高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：14【提高】直线、平面平行的判定
文档属性
| 名称 | 高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：14【提高】直线、平面平行的判定 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 659.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-02 20:55:28 | ||
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文档简介
直线、平面平行的判定
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的判定定理；
2.掌握两平面平行的判定定理；
3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．
【要点梳理】
要点一、直线和平面平行的判定
文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.
图形语言：
符号语言：、，.
要点诠释：
（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：
①直线a在平面外，即；
②直线b在平面内，即；
③直线a，b平行，即a∥b．
这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．
（2）定理的作用
将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．
要点二、两平面平行的判定
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
图形语言：
符号语言：若、，，且、，则.
要点诠释：
（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．
（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．
要点三、判定平面与平面平行的常用方法
1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．
2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．
3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．
【典型例题】
类型一、直线与平面平行的判定
例1．已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．
【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明AC∥EF．
证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF，EG．
在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，
又AC平面EFG，EF平面EFG，
于是AC∥平面EFG．
同理可证BD∥平面EFG．
【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．
例2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图．求证：PQ∥平面CBE．
证明：作PM∥AB交BE于点M，QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN．
∴，．
∵AP=DQ，∴EP=BQ．
又∵AB=CD，EA=BD，
∴PMQN．
∴四边形PMNQ是平行四边形．
∴PQ∥MN．
综上，PQ平面CBE，MN平面CBE，
又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．
【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．
举一反三：
【变式1】如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E—ABC的体积V．
【解析】（1）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD．
又∵AD平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，如下图，
则EG⊥平面ABCD，且．
在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，
∴，．
∴，
∴．
【变式2】（2017 陕西模拟）如图，在直四棱柱ABCD—中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，=2，E，分别是棱AD，的中点．
设F是棱AB的中点，证明：直线∥平面．
【思路点拨】取的中点为，连接，，要证明直线∥平面，只需证明∥，就证明了∥平面内的直线，即可推得结论；
【答案】详见证明
【证明】方法一：取的中点为，连接，，
由于∥∥，所以∈平面，因此平面即为平面．
连接，，由于，所以四边形为平行四边形，因此∥．
又∥，得∥，而平面，平面，故∥平面．
方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD∥AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又∥，FC∩=C，FC平面，所以平面∥平面，又平面，所以∥平面．
【变式3】如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
【证明】连接AF延长交BC于G，
连接PG．
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
∴ ，
∴EF∥PG．
而EF平面PBC，
PG包含于平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
例3．如果平面外的一条直线a和平面内任何一条直线都没有公共点，则这条直线和平面平行．
【证明】假设a不平行于，∵，∴a与相交．
设a∩=A，过A在内作直线b，则，∴a∩b=A．这与已知矛盾，∴a∥．
【总结升华】判定（或证明）直线与平面平行的常用方法：
（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，若直接证明有点困难，则借助反证法来完成证明．
（2）判定定理法：在平面内找到一条直线与它平行，这是最常用的方法．
（3）面面法：利用面面平行的性质（以后学习）来完成证明．
举一反三：
【变式1】 如右图所示，四面体A—BCD中，E，F，G分别是棱BC，CD，DA的中点，则在四面体的棱中，与平面EFG平行的有几条？分别是哪几条？
【解析】因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，又BD平面EFG，EF平面EFG，所以BD∥平面EFG；同理，AC∥平面EFG；
取AB的中点H，连接EH，HG，则HE∥AC∥FG，HG∥BD∥EF，所以四边形EFGH为平行四边形，所以E，F，G，H四点共面，所以AH∩平面EFG=H，AB与平面EFG不平行；
另外易知，AD，CD，BC与平面EFG不平行．
所以，四面体的6条棱中，与平面EFG平行的棱有2条，即BD，AC．
类型二、平面与平面平行的判定
例4．已知正方体ABC D—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．
【证明】如图，∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1．
又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
同理，BD∥平面AB1D1，
又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1．
【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．
例5．三棱柱，D是BC上一点，且∥平面，是的中点．
求证：平面∥平面．
【答案】详见证明
【证明】连接交于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴E是的中点，连接ED，
∵ ∥平面，
ED包含于平面，
∴ 与ED没有交点，
又∵ED包含于平面，包含于平面，
∴ED∥．
∵E是的中点，∴D是BC的中点．
又∵是的中点，
∴ ，，
∴ ∥平面，∥平面．
又，
∴平面∥平面．
【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．
举一反三：
【变式1】点P是△ABC所在平面外一点，分别是△PBC，△APC，△ABP的重心，求证：面面ABC.
证明：连，并延长分别交AB，AC于M，Q，连MQ.
因为为重心，所以M，Q分别为所在边的中点.
又直线PM∩PQ=P，所以直线PM，PQ确定平面PMQ,
在△PMQ中，因为为重心，所以，所以.
因为面ABC，面ABC，，所以面ABC
同理面ABC，
因为面，面，，
面ABC，面ABC，
所以面面ABC.
类型三、平行平面间距离的求法
例6．如右图所示，已知正三棱柱A1B1C1—ABC，E、E1分别是AC、A1C1的中点．
（1）求证：平面AB1E1∥平面BEC1；
（2）当该棱柱各棱长都为a时，求（1）中两个平行平面间的距离．
【解析】两平行平面间的距离可转化为线面距离，最终可转化为点面距离．
（1）由于AEE1C1，因此四边形AE1C1E是平行四边形，则AE1∥EC1，则AE1∥平面BEC1．同理，B1E1∥平面BEC1．由两平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面BEC1．
（2）设平行平面AB1E1与平面BEC1间的距离等于d，则点A到平面BEC1的距离等于d，由等积法得，即．
易知∠AEB=90°，∠BEC1=90°．
则，
，则．
故（1）中两个平行平面间的距离等于．
【总结升华】证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行，即线线平行线面平行面面平行，在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．
若两个平面平行，则一个平面内任一点到另一个平面的距离即为这两个平行平面间的距离．类似地，若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离．因此，面面距离、线面距离最终转化为点到平面的距离，而求点到平面的距离多用等体积方法（如本例中利用VA—BEC1=VC1—ABE）求距离．
举一反三：
【变式1】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．
(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．
【解析】
(1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC
交BD于O，连接AP、OQ．
由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．
∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，
∴平面AMN∥平面EFDB．
(2)过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，易得，
由，
根据
则
解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.
【巩固练习】
1．下列命题（其中a、b表示直线，表示平面）中，正确的个数是（ ）．
①若a∥b，，则a∥；②若a∥，b∥，则a∥b；③若a∥b，b∥，则a∥；④若a∥，，则a∥b．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中，正确的个数是（ ）．
①若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知平面，和直线，给出下列条件：
①；
②；
③。
其中可以使结论成立的条件有（ ）
A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①
4．过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
5．已知m，n是两条直线，、是两个平面．有以下命题：
①m，n相交且都在平面、外，m∥，m∥，n∥，n∥，则∥；②若m∥，m∥，则∥；③若m∥，n∥，m∥n，则∥．其中正确命题的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2017 北京）在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面；②EF∥平面；
③FG∥平面；④平面EFG∥平面
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．过已知直线外一点与已知直线平行的直线有 条；过平面外一点与已知平面平行的直线有
条，与已知平面平行的平面有 个。
8．当，则与的关系是 。
9．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________（填序号）．
10．在正四棱柱中，分别为棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件 时，有平面。
三、解答题
11．（2017 山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
12．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
（1）求证：平面MNG∥平面ACD；
（2）求S△MNG∶S△ADC．
13．在正方体中，为上任意一点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面//平面.
14．如下图，左边是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右边是它的正视图和侧视图（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连接BC＇，证明：BC＇∥平面EFG。
15．直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．
(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①直线a有可能在平面内；②两直线可能平行、相交或异面；③a有可能在平面内；④a与b有可能异面。
2．【答案】C
【解析】 ①②④正确。
3．【答案】D
【解析】 平行于同一条直线的两条直线平行。
4．【答案】D
【解析】如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．
5．【答案】B
【解析】 设m∩n=P，则直线m，n可确定一个平面，设为，由面面平行的判定定理知，，，因此，，即命题①正确；在长方体ABCD—A1B1C1D1中，C1D1∥平面ABCD，C1D1∥平面ABB1A1，但平面ABCD∩平面ABB1A1=AB，即满足命题②的条件，但平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此命题②不正确；同样可知，命题③也不正确。故选B。
6．【答案】A
【解析】∵在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，
∴FG∥，∵∥，∴FG∥，
∵FG平面，平面，∴FG∥平面，故①正确；
∵EF∥，与平面相交，∴EF与平面相交，故②错误；
∵E，F，G分别是，，的中点，
∴FG∥，∵FG平面，平面，
∴FG∥平面，故③正确；
∵EF与平面相交，∴平面EFG与平面相交，故④错误．
故选A．
7．【答案】1，无数，1
8．【答案】
9．【答案】③
【解析】①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．
10．【答案】点在线段上
11．【解析】（1）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，
∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，
∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥BD，∴E、F、B、D四点共面，这样，
AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，
∴AC⊥平面EFBD．
显然，FB平面EFBD，∴AC⊥FB．
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，
则OG∥EF，∵OG∥BD，
∴OG∥BD，而BD平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC平面ABC，∴OH∥平面ABC．
∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
12．【答案】（1）略；（2）1∶9
【解析】（1）证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF包含于平面ACD，MN平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
（2）由（1）可知，
∴ ．
又，∴ ．
同理，．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
13．【解析】(1)正方体,
.同理，平面
平面//平面
平面，
DP//平面。
（2）与（1）中平面//平面的证明类似。
14．【解析】（1）如下图（1）所示。
（2）所求多面体的体积。
（3）将原多面体还原为长方体，如上图（2），连接AD＇，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以。
因为E，G分别是，的中点，所以在中，EG∥AD＇，因此EG∥BC＇。
又平面EFG，EG平面EFG，所以平面EFG。
15．【解析】(1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC
交BD于O，连接AP、OQ．
由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．
∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，
∴平面AMN∥平面EFDB．
(2)解：过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，易得，
由，
根据
则
解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的判定定理；
2.掌握两平面平行的判定定理；
3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．
【要点梳理】
要点一、直线和平面平行的判定
文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.
图形语言：
符号语言：、，.
要点诠释：
（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：
①直线a在平面外，即；
②直线b在平面内，即；
③直线a，b平行，即a∥b．
这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．
（2）定理的作用
将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．
要点二、两平面平行的判定
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
图形语言：
符号语言：若、，，且、，则.
要点诠释：
（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．
（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．
要点三、判定平面与平面平行的常用方法
1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．
2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．
3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．
【典型例题】
类型一、直线与平面平行的判定
例1．已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．
【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明AC∥EF．
证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF，EG．
在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，
又AC平面EFG，EF平面EFG，
于是AC∥平面EFG．
同理可证BD∥平面EFG．
【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．
例2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图．求证：PQ∥平面CBE．
证明：作PM∥AB交BE于点M，QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN．
∴，．
∵AP=DQ，∴EP=BQ．
又∵AB=CD，EA=BD，
∴PMQN．
∴四边形PMNQ是平行四边形．
∴PQ∥MN．
综上，PQ平面CBE，MN平面CBE，
又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．
【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．
举一反三：
【变式1】如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E—ABC的体积V．
【解析】（1）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD．
又∵AD平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，如下图，
则EG⊥平面ABCD，且．
在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，
∴，．
∴，
∴．
【变式2】（2017 陕西模拟）如图，在直四棱柱ABCD—中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，=2，E，分别是棱AD，的中点．
设F是棱AB的中点，证明：直线∥平面．
【思路点拨】取的中点为，连接，，要证明直线∥平面，只需证明∥，就证明了∥平面内的直线，即可推得结论；
【答案】详见证明
【证明】方法一：取的中点为，连接，，
由于∥∥，所以∈平面，因此平面即为平面．
连接，，由于，所以四边形为平行四边形，因此∥．
又∥，得∥，而平面，平面，故∥平面．
方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD∥AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又∥，FC∩=C，FC平面，所以平面∥平面，又平面，所以∥平面．
【变式3】如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
【证明】连接AF延长交BC于G，
连接PG．
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
∴ ，
∴EF∥PG．
而EF平面PBC，
PG包含于平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
例3．如果平面外的一条直线a和平面内任何一条直线都没有公共点，则这条直线和平面平行．
【证明】假设a不平行于，∵，∴a与相交．
设a∩=A，过A在内作直线b，则，∴a∩b=A．这与已知矛盾，∴a∥．
【总结升华】判定（或证明）直线与平面平行的常用方法：
（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，若直接证明有点困难，则借助反证法来完成证明．
（2）判定定理法：在平面内找到一条直线与它平行，这是最常用的方法．
（3）面面法：利用面面平行的性质（以后学习）来完成证明．
举一反三：
【变式1】 如右图所示，四面体A—BCD中，E，F，G分别是棱BC，CD，DA的中点，则在四面体的棱中，与平面EFG平行的有几条？分别是哪几条？
【解析】因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，又BD平面EFG，EF平面EFG，所以BD∥平面EFG；同理，AC∥平面EFG；
取AB的中点H，连接EH，HG，则HE∥AC∥FG，HG∥BD∥EF，所以四边形EFGH为平行四边形，所以E，F，G，H四点共面，所以AH∩平面EFG=H，AB与平面EFG不平行；
另外易知，AD，CD，BC与平面EFG不平行．
所以，四面体的6条棱中，与平面EFG平行的棱有2条，即BD，AC．
类型二、平面与平面平行的判定
例4．已知正方体ABC D—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．
【证明】如图，∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1．
又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
同理，BD∥平面AB1D1，
又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1．
【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．
例5．三棱柱，D是BC上一点，且∥平面，是的中点．
求证：平面∥平面．
【答案】详见证明
【证明】连接交于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴E是的中点，连接ED，
∵ ∥平面，
ED包含于平面，
∴ 与ED没有交点，
又∵ED包含于平面，包含于平面，
∴ED∥．
∵E是的中点，∴D是BC的中点．
又∵是的中点，
∴ ，，
∴ ∥平面，∥平面．
又，
∴平面∥平面．
【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．
举一反三：
【变式1】点P是△ABC所在平面外一点，分别是△PBC，△APC，△ABP的重心，求证：面面ABC.
证明：连，并延长分别交AB，AC于M，Q，连MQ.
因为为重心，所以M，Q分别为所在边的中点.
又直线PM∩PQ=P，所以直线PM，PQ确定平面PMQ,
在△PMQ中，因为为重心，所以，所以.
因为面ABC，面ABC，，所以面ABC
同理面ABC，
因为面，面，，
面ABC，面ABC，
所以面面ABC.
类型三、平行平面间距离的求法
例6．如右图所示，已知正三棱柱A1B1C1—ABC，E、E1分别是AC、A1C1的中点．
（1）求证：平面AB1E1∥平面BEC1；
（2）当该棱柱各棱长都为a时，求（1）中两个平行平面间的距离．
【解析】两平行平面间的距离可转化为线面距离，最终可转化为点面距离．
（1）由于AEE1C1，因此四边形AE1C1E是平行四边形，则AE1∥EC1，则AE1∥平面BEC1．同理，B1E1∥平面BEC1．由两平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面BEC1．
（2）设平行平面AB1E1与平面BEC1间的距离等于d，则点A到平面BEC1的距离等于d，由等积法得，即．
易知∠AEB=90°，∠BEC1=90°．
则，
，则．
故（1）中两个平行平面间的距离等于．
【总结升华】证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行，即线线平行线面平行面面平行，在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．
若两个平面平行，则一个平面内任一点到另一个平面的距离即为这两个平行平面间的距离．类似地，若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离．因此，面面距离、线面距离最终转化为点到平面的距离，而求点到平面的距离多用等体积方法（如本例中利用VA—BEC1=VC1—ABE）求距离．
举一反三：
【变式1】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．
(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．
【解析】
(1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC
交BD于O，连接AP、OQ．
由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．
∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，
∴平面AMN∥平面EFDB．
(2)过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，易得，
由，
根据
则
解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.
【巩固练习】
1．下列命题（其中a、b表示直线，表示平面）中，正确的个数是（ ）．
①若a∥b，，则a∥；②若a∥，b∥，则a∥b；③若a∥b，b∥，则a∥；④若a∥，，则a∥b．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中，正确的个数是（ ）．
①若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知平面，和直线，给出下列条件：
①；
②；
③。
其中可以使结论成立的条件有（ ）
A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①
4．过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
5．已知m，n是两条直线，、是两个平面．有以下命题：
①m，n相交且都在平面、外，m∥，m∥，n∥，n∥，则∥；②若m∥，m∥，则∥；③若m∥，n∥，m∥n，则∥．其中正确命题的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2017 北京）在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面；②EF∥平面；
③FG∥平面；④平面EFG∥平面
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．过已知直线外一点与已知直线平行的直线有 条；过平面外一点与已知平面平行的直线有
条，与已知平面平行的平面有 个。
8．当，则与的关系是 。
9．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________（填序号）．
10．在正四棱柱中，分别为棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件 时，有平面。
三、解答题
11．（2017 山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
12．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
（1）求证：平面MNG∥平面ACD；
（2）求S△MNG∶S△ADC．
13．在正方体中，为上任意一点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面//平面.
14．如下图，左边是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右边是它的正视图和侧视图（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连接BC＇，证明：BC＇∥平面EFG。
15．直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．
(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①直线a有可能在平面内；②两直线可能平行、相交或异面；③a有可能在平面内；④a与b有可能异面。
2．【答案】C
【解析】 ①②④正确。
3．【答案】D
【解析】 平行于同一条直线的两条直线平行。
4．【答案】D
【解析】如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．
5．【答案】B
【解析】 设m∩n=P，则直线m，n可确定一个平面，设为，由面面平行的判定定理知，，，因此，，即命题①正确；在长方体ABCD—A1B1C1D1中，C1D1∥平面ABCD，C1D1∥平面ABB1A1，但平面ABCD∩平面ABB1A1=AB，即满足命题②的条件，但平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此命题②不正确；同样可知，命题③也不正确。故选B。
6．【答案】A
【解析】∵在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，
∴FG∥，∵∥，∴FG∥，
∵FG平面，平面，∴FG∥平面，故①正确；
∵EF∥，与平面相交，∴EF与平面相交，故②错误；
∵E，F，G分别是，，的中点，
∴FG∥，∵FG平面，平面，
∴FG∥平面，故③正确；
∵EF与平面相交，∴平面EFG与平面相交，故④错误．
故选A．
7．【答案】1，无数，1
8．【答案】
9．【答案】③
【解析】①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．
10．【答案】点在线段上
11．【解析】（1）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，
∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，
∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥BD，∴E、F、B、D四点共面，这样，
AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，
∴AC⊥平面EFBD．
显然，FB平面EFBD，∴AC⊥FB．
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，
则OG∥EF，∵OG∥BD，
∴OG∥BD，而BD平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC平面ABC，∴OH∥平面ABC．
∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
12．【答案】（1）略；（2）1∶9
【解析】（1）证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF包含于平面ACD，MN平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
（2）由（1）可知，
∴ ．
又，∴ ．
同理，．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
13．【解析】(1)正方体,
.同理，平面
平面//平面
平面，
DP//平面。
（2）与（1）中平面//平面的证明类似。
14．【解析】（1）如下图（1）所示。
（2）所求多面体的体积。
（3）将原多面体还原为长方体，如上图（2），连接AD＇，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以。
因为E，G分别是，的中点，所以在中，EG∥AD＇，因此EG∥BC＇。
又平面EFG，EG平面EFG，所以平面EFG。
15．【解析】(1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC
交BD于O，连接AP、OQ．
由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．
∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，
∴平面AMN∥平面EFDB．
(2)解：过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，易得，
由，
根据
则
解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.