高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：15【基础】直线、平面平行的性质
文档属性
| 名称 | 高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：15【基础】直线、平面平行的性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 646.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-02 20:56:03 | ||
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文档简介
直线、平面平行的性质
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．
【要点梳理】
要点一、直线和平面平行的性质
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．
三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．
要点二、平面和平面平行的性质
文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．
要点三、平行关系的综合转化
空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：
证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
【经典例题】
类型一：直线与平面平行的性质
例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BDM=GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．
【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．
举一反三：
【变式1】（2016 江苏无锡模拟）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
【答案】详见证明
【证明】∵MN∥平面ABC，PE∥CB，
∴MN∥PE，
∵M是AE的中点，∴N是PA的中点．
例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：．
【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线．
∵CD∥，AB∥，∴CD∥MQ，AB∥NQ．
于是，，∴．
【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．
在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．
举一反三：
【变式1】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．
证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，
∵∥平面，，∥平面，
∴∥，∥，∴∥，
又∵平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面∩平面=，
∴∥，又∵∥，∴∥．
【变式2】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围．
【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，，，同理，，，
四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+==8+4
因为0类型二：平面与平面平行的性质
例3．已知：平面∥平面∥平面，两条直线，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F（如图）．
求证：．
【解析】连接DC，设DC与平面相交于点G，连接BG、EG，则平面ACD与平面、分别相交于直线AD、BD，平面DCF与平面、分别相交于直线GE、CF．
因为，，所以BG∥AD，GE∥CF．
于是，得，．所以．
【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．
举一反三：
【变式1】 已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．
（1）若点S在平面，之间，则SC=________；
（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．
【答案】（1）16 （2）272
例4．如图所示，平面∥平面，A，C∈，D∈，点E，F分别在线段AB，CD上，且．求证：EF∥．
【解析】（1）当AB，CD共面时，
∵∥，且平面ABDC∩=AC，平面ACDB∩=BD，∴AC∥BD，
∴四边形ABDC是梯形或平行四边形．
由，得EF∥BD，
又∵BD，EF，∴EF∥．
（2）当AB，CD异面时，作AH∥CD交于H，
∵∥，且平面AHDC与平面，的交线分别为AC，HD，
∴AC∥HD．∴四边形AHDC为平行四边形．
作FG∥DH交AH于G，连接EG，于是．
∵，∴．从而EG∥BH，而BH，EG，
∴EG∥．
又FG∥DH，DH，FG，∴FG∥．
∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥．
又EF平面EFG，∴EF∥．
【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．
（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG∥得出EF∥，便是这一性质的灵活运用．
举一反三：
【变式1】（2017年 上海普陀区二模）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．
【答案】详见证明
【证明】在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE，
事实上，如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，
且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．
类型三：线面平行的判定与性质的综合应用
例5．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，M是DD1的中点．
求证：BD1∥平面AMC．
【思路点拨】连结BD交AC于N，连结MN．由此利用三角形中位线定理能证明BD1∥平面AMC．
【答案】详见解析
【证明】在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
连结BD交AC于N，连结MN．
因为ABCD为正方形，
所以N为BD中点．
在△DBD1中，因为M为DD1中点，
所以BD1∥MN．
因为MN平面AMC，BD1不包含于平面AMC，
所以BD1∥平面AMC．
举一反三：
【变式1】如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=．
（1）求证：∥BC；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解析】方法一：（1）因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又因为平面PBC∩平面PAD=，所以BC∥．
（2）平行．如下图（1），取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE=AM．所以四边形AMNE是平行四边形．
所以MN∥AE．所以MN∥平面PAD．
方法二：（1）因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC．
又因为平面PBC∩平面PAD=，所以∥AD．因为AD∥BC，所以∥BC．
（2）平行．如下图（2），设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ=Q，所以平面MNQ∥平面PAD．
又因为MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD．
巩固练习
1．如果直线a∥平面，则（ ）
A．平面内有且只有一条直线与a平行
B．平面内有无数条直线与a平行
C．平面内不存在与a平行的直线
D．平面内的任意直线与a都平行
2．由下列条件不一定得到平面∥平面的是（ ）
A．内有两条相交直线分别平行于
B．内任何一条直线都平行于
C．内有无数条直线平行于
D．内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线
3．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．AC在此平面内 D．平行或相交
4．以下命题（其中表示直线，表示平面）
①若，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，，则。
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面( )
A．只有一个 B．恰有两个 C．或没有，或只有一个 D．有无数个
6．已知m、n表示两条直线，、、表示平面，对此有下列命题：
①若，且m∥n，则；②若m、n相交且都在、外，，，，，则；③若，，，，，则m∥n；④若，，则m∥n。
其中真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．以下命题中正确的是（ ）
A．在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
B．在一个平面内有不共线的三个点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
C．在一个平面内有无数个点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
D．在一个平面内的任意一点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
8．如图，四棱锥P—ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
9．已知直线m、n及平面、有下列关系：①m、n；②；③；④m∥n，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题________。
10．P是ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，则直线PC和平面BDQ的位置关系为________。
11．（2016 江苏泗阳县月考）如图所示，棱柱ABC—的侧面是菱形，设D是上的点且∥平面，则∶的值为________．
12．如上图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个面中与直线EF平行的平面是________。
13．如图所示，在棱长为2 cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．
14．（2016春 山东淄博月考）如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点，若，P为线段CD上的一点（P与D不重合），过M，N，P的平面交平面BCD于Q，求证：BD∥PQ．
15．已知点P是ABC所在平面外一点，、、分别是、、的重心.求证：
(1)平面∥平面ABC；
(2)求．
答案与解析
1．【答案】B
【解析】 过a可作无数个与平面相交的平面，直线a和两平面的交线平行。
2．【答案】C
【解析】 如答图，平面内有无数条直线与平面，但与相交。
3．【答案】A
【解析】 利用中位线性质定理得线线平行，进而得线面平行。
4．【答案】A
【解析】 利用线面平行的判定和性质知，四个选项一个都不正确。
5．【答案】C
6．【答案】C
【解析】 ①错，如下图1，在三棱柱中，显然，，且m∥n，但与相交；④错，如下图2，若，m、n，则，，但m与n相交。②③正确。
7．【答案】D
8．【分析】直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可．
【答案】B
【解答】四棱锥P—ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．
故选B．
9．【答案】①②③④
【解析】联想线面平行的性质定理。
10．【答案】平行
【解析】连接AC，与BD交于点O，则OQ是△APC的中位线，于是OQ∥PC。又OQ平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ。
11．【答案】1
【解析】如图所示，
棱柱ABC—中，
设交于点E，连接DE，
则DE是平面与平面的交线，
因为∥平面，所以∥DE；
又E是的中点，所以D为的中点，
所以∶=1．
故答案为：1．
12．【答案】平面D1DCC1和平面ABB1A1
【解析】由中点联想到中位线。
13．【分析】根据线面平行的定义和性质可以证明与截面PBC1平行的截面是平行四边形，然后求平行四边形的面积即可．
【答案】
【解答】取AB、C1D1的中点M、N，连接A1M、MC、CN、NA1．
由于A1N∥PC1∥MC且A1N=PC1=MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1N∥BP，A1N∩A1M=A1，
PC1∩BP=P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1
因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形，
又连接MN，作A1H⊥MN于H ，
由于，，则．
∴
故（cm2）．
【点评】本题主要考查空间立体几何中截面的形状判断，利用线面平行或面面平行的定义和性质是解决本题的关键．
14．【解析】证明：∵，∴MN∥BD，
∵BD平面MNPQ，MN平面MNPQ，
∴BD∥平面MNPQ，
∵BD平面BCD，平面MNPQ∩平面BCD=PQ，
∴BD∥PQ．
15. 证明：分别连，，并延长分别交BC、AC、AB于N、M、Q
则N、M、Q分别是BC、CA、AB的中点．∴，∴∥MN
同理∥NQ．∴平面∥平面ABC．
(2)∵∥NQ，∴，又NQ=
∴．
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．
【要点梳理】
要点一、直线和平面平行的性质
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．
三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．
要点二、平面和平面平行的性质
文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．
要点三、平行关系的综合转化
空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：
证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
【经典例题】
类型一：直线与平面平行的性质
例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BDM=GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．
【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．
举一反三：
【变式1】（2016 江苏无锡模拟）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
【答案】详见证明
【证明】∵MN∥平面ABC，PE∥CB，
∴MN∥PE，
∵M是AE的中点，∴N是PA的中点．
例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：．
【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线．
∵CD∥，AB∥，∴CD∥MQ，AB∥NQ．
于是，，∴．
【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．
在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．
举一反三：
【变式1】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．
证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，
∵∥平面，，∥平面，
∴∥，∥，∴∥，
又∵平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面∩平面=，
∴∥，又∵∥，∴∥．
【变式2】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围．
【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，，，同理，，，
四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+==8+4
因为0
例3．已知：平面∥平面∥平面，两条直线，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F（如图）．
求证：．
【解析】连接DC，设DC与平面相交于点G，连接BG、EG，则平面ACD与平面、分别相交于直线AD、BD，平面DCF与平面、分别相交于直线GE、CF．
因为，，所以BG∥AD，GE∥CF．
于是，得，．所以．
【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．
举一反三：
【变式1】 已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．
（1）若点S在平面，之间，则SC=________；
（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．
【答案】（1）16 （2）272
例4．如图所示，平面∥平面，A，C∈，D∈，点E，F分别在线段AB，CD上，且．求证：EF∥．
【解析】（1）当AB，CD共面时，
∵∥，且平面ABDC∩=AC，平面ACDB∩=BD，∴AC∥BD，
∴四边形ABDC是梯形或平行四边形．
由，得EF∥BD，
又∵BD，EF，∴EF∥．
（2）当AB，CD异面时，作AH∥CD交于H，
∵∥，且平面AHDC与平面，的交线分别为AC，HD，
∴AC∥HD．∴四边形AHDC为平行四边形．
作FG∥DH交AH于G，连接EG，于是．
∵，∴．从而EG∥BH，而BH，EG，
∴EG∥．
又FG∥DH，DH，FG，∴FG∥．
∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥．
又EF平面EFG，∴EF∥．
【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．
（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG∥得出EF∥，便是这一性质的灵活运用．
举一反三：
【变式1】（2017年 上海普陀区二模）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．
【答案】详见证明
【证明】在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE，
事实上，如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，
且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．
类型三：线面平行的判定与性质的综合应用
例5．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，M是DD1的中点．
求证：BD1∥平面AMC．
【思路点拨】连结BD交AC于N，连结MN．由此利用三角形中位线定理能证明BD1∥平面AMC．
【答案】详见解析
【证明】在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
连结BD交AC于N，连结MN．
因为ABCD为正方形，
所以N为BD中点．
在△DBD1中，因为M为DD1中点，
所以BD1∥MN．
因为MN平面AMC，BD1不包含于平面AMC，
所以BD1∥平面AMC．
举一反三：
【变式1】如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=．
（1）求证：∥BC；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解析】方法一：（1）因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又因为平面PBC∩平面PAD=，所以BC∥．
（2）平行．如下图（1），取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE=AM．所以四边形AMNE是平行四边形．
所以MN∥AE．所以MN∥平面PAD．
方法二：（1）因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC．
又因为平面PBC∩平面PAD=，所以∥AD．因为AD∥BC，所以∥BC．
（2）平行．如下图（2），设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ=Q，所以平面MNQ∥平面PAD．
又因为MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD．
巩固练习
1．如果直线a∥平面，则（ ）
A．平面内有且只有一条直线与a平行
B．平面内有无数条直线与a平行
C．平面内不存在与a平行的直线
D．平面内的任意直线与a都平行
2．由下列条件不一定得到平面∥平面的是（ ）
A．内有两条相交直线分别平行于
B．内任何一条直线都平行于
C．内有无数条直线平行于
D．内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线
3．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．AC在此平面内 D．平行或相交
4．以下命题（其中表示直线，表示平面）
①若，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，，则。
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面( )
A．只有一个 B．恰有两个 C．或没有，或只有一个 D．有无数个
6．已知m、n表示两条直线，、、表示平面，对此有下列命题：
①若，且m∥n，则；②若m、n相交且都在、外，，，，，则；③若，，，，，则m∥n；④若，，则m∥n。
其中真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．以下命题中正确的是（ ）
A．在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
B．在一个平面内有不共线的三个点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
C．在一个平面内有无数个点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
D．在一个平面内的任意一点，到另一个平面的距离都是，则这两个平面平行。
8．如图，四棱锥P—ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
9．已知直线m、n及平面、有下列关系：①m、n；②；③；④m∥n，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题________。
10．P是ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，则直线PC和平面BDQ的位置关系为________。
11．（2016 江苏泗阳县月考）如图所示，棱柱ABC—的侧面是菱形，设D是上的点且∥平面，则∶的值为________．
12．如上图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个面中与直线EF平行的平面是________。
13．如图所示，在棱长为2 cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．
14．（2016春 山东淄博月考）如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点，若，P为线段CD上的一点（P与D不重合），过M，N，P的平面交平面BCD于Q，求证：BD∥PQ．
15．已知点P是ABC所在平面外一点，、、分别是、、的重心.求证：
(1)平面∥平面ABC；
(2)求．
答案与解析
1．【答案】B
【解析】 过a可作无数个与平面相交的平面，直线a和两平面的交线平行。
2．【答案】C
【解析】 如答图，平面内有无数条直线与平面，但与相交。
3．【答案】A
【解析】 利用中位线性质定理得线线平行，进而得线面平行。
4．【答案】A
【解析】 利用线面平行的判定和性质知，四个选项一个都不正确。
5．【答案】C
6．【答案】C
【解析】 ①错，如下图1，在三棱柱中，显然，，且m∥n，但与相交；④错，如下图2，若，m、n，则，，但m与n相交。②③正确。
7．【答案】D
8．【分析】直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可．
【答案】B
【解答】四棱锥P—ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．
故选B．
9．【答案】①②③④
【解析】联想线面平行的性质定理。
10．【答案】平行
【解析】连接AC，与BD交于点O，则OQ是△APC的中位线，于是OQ∥PC。又OQ平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ。
11．【答案】1
【解析】如图所示，
棱柱ABC—中，
设交于点E，连接DE，
则DE是平面与平面的交线，
因为∥平面，所以∥DE；
又E是的中点，所以D为的中点，
所以∶=1．
故答案为：1．
12．【答案】平面D1DCC1和平面ABB1A1
【解析】由中点联想到中位线。
13．【分析】根据线面平行的定义和性质可以证明与截面PBC1平行的截面是平行四边形，然后求平行四边形的面积即可．
【答案】
【解答】取AB、C1D1的中点M、N，连接A1M、MC、CN、NA1．
由于A1N∥PC1∥MC且A1N=PC1=MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1N∥BP，A1N∩A1M=A1，
PC1∩BP=P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1
因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形，
又连接MN，作A1H⊥MN于H ，
由于，，则．
∴
故（cm2）．
【点评】本题主要考查空间立体几何中截面的形状判断，利用线面平行或面面平行的定义和性质是解决本题的关键．
14．【解析】证明：∵，∴MN∥BD，
∵BD平面MNPQ，MN平面MNPQ，
∴BD∥平面MNPQ，
∵BD平面BCD，平面MNPQ∩平面BCD=PQ，
∴BD∥PQ．
15. 证明：分别连，，并延长分别交BC、AC、AB于N、M、Q
则N、M、Q分别是BC、CA、AB的中点．∴，∴∥MN
同理∥NQ．∴平面∥平面ABC．
(2)∵∥NQ，∴，又NQ=
∴．