高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：20【提高】直线、平面垂直的性质

直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
（2）若于，，则。
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。
要点二、平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
要点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法。
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
要点三、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：

在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清．
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝．
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间．
【典型例题】
类型一：直线与平面垂直的性质
例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）。
（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；
（2）若a，b分别垂直于平面，，且，求证：AB∥c。
【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行。（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c。
证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇。
∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇。
又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，
∴AB⊥。
（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇。
又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面。
∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c。
∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面。
故c∥AB。
【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直。如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明。
举一反三：
【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若⊥m，m，则⊥ B．若⊥，∥m，则m⊥
C．若∥，m，则∥m D．若∥，m∥，则∥m
【答案】B
【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】
（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE?面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
举一反三：
【变式1】如图，三角形ABCD中，，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）求证：AC⊥平面EBC；
（3）求几何体ADEBC的体积V。
【答案】（1）（2）证明详见解析；（3）．
【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，
又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点
∴GM∥BE，且，
NF∥DA，且，
又∵ADEB为正方形 ∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN平面ABC，
∴GF∥平面ABC
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF∥AC，
又AC平面ABC，
∴GF∥平面ABC
（2）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE
（3）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，
∵C—ABED是四棱锥，
∴
类型二：平面与平面垂直的性质
例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
【解析】已知：，，，求证：。
证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA⊥，PB⊥，
∵，∴⊥PA，⊥PB。
∵PA，PB，PA∩PB=P，
∴。

证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，
∵，，∴，，∴m∥n。
又，∴m∥，∴m∥，∴。
证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使。
∵，且，∴。
同理，∴，即与m重合。
∴。
【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键。证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷。由此可见，我们必须熟练掌握这一推论。
举一反三：
【变式1】已知△ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，且满足AA1平面ABC，AA1=3a。如图所示，E是CC1上一点，且CE=2a，求二面角D—AE—C的正弦值。
【解析】 ∵AA1⊥平面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥平面ABC。
又CC1平面ACE，∴平面ACE⊥平面ABC。
作DH⊥AC于H，DH⊥平面AEC，作HF⊥AE于F，连接DF，
则DF⊥AE，∴∠DFH是二面角D—AE—C的平面角。
在Rt△ADC中，。
在Rt△ADE（易证得）中，。
在Rt△DHF中，。
∴二面角D—AE—C的正弦值为。
【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等。
类型三：综合应用
例4．（2017年 重庆模拟）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，，点G为AC的中点。

（1）求证：EG∥平面ABF；
（2）求三棱锥B—AEG的体积；
（3）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。
【思路点拨】（1）取AB中点M，连接MG，则EF∥MG，①即得证。
（2）转换三棱锥B—AEG为E—ABG即可求得体积。
（3）只要证明AE⊥CDE即可。
【答案】（1）略（2）（3）略
【证明】（1）证明：取AB中点M，连FM，GM。
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且，
又∵FE∥，
∴GM∥FE且GM=FE。
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM。
又∵EG平面ABF，FM平面ABF，
∴EG∥平面ABF。
（2）作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E—ABG的高
∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，
∴ △AEF是正三角形
∴ ∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴
∴ 三棱锥BAEG的体积为
（3）平面BAE⊥平面DCE，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴ CD⊥平面AFED，
∴ CD⊥AE
∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AEF=60°，
∴ ∠FAD=120°
又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，
由余弦定理，得
∴
∴ ED⊥AE
又∵ ED∩CD=D
∴ AE⊥平面DCE
又 AE面BAE
∴ 平面BAE⊥平面DCE
例5．如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：；
(Ⅲ)线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化。
【解析】
(Ⅰ)因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC，
又因为DE平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB．
(Ⅱ)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC．
所以DE⊥A1D．DE⊥CD．
所以DE⊥平面A1DC．
而A1F平面A1DC，
所以DE⊥A1F．
又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE．
所以A1F⊥BE．
(Ⅲ)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC．
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．
所以平面DEQ即为平面DEP．
由(Ⅱ)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C．
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP．
所以A1C⊥平面DEP．
从而A1C⊥平面DEQ．
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．
举一反三：
【变式1】 如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。
证明 ： （1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F。
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC。
又PA平面PAC，所以DF⊥PA。
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA。
又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，
所以PA⊥平面ABC。

（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）。
因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE。
又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE。
所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB。
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形。
【总结升华】 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的。因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的。
【变式2】（2018 哈尔滨模拟）如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P—ABCD的体积．
【答案】（1）略；（2）．
【证明】（1）AE⊥PD
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，
∴PA⊥AE
PA∩AD=A，且PA平面PAD，AD平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD平面PAD
∴AE⊥PD
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，
Rt⊥EAH中，，
当AH最短时，即AH⊥PD时，△AEH面积的最小
此时，．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．
【总结升华】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．
【变式3】如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）略（2）
【解析】
（I）取AB中点E，连结DE、SE，
∴ 四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
∵ 侧面为等边三角形
∴
又∵SD=1，，
∴为直角．
又∵，
∴ AB⊥平面SDE，
∴．
又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．
∴SD⊥平面SAB．
（II）作垂足为F，FG⊥BC，垂足为G，连结SG
∵ AB⊥平面SDE，
∴ 平面ABCD⊥平面SED．
∴ SF⊥平面ABCD，
∵
∴ ，
又 ∵FG⊥BC，
∴ BC⊥平面SFG，
∵
∴ 平面SBC⊥平面SFG．
作，H为垂足，则FH⊥平面SBC．
又∵在中， ，
在中，
∴ ，即F到平面SBC的距离为．
∵ ED//BC，
∴ ED//平面SBC，∴ E到平面SBC的距离d也是．
设AB与平面SBC所成的角为α，则．
【巩固练习】
1．下列说法中正确的是（ ）
①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直．
A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．②③④
2．设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（ ）
A．过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交
B．过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直
C．过a一定可作一个平面与b垂直
D．过a一定可作一个平面与b平行
3．已知平面、、，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，则
B．，，则
C．，，，则a⊥b
D．，，a⊥b，则b⊥
4．给出下列四个命题：
①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．④
5．（2017年 安徽合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（ ）
A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点
D．过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
6．以等腰直角△ABC斜边BC上的高为棱，把它折成直二面角，则此时两条直角边的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（2018 甘肃天水期末）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A＇—BCD，使平面A＇BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）
A．A＇C⊥BD
B．∠BA＇C=90°
C．CA＇与平面A＇BD所成的角为30°
D．四面体A＇—BCD的体积为
8．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面与不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
9．平面平面，且，则和的位置关系是 ．
10．在空间四边形中，、都是边长为1的正三角形，且平面平面．为空间各边上的中点，则四边形的面积是 ．
11．（2017春 上海期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=________．
12．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是________．

13．（2018 陕西模拟）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
14．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．
（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B—CDF的体积．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 过直线a外一点P可作一平面与直线a垂直，平面内所有过P的直线均与垂直，从而④不正确．
2．【答案】D
【解析】 A不正确，若点P和直线a确定平面，当b∥时，满足条件的直线不存在；C不正确，只有a、b垂直时才能作出满足条件的平面．
3．【答案】B
【解析】 如图，A中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，
平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，而平面AA1B1B与平面A1D1D相交．
C中，平面AA1B1B∩平面AB1D1=D1B1，
平面AA1D1D∩平面AB1D1=AD1，
平面AA1B1B⊥平面AA1D1D，
而AB1与AD1不垂直；
D中，b不定在平面β内．
4．【答案】D
【解析】 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若，，则或，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对．
5．【分析】设AC∩BD=O，由ABCD是正方形，得O是AC中点，从而OM∥PC，由此得到M是PA中点；设N为PB的中点，连结AN，则AN与PB不一定垂直，从而得到N不一定是PB中点；由已知得PA=AC，PD=DC，从而H为PC的中点；由AD∥BC，得到l∥AD∥BC．
【答案】B
【解析】设AC∩BD=O，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC，
∴M是PA中点，故A正确；
设N为PB的中点，连接AN，
∵PA与AB不一定相等，∴AN与PB不一定垂直，
∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB的中点，故B错误；
∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，
∴PA=AC，PD=DC，
∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确；
∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，
∴l∥AD∥BC，故D正确．
故选：B．
6．【答案】C
【解析】 如图，由题可知CD=BD=AD，∠BDC=90°，则 ，所以∠ABC=60°．
7．【答案】B
【解析】若A成立可得BD⊥A＇D，产生矛盾，故A不正确；
由题设知：△BA＇D为等腰Rt△，CD⊥平面A＇BD，得BA＇⊥平面A＇CD，于是B正确；
由CA＇与平面A＇BD所成的角为∠CA＇D=45°知C不正确；
，D不正确．
故选B．
8．【答案】D
【解析】 ①没有强调一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以①错；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②正确；③垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③错；④根据两个平面垂直的性质定理易知④正确．故选D．
9．【答案】
【解析】设，，，，又，．
10．【答案】
【解析】画出空间四边形，由题意知，四边形是矩形，其中一边长是，一边长是，所以矩形的面积是．
11．【分析】设AB=AC=1，则，由已知条件推导出△ABC是正三角形，由此能求出结果．
【答案】60°
【解析】设AB=AC=1，则，
∵BD⊥平面ADC，CD平面ADC，
∴BD⊥CD，
∵△BDC是等腰直角三角形，
∴，
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°．
故答案为：60°．
12．【答案】
【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，
∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF．
∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK．
容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．
所以t的取值范围是．
13．【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点．
∴EF∥PC，又EF不包含于平面PAC，
而PC平面PAC，∴EF∥平面PAC
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF平面PAB，
∴AF⊥BE，
又PA=PB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BEPBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE平面PBE，∴AF⊥PE．
∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
14．【分析】（1）由已知条件，利用直线垂直于平面的判定定理，先推导出BD⊥平面APC，由此能够证明BD⊥FG．
（2）当G为EC中点时，FG∥平面PBD．根据题设条件，利用直线与平面平行的判定定理进行证明．
（3）三棱锥B—CDF的体积等于三棱锥F—BCD的体积，利用等积法能求出结果．
【答案】（1）略（2）略（3）
【证明】（1）证明：∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD、AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD．
∴BD⊥平面APC，
∵FG平面PAC，∴BD⊥FG
（2）当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD．
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE
而FG平面PBD，PB平面PBD，
故FG∥平面PBD．
（3）连结FE，FD，
∵F是PC中点，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴FE∥PA，且，
∵PD⊥面ABCD，∴FE⊥面BCD，
∵，
∴三棱锥B—CDF的体积．