(共17张PPT)
5 应用二元一次方程组——
学案预习指导答案：
预习到位：隋欣月，胡晓琪，董俸字，万柳汐
问题较大：张豫宁，宁致远，周浩然
１.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数可表示为：１０x＋ y ,若交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为：１０y＋ x
2.两个两位数分别是x和y,如果将x放在y的左边就得到一个四位数，那么这个四位数可表示为：１００x＋y ,如果将x放在y的右边就得到一个新的四位数，那么这个新的四位数可表示为：１００y＋x .
3.一个两位数，十位数字为x，个位数字为y，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００x＋y
里
13:00
里
是一个两位数，它的两个数字之和为7
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上均速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
12：00
14:00
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了.
比12:00时看到的两位数中间多了个0
里
里程碑上的数
里
13:00
里
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了.
比12：00时看到的两位数中间多了个0
里
12:00
14:00
是一个两位数它的两个数字之和为7
时刻 百位数字 十位数字 个位数字
表达式
１２：００
１３：００
１４：００
相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：
x ＋ y ＝７
２．路程差：
１２：００－１３：００：
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）
１３：００－１４：００：
（１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
路程差相等：
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
根据以上分析，得方程组
x ＋ y ＝７，
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）.
解得
x ＝１,
y ＝６.
里
13:00
里
比12：00时看到的两位数中间多了个0
里
12:00
14:00
是一个两位数它的两个数字之和为7
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了
16
61
106
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的
两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位
数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178，
求这两个两位数.
分析：设较大的数为x,较小的数为y.
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为________,
在较大的两位数的左边写上较小的两位数 ______.
100x+y
100y+x
解：设较大的数为x,较小的数为y，则
｛
x+y=68,
(100x+y)-(100y+x)=2178.
解该方程组，得
y=23.
所以这两个数分别是45和23.
｛
x=45,
1. 李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是多少？
时刻 十位数字 个位数字
表达式
７：００ x y １０ x ＋ y
８：００ y x １０ y ＋ x
９：００ ８（１０ x ＋ y ）
当堂检测
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
x ＋y＝９
８（１０ x ＋y） －（１０ y ＋ x ）＝１０ y ＋ x －（１０ x ＋ y ）
解得 x ＝１
y ＝８
2. 一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？
本节课你学到了什么?
感悟与反思
下面我们接着研究数字问题：
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．
百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数
新数
分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：
x
y
y
x
１００x＋ y
１０ y ＋x
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数,
２．９ 百位数字＝两位数－３.
百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数
新数
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数,
２．９ 百位数字＝两位数－３.
解： 设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数
为y，根据题意的得：
１００ x ＋ y －４５＝１０ y ＋ x,
９ x ＝ y －３.
解得 x ＝４,
y ＝3９.
答：原来的三位数是４３９．
x
y
１００ x ＋ y
y
x
１０ y ＋ x
解：设原来两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得
｛
x+y=7,
10x+y-27=10y+x.
3. 小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路 她跑步去学校共用了30分 .已知小颖在上坡时的平均速度是 6千米/时 ，下坡时的平均速度是12千米/时.问小颖上、下坡各多少千米？
解：设上坡x时，下坡y时，据题意得：
6x+12y=4.8 ，
x＋y＝0.5.
｛
2. 一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果将十位数与个位数字对调后，所得的数比原数小27，求原来的两位数.
2.现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
作业
x ＋ y ＝8,
５x － y ＝１０.
1.预习下一节，重点理解二元一次方程组的解与一次函数的交点的关系
解：设甲、乙速度分别为x千米/小时，y千米/小时，根据题意得：
1.A,B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行
到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，
甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
巩固检测
第五章 二元一次方程组
5. 应用二元一次方程组——里程碑上的数
一、学生目标
知识与技能：1.利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题．
2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
过程与方法：1.通过设置问题串，让学生体会分析复杂问题的思考方法
2. 让学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效模型。
情感态度与价值观：在学习的过程中，引导学生将复杂的问题简单化，从而解决问题，体验成功的快乐，并通过小组解决生活中的数学问题，培养团队精神。
二、教学重难点
教学重点
1.运用二元一次方程组解决数字问题和行程问题
2.教学生会用图表分析数字问题。
教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
三、教学过程分析
本课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入，新课讲解；第三环节：当堂训练；第四环节：合作学习；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节 知识回顾
1．一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数可表示为：１０x＋ y ,若交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为：１０y＋ x
2．
3．两个两位数分别是x和y,如果将x放在y的左边就得到一个四位数，那么这个四位数可表示为：１００x＋y ,如果将x放在y的右边就得到一个新的四位数，那么这个新的四位数可表示为：１００y＋x .
３．一个两位数，十位数字为x，个位数字为y，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００x＋y
第二环节 情境引入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上均速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；
１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；
１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
１２：００ ? ? x ? y ? 10x+y
１３：００ ? ? y ? x ? 10y+x
１４：００ ? x ? 0 ? y ? 100x+y
相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.
２．路程差：
１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），
１３：００－１４：００： （１００x＋y）－（ １０y＋x），
路程差相等：
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
根据以上分析，得方程组
x＋y＝７ ，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
解方程组
x＋y＝７，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
整理得
因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．
2．变式训练
师生共同研究下题：
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178，
求这两个两位数.(45和23)
第三环节 当堂训练
1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 。
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
时刻 十位数字 个位数字 表达式
７：００ x y １０x＋y
８：００ y x １０y＋x
９：００ ８（１０x＋y）
练一练
一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？
第四环节 合作学习
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．
分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：
? 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数 ? x y? ? 100 x + y
新数 ? y ? x ? 10 y + x
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数
２．９百位数字＝两位数－３
解： 设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，
根据题意的得：
１００x＋y＝１０y＋x，
９x＝y－３.
解得 x＝４，
y＝3９.
答：原来的三位数是４３９．
第五环节 课堂小结：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．
第六环节 布置作业
1．预习下一节，重点理解二元一次方程组的解与一次函数的交点的关系
2.现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
x＋y＝７， x = 1 ，
y＝６x. 解得 y =6.
