高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：16【提高】直线、平面平行的性质
文档属性
| 名称 | 高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：16【提高】直线、平面平行的性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 617.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-02 20:56:36 | ||
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文档简介
直线、平面平行的性质
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．
【要点梳理】
要点一、直线和平面平行的性质
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；
（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．
要点二、平面和平面平行的性质
文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．
要点三、平行关系的综合转化
空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：
证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
【经典例题】
类型一：直线与平面平行的性质
例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BDM=GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．
【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．
举一反三：
【变式1】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．
证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，
∵∥平面，，∥平面，
∴∥，∥，∴∥，
又∵平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面∩平面=，
∴∥，又∵∥，∴∥．
【总结升华】证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一．
例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：．
【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线．
∵CD∥，AB∥，∴CD∥MQ，AB∥NQ．
于是，，∴．
【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．
在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．
举一反三：
【变式1】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围．
【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，，，同理，，，
四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+==8+4
因为0类型二：平面与平面平行的性质
例3．（2017秋 葫芦岛月考）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求三棱锥D—AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．
【思路点拨】（1）转化顶点，以平面ADC为底，取AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．
【答案】（1）；（2）略
【解析】（1）取AB中点O，连接OE，
因为AE=EB，所以OE⊥AB．
因为AD⊥面ABE，OE面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD．
因为BF⊥面ACE，AE面ACE，所以BF⊥AE．
因为CB⊥面ABE，AE面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．
又BE面BCE，所以AE⊥EB．
所以△AEB为等腰直角三角形，所以，所以AB边上的高OE为，
所以．
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，所以．
因为MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，
所以MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
所以平面MGE∥平面ADE．
又MN平面MGN，所以MN∥平面ADE．
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．
举一反三：
【变式1】 已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．
（1）若点S在平面，之间，则SC=________；
（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．
【答案】（1）16 （2）272
【变式2】（2016 辽宁丹东一模）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．
（1）证明：ED⊥PE；
（2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由．
【思路点拨】（1）由PA⊥平面ABCD先证明DE⊥PA．连接AE，由勾股定理证明DE⊥AE，通过证明DE⊥平面PAE，即可得证PE⊥ED．
（2）过点F作FH∥ED交AD于点H，再过点H作HG∥DP交PA于点G，通过证明平面GEH∥平面PED，然后证明EG∥平面PFD．
【答案】详见解析
【证明】（1）由PA⊥平面ABCD，得DE⊥PA，连接AE，
因为AD=2AB，
所以由勾股定理可得DE⊥AE．
所以DE⊥平面PAE，
因此PE⊥ED．
（2）过点F作FH∥ED交AD于点H，
则FH∥平面PED，且有．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PED，且．
由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，
进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD，
从而确定G点位置．
类型三：线面平行的判定与性质的综合应用
例4．如图所示，已知平面∥平面，AB与CD是两条异面直线，且AB，CD．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥∥．
【解析】由已知条件可知EF∥AB，FG∥CD．
∴EF∥，FG与CD可确定一个平面，设BM=∩平面CDGF，由于，故有CD∥BMFG∥BMFG∥．
如果E，F，G三点共线，则有G∈平面ABCBG平面ABCD∈平面ABC，即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾．故E，F，G三点不共线，即EF与FG是平面EFG内的两条相交直线．∴平面EFG∥，而，故平面EFG∥∥．
【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．
（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．
例5.如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF∥平面ABCD．
证明：
证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．
∵⊥平面ABCD，∴⊥AB，⊥BC，
∴EM∥，FN∥，∴EM∥FN，
∵=，=，∴AE=BF，又∠=∠=45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．
又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交于G，连接GF，
∴，，，
∴，∴FG∥∥BC．
又∵EGFG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
总结升华：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质．
举一反三：
举一反三：
【变式1】如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．
（1）求证：BC∥平面AB1C1；
（2）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．
【思路点拨】（1）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；
（2）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．
【证明】（1）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，
因为BC平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，
所以BC∥平面AB1C1；
（2）E，F，H，G四点不共面，理由如下：
因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GE∥CC1，
同理可证：GH∥C1A1；
因为GE平面EHG，GH平面EHG，GE∩GH=G，
CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，
所以平面EHG∥平面AA1C1C；
又因为F∈平面AA1C1C，
所以F平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．
例6．如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．
已知：直线a∥平面，B∈，B∈b，b∥a，求证：b．
【证明】证法一：如图，假设，过直线a和点B作平面，．
∵a∥，∴．
这样过点B就有两条直线b和b＇同时平行于直线a，与平行公理矛盾，故b必在内．
证法二：过直线a及点B作平面，设．
∵a∥，∴．
这样，b＇与b都是过点B平行于a的直线，而过一点与一直线平行的直线有且仅有一条，∴b与b＇重合，∵，∴．
【总结升华】“反证法”也是证明“唯一性”问题的重要方法．
【巩固练习】
1．有以下三个命题：①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行；③如果直线∥平面，那么过平面内一点和直线平行的直线在内。其中正确的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设a，b是两条直线，、是两个平面，若，，，则内与b相交的直线与a的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
3．下列说法正确的个数为（ ）
①若点A不在平面内，则过点A只能作一条直线与平行；②若直线a与平面平行，则a与内的直线的位置关系有平行和异面两种；③若直线a与平面平行，且a与直线b平行，则b也一定平行于；④若直线a与平面平行，且a与直线b垂直，则b不可能与平行。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知平面∥平面，直线a，直线b，则①a∥b；②a，b为异面直线；③a，b一定不相交；④a∥b或a，b异面。其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
5．已知E，F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，AA1上的点，且，，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．1条 B．2条 C．6条 D．无数条
6．若平面∥平面，直线a，点B∈，过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
7．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
8．设，，，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，那么，所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
9．在长方体中，过点的两条直线分别交于相交于两点，则四边形的形状为 。
10．已知直线m、n及平面、有下列关系：①m、n；②；③；④m∥n，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题________。
11．（2016 湖北枣阳市模拟）一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，将截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
12．平面∥平面，A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD相交于P，已知AP=8，BP=9，CP=16，则CD=________．
13．如图，三角形ABC中，，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
求证：GF∥底面ABC．
14．（2016 河南模拟）如图，在三棱柱ABC—中，⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段和AC上，，AC=BC==4，试探究满足EF∥平面的点F的位置，并给出证明．
15．如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（1）证明直线BC∥EF；
（2）求棱锥F—OBED的体积。
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 由直线与平面平行的性质定理易知①、③正确。过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，故②错。
2．【答案】C
【解析】 因为，则a与内的直线没有公共点，所以a与内的直线的位置关系是异面或平行，又a∥b，所以内与b平行的直线与a平行，内与b相交的直线与a异面。
3．【答案】A
【解析】 ①错，过点A可以作无数条直线平行于；②对，a与平行，所以，a与内的所有直线没有公共点；③错，b与的位置关系有平行和b在平面内两种；④错，b可以与相交，可以在内，也可以与平行。
4．【答案】C
【解析】 若两个平面平行，则两个平面没有公共点，∴a∥b或a，b异面，即a，b一定不相交。
5．【分析】取，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到，MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．
【答案】选D
【解析】取，连接FH，则FH∥C1D
连接HE，在D1E上任取一点M，
过M在面D1HE中，作MG∥HO，交D1H于G，
其中O为线段三等分点，
再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，
由于GM∥HO，HO∥KB，KB平面ABCD，
GM平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，
同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，
由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，
则MN∥平面ABCD．
由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条，故选D．
6．【答案】D
【解析】 由直线a和点B可以确定一个平面，，则b就是唯一的一条满足条件的直线。
7．【答案】D
【解析】 根据棱台的定义（侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥）。因此，几何体Ω不是棱台，应选D。
8．【答案】D
【解析】 所有的动点C都在同一平面内且这个平面与、平行。如右图。A、B两点在、内运动后的两点为A＇、B＇，此时AB的中点C变成的中点C＇，连接，取的中点E，连接CE、、，则CE∥AA＇，∴CE∥。，∴。又∵，∴。∵，∴平面。∴，∴不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、平行的平面上。
9．【答案】平行四边形
10．【答案】①②③④
【解析】联想线面平行的性质定理。
11．【答案】
【解析】在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，
在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，
过点D作直线DE∥AC，交BC于E，
∵PE∥DE，
∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，
则四边形PDEF为边长为的正方形，
故其面积为．
故答案为：．
12．【分析】用面面平行的性质，可得AC∥BD，根据比例关系即可求出CD．
【解析】∵平面，A，C∈，点B，D∈，
直线AB与CD交于点P，
∴AB，CD共面，且AC∥BD，
①若点P在平面，的外部，
∴，
∵AP=8，BP=9，CP=16，
∴，解得PD=18，
∴CD=PD－PC=18－16=2．
②点P在平面，的之间，
则，即，解得PD=18，
则CD=CP+PD=18+16=34，
故答案为：2或34．
13．【解析】证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，
又∵ADEB为正方形 ∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴GM∥BE，且，
NF∥DA，且
又∵ADEB为正方形，∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN平面ABC，
∴GF∥平面ABC
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF∥AC，
又AC平面ABC，
∴GF∥平面ABC
14．【解析】当AF=3FC时，EF∥平面．
证明如下：在平面内过E作EG∥交于G，连接AG．
∵ ，∴，
又AF∥且，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF面，AG平面，
∴EF∥平面．
15．【解析】（1）如图，设G是线段DA与EB延长线的交点。由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以，OG=OD=2。同理，设G＇是线段DA与FC延长线的交点，有。又由于G和G＇都在线段AD的延长线上，所以G与G＇重点。在△GED和△GFD中，由和，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF。
（2）由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知。而△OED是边长为2的正三角形，故。所以。
过点作，交于点，如图，由平面平面知就是四棱锥的高，且，所以。
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．
【要点梳理】
要点一、直线和平面平行的性质
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；
（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．
要点二、平面和平面平行的性质
文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：若，，，则.
图形语言：
要点诠释：
（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．
要点三、平行关系的综合转化
空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：
证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
【经典例题】
类型一：直线与平面平行的性质
例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BDM=GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．
【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．
举一反三：
【变式1】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．
证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，
∵∥平面，，∥平面，
∴∥，∥，∴∥，
又∵平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面∩平面=，
∴∥，又∵∥，∴∥．
【总结升华】证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一．
例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：．
【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线．
∵CD∥，AB∥，∴CD∥MQ，AB∥NQ．
于是，，∴．
【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．
在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．
举一反三：
【变式1】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围．
【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，，，同理，，，
四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+==8+4
因为0
例3．（2017秋 葫芦岛月考）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求三棱锥D—AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．
【思路点拨】（1）转化顶点，以平面ADC为底，取AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．
【答案】（1）；（2）略
【解析】（1）取AB中点O，连接OE，
因为AE=EB，所以OE⊥AB．
因为AD⊥面ABE，OE面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD．
因为BF⊥面ACE，AE面ACE，所以BF⊥AE．
因为CB⊥面ABE，AE面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．
又BE面BCE，所以AE⊥EB．
所以△AEB为等腰直角三角形，所以，所以AB边上的高OE为，
所以．
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，所以．
因为MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，
所以MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
所以平面MGE∥平面ADE．
又MN平面MGN，所以MN∥平面ADE．
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．
举一反三：
【变式1】 已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．
（1）若点S在平面，之间，则SC=________；
（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．
【答案】（1）16 （2）272
【变式2】（2016 辽宁丹东一模）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．
（1）证明：ED⊥PE；
（2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由．
【思路点拨】（1）由PA⊥平面ABCD先证明DE⊥PA．连接AE，由勾股定理证明DE⊥AE，通过证明DE⊥平面PAE，即可得证PE⊥ED．
（2）过点F作FH∥ED交AD于点H，再过点H作HG∥DP交PA于点G，通过证明平面GEH∥平面PED，然后证明EG∥平面PFD．
【答案】详见解析
【证明】（1）由PA⊥平面ABCD，得DE⊥PA，连接AE，
因为AD=2AB，
所以由勾股定理可得DE⊥AE．
所以DE⊥平面PAE，
因此PE⊥ED．
（2）过点F作FH∥ED交AD于点H，
则FH∥平面PED，且有．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PED，且．
由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，
进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD，
从而确定G点位置．
类型三：线面平行的判定与性质的综合应用
例4．如图所示，已知平面∥平面，AB与CD是两条异面直线，且AB，CD．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥∥．
【解析】由已知条件可知EF∥AB，FG∥CD．
∴EF∥，FG与CD可确定一个平面，设BM=∩平面CDGF，由于，故有CD∥BMFG∥BMFG∥．
如果E，F，G三点共线，则有G∈平面ABCBG平面ABCD∈平面ABC，即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾．故E，F，G三点不共线，即EF与FG是平面EFG内的两条相交直线．∴平面EFG∥，而，故平面EFG∥∥．
【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．
（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．
例5.如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF∥平面ABCD．
证明：
证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．
∵⊥平面ABCD，∴⊥AB，⊥BC，
∴EM∥，FN∥，∴EM∥FN，
∵=，=，∴AE=BF，又∠=∠=45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．
又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交于G，连接GF，
∴，，，
∴，∴FG∥∥BC．
又∵EGFG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
总结升华：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质．
举一反三：
举一反三：
【变式1】如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．
（1）求证：BC∥平面AB1C1；
（2）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．
【思路点拨】（1）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；
（2）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．
【证明】（1）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，
因为BC平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，
所以BC∥平面AB1C1；
（2）E，F，H，G四点不共面，理由如下：
因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GE∥CC1，
同理可证：GH∥C1A1；
因为GE平面EHG，GH平面EHG，GE∩GH=G，
CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，
所以平面EHG∥平面AA1C1C；
又因为F∈平面AA1C1C，
所以F平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．
例6．如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．
已知：直线a∥平面，B∈，B∈b，b∥a，求证：b．
【证明】证法一：如图，假设，过直线a和点B作平面，．
∵a∥，∴．
这样过点B就有两条直线b和b＇同时平行于直线a，与平行公理矛盾，故b必在内．
证法二：过直线a及点B作平面，设．
∵a∥，∴．
这样，b＇与b都是过点B平行于a的直线，而过一点与一直线平行的直线有且仅有一条，∴b与b＇重合，∵，∴．
【总结升华】“反证法”也是证明“唯一性”问题的重要方法．
【巩固练习】
1．有以下三个命题：①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行；③如果直线∥平面，那么过平面内一点和直线平行的直线在内。其中正确的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设a，b是两条直线，、是两个平面，若，，，则内与b相交的直线与a的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
3．下列说法正确的个数为（ ）
①若点A不在平面内，则过点A只能作一条直线与平行；②若直线a与平面平行，则a与内的直线的位置关系有平行和异面两种；③若直线a与平面平行，且a与直线b平行，则b也一定平行于；④若直线a与平面平行，且a与直线b垂直，则b不可能与平行。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知平面∥平面，直线a，直线b，则①a∥b；②a，b为异面直线；③a，b一定不相交；④a∥b或a，b异面。其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
5．已知E，F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，AA1上的点，且，，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．1条 B．2条 C．6条 D．无数条
6．若平面∥平面，直线a，点B∈，过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
7．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
8．设，，，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，那么，所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
9．在长方体中，过点的两条直线分别交于相交于两点，则四边形的形状为 。
10．已知直线m、n及平面、有下列关系：①m、n；②；③；④m∥n，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题________。
11．（2016 湖北枣阳市模拟）一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，将截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
12．平面∥平面，A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD相交于P，已知AP=8，BP=9，CP=16，则CD=________．
13．如图，三角形ABC中，，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
求证：GF∥底面ABC．
14．（2016 河南模拟）如图，在三棱柱ABC—中，⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段和AC上，，AC=BC==4，试探究满足EF∥平面的点F的位置，并给出证明．
15．如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（1）证明直线BC∥EF；
（2）求棱锥F—OBED的体积。
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 由直线与平面平行的性质定理易知①、③正确。过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，故②错。
2．【答案】C
【解析】 因为，则a与内的直线没有公共点，所以a与内的直线的位置关系是异面或平行，又a∥b，所以内与b平行的直线与a平行，内与b相交的直线与a异面。
3．【答案】A
【解析】 ①错，过点A可以作无数条直线平行于；②对，a与平行，所以，a与内的所有直线没有公共点；③错，b与的位置关系有平行和b在平面内两种；④错，b可以与相交，可以在内，也可以与平行。
4．【答案】C
【解析】 若两个平面平行，则两个平面没有公共点，∴a∥b或a，b异面，即a，b一定不相交。
5．【分析】取，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到，MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．
【答案】选D
【解析】取，连接FH，则FH∥C1D
连接HE，在D1E上任取一点M，
过M在面D1HE中，作MG∥HO，交D1H于G，
其中O为线段三等分点，
再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，
由于GM∥HO，HO∥KB，KB平面ABCD，
GM平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，
同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，
由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，
则MN∥平面ABCD．
由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条，故选D．
6．【答案】D
【解析】 由直线a和点B可以确定一个平面，，则b就是唯一的一条满足条件的直线。
7．【答案】D
【解析】 根据棱台的定义（侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥）。因此，几何体Ω不是棱台，应选D。
8．【答案】D
【解析】 所有的动点C都在同一平面内且这个平面与、平行。如右图。A、B两点在、内运动后的两点为A＇、B＇，此时AB的中点C变成的中点C＇，连接，取的中点E，连接CE、、，则CE∥AA＇，∴CE∥。，∴。又∵，∴。∵，∴平面。∴，∴不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、平行的平面上。
9．【答案】平行四边形
10．【答案】①②③④
【解析】联想线面平行的性质定理。
11．【答案】
【解析】在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，
在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，
过点D作直线DE∥AC，交BC于E，
∵PE∥DE，
∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，
则四边形PDEF为边长为的正方形，
故其面积为．
故答案为：．
12．【分析】用面面平行的性质，可得AC∥BD，根据比例关系即可求出CD．
【解析】∵平面，A，C∈，点B，D∈，
直线AB与CD交于点P，
∴AB，CD共面，且AC∥BD，
①若点P在平面，的外部，
∴，
∵AP=8，BP=9，CP=16，
∴，解得PD=18，
∴CD=PD－PC=18－16=2．
②点P在平面，的之间，
则，即，解得PD=18，
则CD=CP+PD=18+16=34，
故答案为：2或34．
13．【解析】证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，
又∵ADEB为正方形 ∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴GM∥BE，且，
NF∥DA，且
又∵ADEB为正方形，∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN平面ABC，
∴GF∥平面ABC
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF∥AC，
又AC平面ABC，
∴GF∥平面ABC
14．【解析】当AF=3FC时，EF∥平面．
证明如下：在平面内过E作EG∥交于G，连接AG．
∵ ，∴，
又AF∥且，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF面，AG平面，
∴EF∥平面．
15．【解析】（1）如图，设G是线段DA与EB延长线的交点。由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以，OG=OD=2。同理，设G＇是线段DA与FC延长线的交点，有。又由于G和G＇都在线段AD的延长线上，所以G与G＇重点。在△GED和△GFD中，由和，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF。
（2）由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知。而△OED是边长为2的正三角形，故。所以。
过点作，交于点，如图，由平面平面知就是四棱锥的高，且，所以。