的概率分别为和p，质点B向四个方向移动的概率都为q，
（1）求p和q的值；
（2）判断至少需要几秒钟，A、B能同时到达点，并求出在最短时间内到达的概率