高三数学基础复习资料，复习补习资料，强化练习资料-数列

《数列》
知识要点
1．数列的定义： 叫做数列。
2．数列中的每一个数都叫做这个数列的 ，其中第n项记作；
数列简记作{}。
3．数列的前n项和与通项的关系是： 。
4．数列的单调性与最值：数列{}是递增数列，则 ；数列{}是递减数列，则 。
5．等差数列与等比数列性质对比
等差数列
等比数列
定义
d 叫公差
q 叫公比
通项公式
递推公式
变式
前n项和
中项
a,A,b成等差数列2A=a+b,A叫做a与b的等差中项
a,G,b成等比数列 G2=ab,G叫做a与b的等比中项
性质
d>o等差数列递增；
d=0等差数列为常数列；
d<0等差数列递减
q>1，a1>0时，等比数列递增；
a1<0时，等比数列递减；
00时，等比数列递减；
a1<0时，等比数列递增；
q<0 等比数列为摆动数列；
是公差-d的等差数列
是公比q-1的等比数列
从第二项起，每一项是它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项；
从第二项起，每一项是它相邻两项的等比中项，也是与它等距离的前后两项的等比中项；
若 k+t=m+n,则 ak + at = am + an
若 k+t=m+n,则 ak · at = am · an
序号成等差数列的项仍为等差数列
序号成等差数列的项仍为等比数列
对任一n∈N*,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…,仍成等差数列；
对任一n∈N*,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…,仍成等比数列，Sn。
项数m=2n时，
项数m=2n+1时，
奇数项符号相同；
偶数项符号相同。
若{an},{bn}是项数相同的两个等差数列，则{pan + qbn}是等差数列（p,q是常数）。
若{an},{bn}是项数相同的两个等比数列，则{pan /qbn}是等比数列（p,q是常数）。
典型例题和基本方法
【题型一】根据递推关系求通项公式
形如型的数列求通项公式可用累加法；用累乘法：
；
在数列中，，，则
由含与通项的递推关系式求，可用；
与数列各项的和有关的式子求，可写出时的关系式，两式相减得。
例2．设数列满足，．求数列的通项；
例3．设数列的前项和为，已知．
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列； （Ⅱ）求的通项公式．
形如及型的递推式求通项公式直接用等差数列、等比数列通项公式；或者把一个数列问题转化成基本数列求解
例4．数列中，，，
例5．在数列中，，，．证明数列是等比数列.
例6．设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式； （Ⅱ）若，，求的取值范围．

【题型二】数列求和
1．公式法求和： 等差、等比数列求和； ；
；
例7．已知数列的通项，求其前n项和.
例8．已知数列为等差数列，且，
（Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）证明
2．倒序相加法、错位相减法、分组转化法、裂项相消法求和裂项求和：
；（）
例9．数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）求数列的前项和．
例10．在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
例11．等差数列的各项均为正整数，，前项和为，为等比数列，，且，是公比为64的等比数列．（1）求与 （2）证明：．
练习：设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：

【题型三】等差数列、等比数列性质的应用
例12．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）
A.5 B.4 C. 3 D.2
例13．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ (A)
（A） （B） （C） （D）
例14．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则
__________.
例15．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
例16．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ A ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
练习：
1．等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为( )
A 130 B 170 C 210 D 260
2．为等差数列，是前n项和且（ ）
A 2 B 11 C 4 D 12
3．等差数列的公差是，，则的值为
4．设是公差为的等差数列，如果，那么
5．三个数成等差数列，又成等比数列，则等于
6．等差数列中，，公差，则使得前n项和Sn取得最大值的n的值是
7． 是等差数列且前n项和分别为且
8．已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。
（1） 求数列和的通项公式；
若问是否存在，使成立，若存在，求出值，若不存在，说明理由；
(3)记，求的最小值
【题型四】数列的综合应用
例17．已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式； （2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：

例18．已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：．
例19． 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.

自我检测
1．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
3.各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若S10=2,S30=14,则S40等于
A 80　　　　B 30 C 26 D 16
4．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
5．已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 （ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．等差数列｛｝中，，从第10项开始大于1，则的取值范围是（　　）
A．() 　　B．() 　　C．［) 　　D．(]
7．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4 +2a3a5 +a4a6=25，那么a3 + a5 等于（ ）
A． 5 B ．10 C ．15 D ．20
10．设是公差为正数的等差数列，若，，则
A． B． C． D．
11．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则
__________.
12．已知等差数列的前项和为，若，则 ．
13．等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
14．已知等差数列的前n项和Sn =则它的前 项和最大。
15．设正项数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与Sn的等比中项相等，求证数列{}为等差数列，并求{an}通项公式及前n项和．
16．设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．
17．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
18．设数列满足(1) 证明对一切正整数n 成立；(2)令,判断的大小，并说明理由
8．解 （1）将点代入 中，得
，又，
又点在直线上
（2）
当为偶数时，为奇数
当为奇数时，为偶数（舍去）
存在符合条件
（3）
，即递增 故的最小值为
证(1)：由递推公式得
上述各式相加并化简得
解(II）：

16.(2) ,;
解：（Ⅰ）我们有．
（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得
， ①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．即．
如果记，，则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
（Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝Sn+1- Sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。
（Ⅱ）证法一：由可解得；
从而。因此。
令,则。
因，故.
特别的。从而，即。
证法二：同证法一求得bn及Tn。
由二项式定理知当c＞0时，不等式成立。由此不等式有
＝。
证法三：同证法一求得bn及Tn。令An＝，Bn＝，Cn＝。
因，因此。从而
＞
（Ⅰ）依题意，，即，
由此得．因此，所求通项公式为，．①
（Ⅱ）由①知，，于是，当时，
，
，
当时，．又．
综上，所求的的取值范围是