高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：19【基础】直线、平面垂直的性质

直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若于，，则．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．
要点二、平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
要点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
要点三、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：

在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清．
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝．
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间．
【典型例题】
类型一：直线与平面垂直的性质
例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．
（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；
（2）若a，b分别垂直于平面，，且，求证：AB∥c．
【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．
证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇．
∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇．
又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，
∴AB⊥．
（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇．
又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．
∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c．
∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．
故c∥AB．
【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．
举一反三：
【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若⊥m，m，则⊥ B．若⊥，∥m，则m⊥
C．若∥，m，则∥m D．若∥，m∥，则∥m
【答案】 B
【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE?面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
举一反三：
【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．
【解析】
证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．
又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．
（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG．
又由（1）有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．
【变式2】（2017秋 葫芦岛月考）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）求三棱锥D—AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE。

【思路点拨】（1）转化顶点，以平面ADC为底，则AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论。
【答案】（1）（2）详见证明
【证明】取AB中点O，连接OE，
因为AE=EB，所以OE⊥AB。
因为AD⊥面ABE，OE面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD。
因为BF⊥面ACE，AE面ACE，所以BF⊥AE。
因为CB⊥面ABE，AE面ABE，所以AE⊥BC。
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE。
又BE面BCE，所以AE⊥EB。
所以△AEB为等腰直角三角形，所以，所以AB边上的高OE为，
所以。
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，所以。
因为MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，
所以MG∥平面ADE，
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
所以平面MGE∥平面ADE，
又MN平面MGN，所以MN∥平面ADE。
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点。
类型二：平面与平面垂直的性质
例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
【解析】已知：，，，求证：．
证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA⊥，PB⊥，
∵，∴⊥PA，⊥PB．
∵PA，PB，PA∩PB=P，
∴．

证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，
∵，，∴，，∴m∥n．
又，∴m∥，∴m∥，∴．
证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使．
∵，且，∴．
同理，∴，即与m重合．
∴．
【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键．证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷．由此可见，我们必须熟练掌握这一推论．
举一反三：
【变式1】如下图，已知PA⊥平面ABC，二面角A—PB—C是直二面角．求证：AB⊥BC．

证明：二面角A—PB—C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．
在平面PAB内，过A作AD⊥PB，D为垂足（如图），
则AD⊥平面CPB，又BC平面CPB，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
所以PA⊥BC，又PA∩AD=A，
因此，BC⊥平面PAB，又AB平面PAB，
所以AB⊥BC．
【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面角、直线与平面所成的角、平面的垂线等．
类型三：综合应用
例4．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点。
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。
【思路点拨】（1）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可。
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内的一条直线即可。
（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。
只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出结果。
【证明】（1）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，
∵FG平面PAC，∴BD⊥FG
（2）当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD，
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG平面PBD，PE平面PBD，
故FG∥平面PBD。
（3）作BH⊥PC于H，连接DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD就是二面角B—PC—D的平面角，即，
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角
连接EH，则EH⊥BD，，EH⊥PC，
∴，而BE=EC，
∴，∴，∴，
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是。
举一反三：
【变式1】（2018 山东潍坊模拟）如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，M是CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上的翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（1）求证：AB⊥PN．
（2）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．
【证明】（1）连结AM，
∵M是CD的中点，，AB∥CD，
∴四边形ABCM是平行四边形，四边形ABMD是平行四边形，
∴N是BM的中点，BM=AD，又∵AD=BC，
∴△BCM是等边三角形，即△PBM是等边三角形，
∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面ABMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN平面PBM，
∴PN⊥平面ABMD，∵AB平面ABMD，
∴AB⊥PN．
（2）连结PC，∵E是PA的中点，N是AC的中点，
∴EN∥PC，
∵PC平面PDM，EN平面PDM，
∴EN∥平面PDM．
【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直——线面垂直——面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
【变式2】 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
(Ⅰ)证明：//平面；
(Ⅱ)证明：平面；
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正切值．
【解析】(Ⅰ)连接，．在平行四边形中，
因为为的中点，所以为的中点．
又为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
(Ⅱ)因为°，且，
所以°，即，
又平面，平面，
所以，而，所以平面．
(Ⅲ)取中点，连接，．因为为的中点，
所以，且，由平面，
得平面．
所以是直线与平面所成的角．
在中，，，
所以．从而．
在中，，
即直线与平面所成角的正切值为．
【巩固练习】
1．下列说法中正确的是（ ）
①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直．
A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．②③④
2．设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（ ）
A．过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交
B．过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直
C．过a一定可作一个平面与b垂直
D．过a一定可作一个平面与b平行
3．已知平面、、，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，则
B．，，则
C．，，，则a⊥b
D．，，a⊥b，则b⊥
4．给出下列四个命题：
①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．④
5．已知平面与平面相交，直线m⊥，则（ ）
A．内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．内不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直
C．内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．内必存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直
6．以等腰直角△ABC斜边BC上的高为棱，把它折成直二面角，则此时两条直角边的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
8．如图，在四面体A—BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（ ）
A．1 B． C． D．2
9．平面平面，且，则和的位置关系是 ．
10．平面四边形，为平面外一点，则、、、中最多有
个直角三角形．
11．（2018 山东临沭县期末）将正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A—BC—C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形；③AB与CD所成的角90°；④二面角A—BC—D的平面正切值是
其中正确结论是________．（定出所有正确结论的序号）
12．已知平面⊥平面，且，在l上有两点A，B，线段，线段，并且AC⊥l，BD⊥l，AB=3，AC=6，BD=2，则CD的长为________。
13．（2018 房山区模拟）在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，AC⊥BC，D为AB的中点，M为PD的中点，N在棱BC上．
（1）当N为BC的中点时，证明：DN∥平面PAC；
（2）求证：PA⊥平面PBC．
14．如图，在正三棱柱中，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
15．（2017年 高邮市模拟）如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点。
（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；
（2）求证：A1B∥平面ADC1。
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 过直线a外一点P可作一平面与直线a垂直，平面内所有过P的直线均与垂直，从而④不正确．
2．【答案】D
【解析】 A不正确，若点P和直线a确定平面，当b∥时，满足条件的直线不存在；C不正确，只有a、b垂直时才能作出满足条件的平面．
3．【答案】B
【解析】 如图，A中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，
平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，而平面AA1B1B与平面A1D1D相交．
C中，平面AA1B1B∩平面AB1D1=D1B1，
平面AA1D1D∩平面AB1D1=AD1，
平面AA1B1B⊥平面AA1D1D，
而AB1与AD1不垂直；
D中，b不定在平面β内．
4．【答案】D
【解析】 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若，，则或，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对．
5．【答案】C
【解析】 若内存在直线n与m平行，则知，从而，但与相交却不一定垂直，又设，由知m⊥a，从而内必有直线与m垂直．
6．【答案】C
【解析】 如图，由题可知CD=BD=AD，∠BDC=90°，则 ，所以∠ABC=60°．
7．【答案】B
【解析】 BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．
8．【分析】利用线面垂直的性质得到AB⊥CD，结合CD⊥BC利用线面垂直的判定得到CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，可求AD。
【答案】C
【解析】∵AB⊥平面BCD，CD面BCD，∴AB⊥CD，
又CD⊥BC，∴CD⊥面ABC，∴CD⊥AC，
又AB=BC=CD=1，∴
∴。
故选C。
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用；要证线面垂直，只要证明线线垂直。
9．【答案】
【解析】 设，，，，又，．
10．【答案】4
【解析】连接，当这四条线段中有一条垂直于平面，且平面四边形是矩形时，这4个三角形都是直角三角形．
11．【答案】①②④
【解析】取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正确．
设折叠前正方形的边长为1，则，∴
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，
∴．
∴△ABC是等边三角形，故②正确．
取BC中点F，AC中点G，连结EF，EG，则EF∥CD，FG∥AB，
∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，在△EFG中，，，，
∴△EFG是等边三角形，∴∠EFG=60°，故③错误．
∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE为三面角A—BC—D的平面角．
∵AE⊥EF，∴，故④正确．
故答案为：①②④．
12．【分析】连接BC，得△ACB为直角三角形，BC=5，由BD⊥l，得BD⊥BC，由此以求出CD。
【答案】7
【解析】连接BC，∵AC⊥l，∴△ACB为直角三角形，
∴，
又∵BD⊥l，，，，
∴BD⊥，∴BD⊥BC。
在Rt△DBC中，。
故答案为：7
【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空想思维能力的培养，属于中档题。
13．【证明】（1）∵D为AB的中点，N为BC的中点，
∴DN∥AC，
∵DN平面PAC，AC平面PAC，
∴DN∥平面PAC．
（2）∵平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PA平面PAC，∴PA⊥BC，
∵PA⊥PC，PC∩BC=C，
∴PA⊥平面PBC．
14．证明：（1）如图，
正三棱柱，

又，平面，
平面．
（2）正三棱柱，
平面．
又平面，
是等边三角形，且是的中点，
又
平面
又平面
平面平面．
15．【分析】（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出。
（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证明A1B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得。
证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形，进而可得平面A1BD1∥平面ADC1，再利用线面平行的判定定理即可证得结论。
【证明】（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC。
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1。
因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1。
（2）（证法一）

连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点。
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B。
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1。
（证法二）
取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，则。
所以四边形BDC1D1是平行四边形，所以D1B∥C1D。
因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，
所以D1B∥平面ADC1。
同理可证A1D1∥平面ADC1。
因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1。
因为A1B平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1。
【点评】本题考查了线面垂直的和线面平行，充分理解其判定定理和性质定理是解决问题的关键。遇到中点添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形。