高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：22【提高】直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率
【学习目标】
1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；
2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；
3.已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；
4.掌握经过两点和的直线的斜率公式：()；
5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.
【要点梳理】
要点一、直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
要点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
要点二、直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
要点诠释：
(1)当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；
(2)直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
2．直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
要点三、斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.
要点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由、点的坐标求的值；
(2)已知及中的三个量可求第四个量；
(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；
(4)证明三点共线.
要点四、两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.
因此，若，则.
反之，若，则.
要点诠释：
1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.
要点五、两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为.若，则.
要点诠释：
1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
【典型例题】
类型一：直线的倾斜角与斜率
例1．设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为（ ）
A．+45°
B．－135°
C．135°－
D．当0°≤＜180°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135°
【答案】D
【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当+45°∈[0°，180°），即当0°≤＜135°时，的倾斜角才是+45°，而当135°≤＜180°时，的倾斜角为－135°．故应选D．
【总结升华】（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
举一反三：
【变式1】 下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan
B．直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则sin＞0
D．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
【答案】D
【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系．
对于A，当=90°时，直线的斜率不存在，∴A错；对于B，虽然直线的斜率为tan，但只有当∈[0°，180°）时，才是此直线的倾斜角，∴B错；对于C，当直线平行于x轴时，=0°，而sin0°=0，∴C错．∴应选D．
例2．如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．
【答案】 k2=
【解析】由图形可知，，则k1，k2可求．
直线的斜率．
∵直线的倾斜角=90°+30°=120°，∴直线的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=．
【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线与的倾斜角之间的关系是解题的关键．
（2）公式tan(180°－)=－tan是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．
举一反三：
【变式1】直线的倾斜角的范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由直线，
所以直线的斜率为．
设直线的倾斜角为，则．
又因为，即，
所以．
类型二：过两点的直线斜率公式的应用
例3．（2018春 吉林延边州月考）若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，求a的值．
【答案】a=±2
【解析】∵A、B、C三点共线
∴直线AC、BC的斜率相等
∴
解之得：a=±2．
【总结升华】由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如kAB=kAC）．
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
举一反三：
【变式1】已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．
【答案】在同一直线上
【解析】由题意可知直线AB的斜率，直线BC的斜率．因为kAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B，所以A，B，C三点在同一直线上．
例4．已知直线经过点P（1，1），且与线段MN相交，又M（2，―3），N（―3，―2），求直线的斜率k的取值范围．
【答案】
【解析】 如图所示，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线．
当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到90°，而，
∴．
又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，由正切函数的性质知，k≤kPM=―4，∴k≤―4．
综上所述，．
【总结升华】直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．
一般地，若已知A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），过P点作垂直于x轴的直线，过P点的任一直线的斜率为k，则当与线段AB不相交时，k夹在kPA与kPB之间；当与线段AB相交时，k在kPA与kPB的两边．
举一反三：
【变式1】知直线过点，且与以为端点的线段相交，求直线斜率的取值范围.
【答案】
例5．已知实数x，y满足2x+y=8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
【答案】2
【解析】 如图所示，由已知，点P（x，y）在线段AB上运动，其中A（2，4），B（3，2），而，其几何意义为直线OP的斜率．
由图可知kOB≤kOP≤kOA，而，kOA=2．
故所求的的最大值为2，最小值为．
【总结升华】 利用斜率公式构造斜率，可以解决形如之类的代数问题．
利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写为的形式，从而联想其几何意义（即直线的斜率），再利用几何图形的形象直观来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】 已知函数（0≤x≤1）的图象如图，若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A． B．
C． D．前三个判断都不正确
【答案】 A
类型三：两条直线平行的条件
例6．已知经过A（―3，3），B（―8，6），经过，，求证：．
【解析】 直线的斜率为，
直线的斜率为，
∵k1=k2，∴．
【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）．
判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．
举一反三：
【变式1】已知直线：(k―3)x+(4―k)y+1=0与：2(k―3)x―2y+3=0平行，则k的值是________．
【思路点拨】考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可．
【答案】3或5．
【解析】当k=3时两条直线平行，
当k≠3时有 所以k=5
故答案为：3或5．
例7．已知平行四边形的三个顶点A（―2，1），B（―1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．
【思路点拨】若构成的平行四边形为，即AC为一条对角线，设，则由AC中点也是中点，利用线段的中点公式求得．同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形，即；以BC为对角线的平行四边形，则，综合可得结论．
【答案】（2，2），或（－6，0），或（4，6）．
【解析】若构成的平行四边形为，则AC为一条对角线，
设，则由AC中点也是中点，
可得，解得，∴ ．
同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形，则；以BC为对角线的平行四边形，则，
∴第四个顶点D的坐标为：（2，2），或（－6，0），或（4，6）．
【总结升华】本题主要考查线段的中点公式的应用，用待定系数法求点的坐标，体现了分类讨论的数学思想．
举一反三：
【变式1】若三条直线ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0能构成三角形，求a的取值范围。
【答案】a∈R ，a≠±1，且a≠－2。
【解析】三条直线不平行，且不过同一点。
类型四：两条直线垂直的条件
例8．已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标．
【答案】 （1，0）或（2，0）
【解析】 本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有kAC·kBC=―1．列出方程，求解即可．
以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥CB．设C（x，0），MJ ，．∴，去分母解得x=1或2．
∴C（1，0）或C（2，0）．
【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．
本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．
本例中，当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．
举一反三：
【变式1】若直线与直线互相垂直，则实数= ．
【答案】1
【解析】 因为直线与直线互相垂直，所以，所以．
【巩固练习】
1．过点P（－2，m），Q（m，4）的直线的斜率为1，则m的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
2．已知直线的倾斜角为，并且0°≤＜120°，直线的斜率k的范围是（ ）
A． B． C．k≥0或 D．k≥0或
3．如图，若图中直线的斜率分别为k1， k2， k3，则( )
A.k1C.k34．（2018 湖南长沙模拟）直线AB的斜率为2，其中点A（1，―1），点B在直线y=x+1上，则点B的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（5，7） C．（2，1） D．（2，3）
5．若直线，的倾斜角分别为，，且⊥，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2017春 松滋市月考）若直线：ax+2y+6=0与直线：垂直，则a=（ ）
A．2 B． C．1 D．―2
7. 直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
9．已知三点A（2，―3），B（4，3），在同一条直线上，则k=________．
10．若直线mx+4y―2=0与2x―5y+n=0互相垂直，垂足为（1，p），则m―n+p=________．
11．若直线经过点和且与经过点（-2，1），斜率为的直线垂直，则实数的值为________．
12. 已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为___________.
13．若过点P（1―a，1+a）和Q（3，2a）的直线PQ的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．
14．（2017秋 大庆月考）已知点A（2，―3），B（―3，―2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围．
15．（2018春 山东博山区模拟）已知A（1，―1），B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 由斜率公式可求得m=1．
2．【答案】 C
【解析】 通过画图可知或k≥0．故选C．
3．【答案】B
【解析】设直线的倾斜角分别为，则，根据正切函数的图像可得.
4．【答案】A
【解析】根据题意，点B在直线y=x+1上，设B的坐标为（x，x+1），
则直线AB的斜率，
解可得x=4，
即B的坐标为（4，5），
故选A．
5．【答案】 D
【解析】 方法一：特殊值法，令，．
方法二：如图，可得， ①
， ②
②－①，得．若与变换位置，则有．
6．【答案】B
【解析】直线：ax+2y+6=0，：，
且⊥，
∴a·1+2(a－1)=0；
解得：．
故选：B．
7. 【答案】D
【解析】 ，∴或．
8．【答案】C
【解析】 本题考查数列前n项和与平均值的关系．因为前年的年平均产量为，由斜率的几何意义知，点（）与原点（0,0）的斜率是，所以斜率最大则年平均产量最大，故选C．
9．【答案】12
【解析】 由kAB=kAC解方程可得．
10．【分析】由互相垂直可知，两直线斜率相乘为―1，由此可把m求出（易知m不为0），再把点P代入，可把p值求出，再把求出后的P点代入中 ，n也就求出了．
【答案】20
【解析】因为直线：mx+4y―2=0与：2x―5y+n=0互相垂直
则 m×2－4×5=0 解之得：m=10
又因 两直线垂足为P（1，p）
则 10+4p―2=0 解得：p=―2
将P（1，―2）代入直线：2x－5y+n=0
则2+5×2+n=0
解之得：n=―12
所以 m―n+p=10―(―12)+(―2)=20
故答案为：20
11．【答案】
【解析】由于直线l与经过点（-2，1）且斜率为的直线垂直，可知．
∵ ，
∴ ，∴ ．
12．【答案】
【解析】设点Q的坐标为，由题意，
解得
所以点Q的坐标为
13．【答案】（―2，1）
【解析】 因为直线PQ的倾斜角为钝角，所以直线PQ的斜率存在，且kPQ＜0，所以，即，所以－2＜a＜1，所以实数a的取值范围是（―2，1）．
14．【分析】画出图形，由题意得，所求直线l的斜率k满足或，用直线的斜率公式求出或的值，求出直线l的斜率k的取值范围．
【答案】或k≤－4．
【解析】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足或，

即，或，∴，或k≤－4，
即直线的斜率的取值范围是或k≤－4．
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多．可以移动一个点的坐标，变式出其他的题目．
15．【答案】（0，1）
【解析】设点D的坐标为（x，y），由已知得，直线AB的斜率kAB=3，
直线CD的斜率，直线CB的斜率kCB=―2，直线AD的斜率．
由CD⊥AB，且CB∥AD，得，
所以点D的坐标是（0，1）