高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：21【基础】直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率
【学习目标】
1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；
2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；
3.已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；
4.掌握经过两点和的直线的斜率公式：()；
5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.
【要点梳理】
要点一、直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
要点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
要点二、直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
要点诠释：
(1)当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；
(2)直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
2．直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
要点三、斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.
要点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由、点的坐标求的值；
(2)已知及中的三个量可求第四个量；
(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；
(4)证明三点共线.
要点四、两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.
因此，若，则.
反之，若，则.
要点诠释：
1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.
要点五、两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为.若，则.
要点诠释：
1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
【典型例题】
类型一：直线的倾斜角与斜率
例1．设直线与x轴的交点为P，且倾斜角为，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为+45°，则（ ）
A．0°≤＜90° B．0°≤＜135° C．0°＜≤135° D．0°＜＜135°
【答案】D
【解析】 ∵，+45°均为倾斜角，
∴，∴0°≤＜135°．
又∵直线与x轴相交，∴≠0°．故选D．
【总结升华】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
例2．下列说法正确的是________．
①若两直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合；
②若一直线的倾斜角为150°，则此直线关于y轴的对称直线的倾斜角为30°；
③若，2，3分别为三条直线的倾斜角，则不大于60°；
④若倾斜角=90°，则此直线与坐标轴垂直．
【答案】 ①②
【解析】 若倾斜角相等，则两直线平行或重合，故①正确；若两直线关于y轴对称，则其倾斜角互补，故②正确；当=60°时，3=180°，故③错误；若=90°，则直线与x轴垂直．故④错误．
【总结升华】本题考查直线的倾斜角定义中的条件及倾斜角的取值范围．理解倾斜角的定义是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】 下图中各标注的直线的倾斜角是否正确？为什么？

【答案】（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）不正确
【解析】题图（1）中的角的一边取的是x轴的负方向，因此标注不正确；
题图（2）中的角的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；
题图（3）中的角的两边分别取的是x轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确，但是它的大小等于直线的倾斜角．
题图（4）中的角是x轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确．
例3．如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．
【答案】 k2=
【解析】由图形可知，，则k1，k2可求．
直线的斜率．
∵直线的倾斜角=90°+30°=120°，∴直线的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=．
【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线与的倾斜角之间的关系是解题的关键．
（2）公式tan(180°－)=－tan是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．
举一反三：
【变式1】（2016 山西曲沃县模拟）过两点A（3―m―m2，―2m），B（m2+2，3―m2）的直线的倾斜角为135°，求m的值．
【答案】m=―2
【解析】依题意可得：直线的斜率为―1
又直线过两点A（3―m―m2，―2m），B（m2+2，3―m2）
即：
整理的可求得m=―2或m=―1
经检验m=―1不合题意，故m=―2．
类型二：过两点的直线斜率公式的应用
例3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
（1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；（3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3，）．
【答案】（1）（2）0（3）（4）不存在
【解析】 当倾斜角=90°时，斜率不存在；当≠90°时，．
（1）；（2）；（3）；（4）∵倾斜角=90°，∴k不存在．
【总结升华】 应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．
举一反三：
【变式1】 直线过点A（1，2），B（m，3），求的斜率．
【答案】不存在或
【解析】若m=1，此时的倾斜角为，显然直线斜率不存在，；
若m≠1，则直线斜率存在，设此时斜率为k，倾斜角为，．
例4．已知A（a，2），B（5，1），C（―4，2a）三点在同一条直线上，求a的值．
【答案】2 或
【解析】 ∵A，B，C三点共线，
∴kAB=kBC，∴，解得a=2或．
故所求的a的值为2或．
【总结升华】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如kAB=kAC）．
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
举一反三：
【变式1】已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．
【答案】在同一直线上
【解析】由题意可知直线AB的斜率，直线BC的斜率．因为kAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B，所以A，B，C三点在同一直线上．
例5．（2015春 三明月考）已知两点A（―3，4），B（3，2），过点C（2，―1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，求出满足条件的直线l斜率k的取值范围．
【答案】k≤－1或k≥3．
【解析】如图所示，
∵A（―3，4），B（3，2），C（2，―1），
∴，
；
要使过点C的直线L与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥3．
【总结升华】本题考查了已知两点的坐标求直线斜率的应用问题，也考查了数形结合的应用问题．
举一反三：
【变式1】 已知直线过点且与线段相交，设，则直线的斜率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】画出图形，数形结合
类型三：两条直线平行的条件
例6．已知经过A（―3，3），B（―8，6），经过，，求证：．
【解析】 直线的斜率为，
直线的斜率为，
∵k1=k2，∴．
【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）．
判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．
举一反三：
【变式1】 判断下列各小题中的直线与是否平行．
（1）经过点A（―1，―2），B（2，1），经过点M（3，4），N（―1，―1）；
（2）的斜率为1，经过点A（1，1），B（2，2）；
（3）经过点A（0，1），B（1，0），经过点M（―1，3），N（2，0）
（4）经过点A（―3，2），B（―3，10），经过点M（5，―2），N（5，5）．
【解析】 （1），，∵k1≠k2，∴与不平行．
（2）k1=1，，
∵k1=k2，∴∥或与重合．
（3），，
∵k1=k2，∴∥．
（4）∵与都与x轴垂直，∴∥．
【总结升华】 k1=k2∥是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．
例7．已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求顶点D的坐标．
【答案】 （3，4）
【解析】 解法1：设D（m，n），线段AC的中点为E（2，2），所以线段BD的中点为E（2，2），则
，解得m=3，n=4，所以D（3，4）．
解法2：设D（m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB=kDC，kAD=kBC，
所以，解得m=3，n=4，所以D（3，4）．
【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．
类型四：两条直线垂直的条件
例8．判断下列各题中与是否垂直．
（1）经过点A（―1，―2），B（1，2），经过点M（―2，―1），N（2，1）；
（2）的斜率为―10，经过点A（10，2），B（20，3）；
（3）经过点A（3，4），B（3，10），经过点M（－10，40），N（10，40）．
【解析】 求出斜率，利用⊥k1k2=－1进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况．
（1），，k1k2=1，
∴与不垂直；
（2）k1=－10，，k1k2=－1，∴⊥；
（3）的倾斜角为90°，则⊥x轴；，则∥x轴，∴⊥．
【总结升华】 判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于―1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两条直线也垂直．
例9．已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标．
【答案】（1，0）或（2，0）
【解析】 本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有kAC·kBC=―1．列出方程，求解即可．
以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥CB．设C（x，0），MJ ，．∴，去分母解得x=1或2．
∴C（1，0）或C（2，0）．
【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．
本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．
本例中，当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．
举一反三：
【变式1】（2015春 海淀区期末）已知点A（a，a）（a≠0），B（1，0），O为坐标原点．若点C在直线OA上，且BC与OA垂直，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】设C（x，y），利用点C在直线OA上，且BC与OA垂直得到关于x，y的方程组解之．
【答案】D
【解析】设C（x，y），因为点C在直线OA上，且BC与OA垂直，
所以，解得；
故选：D
【巩固练习】
1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）
A．（4，2）与（―4，1） B．（0，3）与（3，0）
C．（3，―1）与（2，―1） D．（―2，2）与（―2，5）
2．过点P（－2，m），Q（m，4）的直线的斜率为1，则m的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．如图，若图中直线的斜率分别为k1， k2， k3，则( )
A.k1C.k34．若直线，的倾斜角分别为，，且⊥，则（ ）
A． B． C． D．
5．直线与直线互相垂直，那么a的值为（ ）
A．1 B． C． D．―2
6．（2015春 黄冈期末）已知直线：x+2ay―1=0，与：(2a―1)x―ay－1=0平行，则a的值是（ ）
A．0或1 B．1或 C．0或 D．
7．已知点A（―1，3），B（3，1），点C在x轴上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数，且，则，，的大小关系为( )
A． B．
C． D．
9．已知点M（2m+3，m），N（m－2，1），当m∈________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为钝角．
10．已知三点A（2，―3），B（4，3），在同一条直线上，则k=________．
11．直线与直线互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则 的最小值为________．
12．（2016 湖南衡阳模拟）过A（m，1）与B（―1，m）的直线与过点P（1，2），Q（―5，0）的直线垂直，则m=________．
13．（2016 浙江金华模拟）如果三条直线mx+y+3=0，x―y―2=0，2x―y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m的值．
14．（2015春 淮安期中）直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（－2，3），B（3，2），求实数a的取值范围．
15．已知△ABC的三个顶点坐标为A（2，4），B（1，―2），C（―2，3），求BC边上的高AD所在直线的斜率．
【答案与解析】
1．【答案】 D
【解析】 选项D中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，因此直线的斜率不存在．
2．【答案】A
【解析】 由斜率公式可求得m=1．
3．【答案】B
【解析】设直线的倾斜角分别为，则，根据正切函数的图像可得.
4．【答案】 D
【解析】 方法一：特殊值法，令，．
方法二：如图，可得， ①
， ②
②－①，得．若与变换位置，则有．
5．【答案】D
【解析】 ∵两直线垂直，∴，∴a=―2．
6．【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由，解得a的值．
【答案】
【解析】当a=0时，两直线的斜率都不存在，
它们的方程分别是x=1，x=－1，显然两直线是平行的．
当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由，解得：．
综上，a=0或，
故选：C．
【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．
7．【答案】 B
【解析】 设C（x，0），则有，即3+(x―3)·(x+1)=0．整理，得x2―2x=0，∴x=0或x=2．
8．【答案】Ｂ
【解析】该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径，经仔细分析发现，其结构具务的特点，由此联想到利用斜率进行求解．
作出函数的大致图象．
由图可知，曲线上各点与原点连线的斜率随的增大而减小．因为，所以．故选Ｂ．
9．【答案】（－∞，－5）∪（1，+∞） （―5，1）
【解析】 ，若直线MN的倾斜角为锐角，则，有或．解得m＜－5或m＞1．其他同理可得．
10．【答案】12
【解析】 由kAB=kAC解方程可得．
11．【分析】由题意知，两直线的斜率之积等于－1，得到a、b的关系，代入的解析式变形后使用基本不等式，求得其最小值．
【答案】2
【解析】由题意得，∴ ，∴，
∴，当且仅当a=1或a=－1时，取等号，故的最小值为2，
故答案为2．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质，利用基本不等式求式子的最小值，注意检验最小值取得的条件是否具备．
12．【答案】―2
【解析】过点A（m，1）与B（―1，m）的直线的斜率，过点P（1，2），Q（―5，0）的直线的斜率为：．
因为两条直线垂直，所以，解得m=―2．
故答案为：―2．
13．【答案】―1或―2或
【解析】①mx+y+3=0与x―y―2=0平行时，m=―1，此时满足题意，所以m=―1；
②mx+y+3=0与2x―y+2=0平行时，m=―2，此时满足题意，所以m=―2；
③联立x―y―2=-，2x―y+2=0得，解得：，
即x―y―2=0与2x―y+2=0的交点坐标为（―4，―6），
根据题意所求直线过（―4，―6），
代入得，，
综上m的值是―1或―2或．
14．【分析】由题意得直线y=―mx―2过定点P（0，―2），作出图象求出边界直线的斜率，根据图象和条件求出实数m的取值范围．
【答案】
【解析】由题意得，直线mx+y+2=0化为y=―mx―2，
则直线y=―mx―2过定点P（0，―2），画出图象：
∴直线PA的斜率是，直线PB的斜率是，
∵直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，
∴直线mx+y+2=0在直线PA和直线PB之间，且直线PB按逆时针转动，直线PA按顺时针转动，
则实数m的取值范围是，
15．【答案】
【解析】由题意可知BC边所在直线的斜率为．因为AD⊥BC，所以，所以BC边上的高AD所在直线的斜率为．