高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：17【基础】直线、平面垂直的判定

直线、平面垂直的判定
【学习目标】
1．了解空间直线和平面的位置关系；
2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理；
3．理解直线与平面所成的角的概念．会求直线与平面所成的角；
4．理解二面角及二面角的平面角的概念，会求一些简单的二面角的大小；
5．能利用直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理解决与其相关的问题．
【要点梳理】
要点一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
要点诠释：
(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若，则.
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
要点诠释：
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
要点二、直线与平面所成的角
1．直线与平面所成角的定义
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
要点诠释：
(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
2．直线与平面所成的角的范围：
直线和平面平行或直线在平面内，=0°．．
直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°．
3．求斜线与平面所成角的一般步骤：
(1)确定斜线与平面的交点即斜足；
(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
要点三、二面角
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.
2.二面角的平面角
(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.
(2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(3) 二面角与平面角的对比
角
二面角
图形
定义
从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形
表示法
由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB
由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角
(4) 二面角的平面角的确定方法
方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角．
方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如下图（左），已知二面角，
过棱上一点O作一平面，使，且，．
∴，，且⊥OA，⊥OB，
∴∠AOB为二面角的平面角．

方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．
如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．
过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．
∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．
又EF⊥BC，AE∩EF=E，
∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF
由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角．
要点四、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直面面垂直
要点诠释：
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.
【经典例题】
类型一：直线和平面垂直的定义
例1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；
②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；
③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；
④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当直线与平面平行或在平面内时，在平面内都有直线与直线垂直，故在平面内存在一组平行线（无数条）与垂直，因此①②③均错，④正确．
【总结升华】“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多，而“任意条直线”除能说明直线无穷多条外，还说明直线的位置关系是任意的，是不受限制的．解题时一定要加以区别．
举一反三：
【变式1】设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与垂直
【答案】B
【解析】可以通过观察正方体进行判断，取为直线，平面为平面，由均与垂直知，选项错；由与垂直且与平行知，选项错；由平面与平行且与垂直知，选项错，故选B．
类型二：直线与平面垂直的判定
例2．如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD．
【思路点拨】要证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可．
【解析】
证明：取AB中点F，连CF，DF，
∵BC=AC，∴CF⊥AB．
又∵AD=BD，∴DF⊥AB，
∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD．
又BE⊥CD，且AB∩BE=B，
根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE．
∴CD⊥AH．
而AH⊥BE，CD∩BE=E，∴AH⊥平面BCD．
【总结升华】本题主要考查线面垂直的判定，关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现线线垂直与线面垂直的互相转化．
例3．（2016 山西运城模拟）如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．
（1）求证：MN∥平面DCC1；
（2）试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC．
【思路点拨】（1）连接AC1，由中位线定理即可得出MN∥AC1，故而MN∥平面DCC1；
（2）由BC⊥平面ACC1A1可得BC⊥C1D，故当C1D⊥CD时有DC1⊥平面DBC，设AD=x，根据勾股定理列方程解出x，从而确定D的位置．
【证明】（1）连接AC1，
∵M，N分别是AB，BC1的中点，
∴MN∥AC1，
又MN平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1．
即MN∥平面DCC1．
（2）∵CC1⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴CC1⊥BC，
又AC⊥BC，AC平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1，∵C1D平面ACC1A1，
∴BC⊥C1D．
故当C1D⊥CD时，C1D⊥平面BCD．
设AD=x，则A1D=4－x，
，．
又CC1=4，
∴CD2+C1D2=CC12，即x2+4+(4－x)2+4=16．解得x=2．
∴D为AA1中点时，C1D⊥平面BCD．
【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：
①利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．
②用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．
③用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．
（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．
举一反三：
【变式1】 正方体，求证：面.
证明：（略写），


同理：
所以面
【变式2】（2017年 江苏）如图，在直三棱柱中，已知AC⊥BC，BC＝，设的中点为D，∩＝E．
求证：（1）DE∥平面；
（2）⊥．
【思路点拨】（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形，因此点E为的中点，从而由三角形中位线性质得DE∥AC，再由线面平行判定定理得DE∥平面；（2）因为直三棱柱中BC＝，所以侧面BB1C1C为正方形，因此⊥，又AC⊥BC，AC⊥（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得AC⊥平面，从而AC⊥，再由线面垂直判定定理得⊥平面，进而可得⊥
【答案】详见证明
【证明】（1）由题意知，E为的中点，
又D为的中点，因此DE∥AC．
又因为DE平面，AC平面，
所以DE∥平面．
（2）因为棱柱是直三棱柱，
所以⊥平面ABC．
因为AC平面ABC，所以AC⊥．
又因为平面，所以⊥AC．
因为BC＝，所以短形是正方形，因此⊥．
因为AC，平面，AC∩＝C，所以⊥平面．
又因为平面，所以⊥．
类型三：直线和平面所成的角
例4．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC．
求直线AS与平面SBC所成的角．
【思路点拨】确定AS在平面SBC上的射影是关键，即找过点A的平面SBC的垂线．
因为∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，所以△ASB与△ASC都是等边三角形．
因此，AB=AC．
【答案】45°
【解析】
取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC．
设SA=a，则在Rt△SBC中，，．
在Rt△ADC中，，则AD2+SD2=SA2，所以AD⊥SD．
又BC∩SD=D，所以AD⊥平面SBC．因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，，所以∠ASD=45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°．
【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值．其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．
举一反三：
【变式1】（1）正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）D
类型四：二面角
例5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．
【答案】
【解析】取A1C1的中点O，连接B1O，BO．
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1=BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．
设正方体的棱长为a，则，
在Rt△BB1O中，，
所以二面角B-A1C1-B1的正切值为．
【总结升华】求空间角如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值．
举一反三：
【变式1】已知Rt△ABC，斜边BC，点，AO⊥，O为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A-BC-O的大小．
【答案】60°
【解析】 如图所示，在平面内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．
设OC=a，∵AO⊥，BC，∴AO⊥BC．
又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD．
而AD平面AOD，
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．
由AO⊥，OB，OC知AO⊥OB，AO⊥OC．
又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴AO=a，，AB=2a．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴，
∴．
在Rt△AOD中，．
∴∠ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60°．
【总结升华】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．
类型五：平面与平面垂直的判定
例6．（2017年 张家港模拟）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中点．

（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．
【思路点拨】（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO，证明PA∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面BDE．
（2）在△PAC中，推出∠APC=90°，求出PC，然后证明BE⊥DE，BE⊥PC，得到BE⊥面PDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PDC．
【证明】（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又E为PC中点，∴PA∥EO
又EO面BDE，PA面BDE，∴PA∥平面BDE

（2）在△PAC中，易得
∴∠APC=90°，∴
∴在△PDC中可求得，同理在△PBC中可求得
∴在△BDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE
又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC
BE⊥面PDC，又BE面PBC
∴平面PBC⊥平面PDC
举一反三：
【变式1】 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD．

【证明】 如图连接AC，与BD交于点F，连接EF．
因为F为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，所以F为AC的中点．
又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，
所以EF∥SC．
又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．
又EF平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．
【巩固练习】
1．下列表述正确的个数为（ ）
①若直线a∥平面，直线a⊥b，则b⊥；
②若直线a平面，b，且a⊥b，则a⊥；
③若直线a平行于平面内的两条直线，则a∥；
④若直线a垂直于平面内两条直线，则a⊥。
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若经过直线外的任意一点，作该直线的垂直平面，可作出平面的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
3．（2016 浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
4．1，2，3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．1⊥2，2⊥31∥3
B．1⊥2，2∥31⊥3
C．1∥2∥31，2，3共面
D．1，2，3共点1，2，3共面
5．（2017广东珠海二模）l、m是空间条直线，、是空间两个平面，则（ ）
A．l∥m，，，则
B．l⊥m，，，则
C．，，，则l⊥m
D．，l∥m，，则
6．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如右图，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，则二面角B—PA—C的大小为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（ ）
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
9．设三棱锥P—ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心。
则正确命题的序号有________。
10．如下图，下列四个正方体中，是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，则能得出⊥平面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）。

11．（2017秋 江苏新沂市月考）如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使，，三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．
其中正确的是________（填序号）．
12．如图，二面角的大小是60°，线AB，B∈，AB与所成的角为30°，则AB与平面所成的角的正弦值是________。
13．（2016 安徽马鞍山模拟）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
求证：平面CAA1C⊥平面CB1D1．
14．一个多面体的直观图及三视图如下图（1），（2）所示，M，N分别是A1B，B1C1的中点。
求证：（1）MN∥平面ACC1A1；
（2）MN⊥平面A1BC。

15．（2017年 陕西模拟）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点．
（1）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；
（2）试问在线段BC上是否存在点M，使DM∥面POB，如存在，指出M的位置，如不存在，说明理由．
16．如右图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD。
（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（2）若AB=BC=2BD，求二面角B—AC—D的正切值。
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①中b与还可能平行、斜交或b在平面内；②中a与还可能平行或斜交；③中a还可能在平面内；由直线与平面垂直的判定定理知④错。
2．【答案】A
【解析】 过直线外的一点与一个平面垂直的平面有且仅有一个。
3．【答案】C
【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或mβ或m与β相交，，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
4．【答案】B
【解析】 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错。
5．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理以及性质定理分别进行判断即可．
【答案】D
【解析】A．若l∥m，，，则或与相交，故A错误
B．若l⊥m，，，则或与相交，故B错误
C．若，，，则l⊥m或l，m相交，或异面直线，故C错误
D．若，l∥m，则，∵，∴成立，故D正确．
故选：D
6．【答案】C
【解析】 如图是三棱柱ABC—A1B1C1，不妨设各棱长为1。
取BC的中点E，连接AE，DE，∵CC1⊥底面ABC，
∴侧面BB1C1C⊥底面ABC，
又E为BC的中点，且△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，
由两平面垂直的性质定理知，AE⊥平面BB1C1C，
∴∠ADE的大小就是AD与平面BB1C1C所成角的大小。
容易计算∠ADE=60°。故选C。
7．【答案】A
【解析】 因为PA⊥平面ABC，BA、CA平面ABC，所以BA⊥AP，CA⊥AP，因此，∠BAC即为二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC=90°，故选A。
8．【答案】D
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角。
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD=2AB，
∵，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D。
9．【答案】①②③④
【解析】根据线面垂直的判定及定义可证明。
10．【答案】①④
【解析】根据线面垂直的判定。
11．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有⊥，⊥，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个选项，即可给出正确的选择．
【答案】①
【证明】∵在折叠过程中，始终有SG1⊥，⊥，
即SG⊥GE，SG⊥GF，
∴SG⊥平面EFG．
故答案为：①．
【点评】本题主要考查了垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
12．【答案】
【解析】如图，作AO⊥于O，AC⊥于C，连接OB、OC，则OC⊥。
设AB与所成角为，则∠ABO=，
由图得。
13．【解析】因为在正方体中，
⊥平面，而平面，
所以⊥．
又因为在正方形中，⊥，
所以⊥平面．
又因为平面，
所以平面⊥平面．
14．证明：由题意知，该几何体是一个三棱柱，且侧棱与底面垂直，其中AC⊥BC，AC=BC=CC1。
（1）由已知AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1B1，因此四边形ABB1A1为矩形，连接AB1，则A，M，B1三点共线，且M是AB1的中点。连接AC1，在△AB1C1中，M，N分别为AB1，B1C1的中点，所以MN∥AC1。因为AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，所以MN∥平面ACC1A1。
（2）因为AC⊥BC，BC⊥CC1，AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥AC1，又四边形ACC1A1为正方形，所以AC1⊥A1C。又BC∩A1C=C，因此AC1⊥平面A1BC，又MN∥AC1，所以MN⊥平面A1BC。
15．【分析】（1）由题意可证明PO⊥AD，OB⊥AD，从而可证AD⊥面POB，又AD面PAD从而可证面POB⊥面PAD．
（2）取M为PC的中点，则BMDO为平行四边形，可证DM∥OB，从而可证DM∥面POB．
【解析】（1）∵PA=PD，O为AD中点，∴PO⊥AD
又∵ABCD为菱形且∠DAB=60°，∴OB⊥AD
∵PO∩OB=O，∴AD⊥面POB
∵AD面PAD，∴面POB⊥面PAD
（2）存在，M为BC的中点．
证明如下：BMDO为平行四边形，
故DM∥OB，而OB面POB，DM面POB，
所以，DM∥面POB．
16．【解析】（1）∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，∴AB⊥CD。
又BD⊥CD，且BD∩AB=B，∴CD⊥平面ABD。
又CD平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD。
（2）如图，过D作DE⊥BC于E，由AB⊥DE知，
DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC。
过E作EF⊥AC于F，连接DF，∴AD⊥平面DEF，则AC⊥DF，
∴∠DFE就是二面角B—AC—D的平面角。
设BD=x，则AB=BC=2x。
在Rt△BDC中，
，BD·CD=BC·DE，则，，。
由Rt△CEF∽Rt△CAB，得，∴，
∴在Rt△DEF中，。
故二面角B—AC—D的正切值为。