高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：23【基础】直线的点斜式与两点式方程

直线的点斜式与两点式方程
【学习目标】
(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式；
(2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。
【要点梳理】
要点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
要点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为；
3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.
4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.
要点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
要点诠释：
1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
要点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
要点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
要点四：直线的截距式方程
若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.
要点诠释：
1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.
3．截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．
要点五：中点坐标公式
若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为(x，y)，则x=，y=，则此公式为线段的中点坐标公式．
要点六：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
【典型例题】
类型一：点斜式直线方程
例1．求满足下列条件的直线方程。
（1）过点P（－4，3），斜率k=－3；
（2）过点A（－1，4），倾斜角为135°；
（3）过点P（3，－4），且与x轴平行；
（4）过点P（5，－2），且与y轴平行．
【答案】（1）3x+y+9=0（2）x+y－3=0（3）y=－4（4）x=5
【解析】 （1）∵直线过点P（－4，3），斜率k=－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3=－3(x+4)，即3x+y+9=0．
（2）∵倾斜角为135°，∴k=tan 135°=－1，∴直线方程为y－4=－(x+1)，即x+y－3=0．
（3）与x轴平行的直线，其斜率k=0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)=0×(x－3)，即y=－4。
（4）与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x=5。
【总结升华】点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=x0．
举一反三：
【变式1】根据条件写出下列各题中的直线方程：
（1）经过点A（1，2），斜率为2；
（2）经过点B（―1，4），倾斜角为135°；
（3）经过点C（4，2），倾斜角为90°；
（4）经过点D（―3，―2），且与x轴平行。
【答案】（1）y―2=2(x―1)； （2）y―4=―(x+1)； （3）x=4； （4）y=―2
类型二：斜截式直线方程
例2．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？
【答案】y=2x+m m=―1
【解析】 由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m。
∵直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=2×1+m，∴m=―1即为所求。
【总结升华】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k和直线在y轴上的截距b。
（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k、b即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数k、x0、y0才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为k=2，则我们可设直线方程为y=2x+b，再根据其他条件来求b的值。这种以“退”为进的思想方法是我们数学中常用的思想方法。类似地，若知道直线在y轴上的截距为2，则可设直线方程为y=kx+2（直线斜率存在的情况下）。
（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。
举一反三：
【变式1】直线y=kx+b（k+b=0，k≠0）的图象是（ ）

【答案】B
【解析】因为k+b=0，所以直线一定过点（1，0），故C、D不满足题意舍去，又因为k=-b，所以直线的斜率和直线的截距互为相反数，故选B。
类型三：两点式直线方程
例3．三角形的顶点坐标分别为A（―5，0），B（3，―3），C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
【答案】3x+8y+15=0，5x+3y―6=0，2x―5y+10=0
【解析】 ∵直线AB过点A（―5，0），B（3，―3），∴由两点式得。
化简整理得3x+8y+15=0，这就是直线AB的方程。
同理可得直线BC的方程为5x+3y―6=0，直线AC的方程为2x―5y+10=0。
【总结升华】 已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程。
举一反三：
【变式1】（1）若直线经过点A（2，5），B（2，7），则直线的方程为________；
（2）若点P（3，m）在过点A（2，―1），B（―3，4）的直线上，则m的值为________．
【答案】（1）x=2 （2）―2
【解析】（1）因为两点的横坐标相等都是2，所以直线方程是x=2。
（2）因为直线过点A（2，―1），B（―3，4），所以直线方程是：，即，把点P（3，m）代入得，。
类型四：截距式直线方程
例4．一直线过点P（―5，―4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．
【思路点拨】设直线方程为，则，解得a、b的值，即得此直线的方程．
【答案】2x―5y―10=0或8x―5y+20=0．
【解析】设直线方程为，则，
解得 或 ，
∴直线方程为2x―5y―10=0或8x―5y+20=0．
【总结升华】如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
举一反三：
【变式1】 根据条件求下列各题中直线的截距式方程：
（1）在x轴上的截距为－3，在y轴上的截距为2；
（2）在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为－4．
【答案】（1）（2）
例5． 求过定点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【答案】x+y－5=0或3x－2y=0
【解析】 [错解] 设直线的两截距皆为a，则有 ， ①
即x+y=a，将点P（2，3）代入，得a=5．
∴所求的直线方程为 x+y=5．
[错因] 这种解法是有问题的，问题在于所设直线方程①不包括两截距都是零的情况．
[正解] 应增补两截距为零的情况．
当直线两截距都是零时，设直线方程为y=kx，
将P（2，3）代入得．
∴所求直线方程为，即3x－2y=0．
综上所述，所求直线方程为x+y－5=0或3x－2y=0．
【总结升华】 本例解法是一些学生解此题常出现的问题，究其根源，就是审题时，没能把题中“非零截距相等”和“零截距相等”的分类因素挖掘出来进行分类讨论，把“零截距”的情况丢掉了．由此可见，如果题目中出现“直线在两坐标轴上的截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上截距是在另一坐标轴上截距的m（m＞0）倍”等条件，采用截距式求直线方程时，要注意考虑“零截距”的情况．
一般地，在非零截距的情况下，可设．在零截距的情况下，由直线过原点可设y=kx．
举一反三：
【变式1】 已知直线过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．
【答案】x+y－5=0或x－y+1=0或3x－2y=0
【解析】当截距都为0时，设直线为，把点P（2，3）代入得：3x－2y=0
当截距都不为0时，设直线为，由直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，得，所以或，把点P（2，3）代入得x+y－5=0或x－y+1=0。
类型五：中点坐标公式
例6．（2018 舟山期末）已知直线l经过两条直线l1：3x+4y―2=0与l2：2x+y+2=0的交点P．
（1）求垂直于直线l3：x―2y－1=0的直线l的方程；
（2）求与坐标轴相交于两点，且以P为中点的直线方程．
【思路点拨】（1）联立方程组求出两直线的交点，再由直线垂直的条件求得直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案；
（2）设过点P（―2，2）的直线l与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B（0，b），由中点坐标公式求得a，b的值，得到A，B的坐标，求出AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【答案】（1）2x+y+2=0；（2）x―y+4=0．
【解析】（1）由，故P（―2，2），
∵l垂直于l3：x―2y―1=0，∴l的斜率为―2，
∴l的方程为y―2=―2（x+2），即：2x+y+2=0；
（2）设过点P（―2，2）的直线l与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B（0，b），
则由题意可知：P为A，B中点，
有：，则A（―4，0），B（0，4），
故l的斜率为，则l的方程为y―2=x+2，即：x―y+4=0．
【总结升华】（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题．
（2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用．
（3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等．
举一反三：
【变式1】（2017春 河北景县期中）已知点A（7，―4），B（―5，6），则线段AB垂直平分线方程是（ ）
A．6x―5y―1=0 B．5x+6y+1=0 C．6x+5y―1=0 D．5x―6y―1=0
【思路点拨】由题意可得AB的中点和AB斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．
【答案】A
【解析】由题意可得A（7，―4），B（―5，6）的中点为C（1，1），
直线AB的斜率，
∴线段AB垂直平分线的斜率为，
∴所求直线的方程为，即6x―5y―1=0
故选：A．
类型六：直线方程的综合应用
例7．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），分别求BC边上的高和中线所在的直线方程．
【答案】3x－5y+15=0 x+13y+5=0
【解析】 BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方程．
设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴，∴，解得，
∴BC边上的高所在的直线方程是，即3x－5y+15=0．
设BC的中点是M，则，
∴BC边上的中线所在直线方程是，即x+13y+5=0．
∴BC边上的高所在的直线方程是3x－5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．
【总结升华】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．
举一反三：
【变式1】 已知倾斜角为45°的直线过点A（1，－2）和点B，B在第一象限，，求点B的坐标．
【答案】（4，1）
【解析】设B点坐标为，直线的方程为：，因为B在直线上，且，所以，解之得：或（舍去），所以B点坐标为（4，1）。

【巩固练习】
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．经过点（－3，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2017春 广西贵港期中）已知点A（1，1），B（3，5），若点C（―2，y）在直线AB上，则y的值是（ ）
A．―5 B．2.5 C．5 D．―2.5
4．直线在轴上的截距是( )
A. B. C. D.
5．下列四个命题中的真命题是（ ）．
A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y―y0=k(x―x0)表示
B．经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过定点A（0，b）的直线都可必用方程y=kx+b表示
6．直线(a－1)y=(3a+2)x－1不通过第二象限，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞1 B．a＜0或a≥1 C．－1＜a＜2 D．a≥1
7．若直线与直线，分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，-1），则直线的斜率为( )．
A． B． C． D．
8．斜率与直线的斜率相等，且过点（－4，3）的直线的点斜式方程是________．
9．（2018春 宣城月考）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．
10．（2017秋 南充月考）将直线y=x－1绕它上面一点（1，0）沿逆时针方向旋转15°，则所得直线方程为________．
11．如下图，若A（2，2）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）三点共线，则的值等于________．
12．已知三角形的三个顶点分别为A（6，－7），B（－2，3），C（2，1），求AC边上的中线所在的直线方程．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的斜率为2．
（1）若直线l过点A（―2，1），求直线l的方程；
（2）若直线l在x轴、y轴上的截距之和为3，求直线l的方程．
14．（2018 宁德月考）已知点A（1，），B（3，2），C（1，1）．
（1）求过点C与直线AB平行的直线方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与x，y轴分别交于点M，N，求△OMN的面积．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】因为，所以，所以．
2．【答案】C
【解析】=60°，∴，．
3．【答案】A
【解析】点A（1，1），B（3，5），直线AB的方程为：，
即2x―y―1=0，点C（―2，y）在直线AB上，
看―4―y―1=0，解得y=―5．
故选：A
4．【答案】B
【解析】令则
5．【答案】B
【解析】A、D中k不存在的直线不能表示，C中平行于坐标轴的直线不能表示．
6．【答案】D
【解析】截距均不为零时，由原式可得，依题意且；若直线垂直于x轴，即a=1时，方程为，不通过第二象限，∴a≥1．
7．【答案】B
【解析】由直线与直线分别交于点P、Q，可设，，再由线段PQ的中点坐标为，可解得：，．即直线上有两点，，代入斜率公式可解得直线的斜率为．故选B．
8．【答案】
【解析】所求直线的斜率为，又所求直线过点（－4，3），由直线方程的点斜式可得．
9．【答案】或
【解析】与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为：
，或，
∴y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：
或．
故答案为：或．
10．【分析】由直线y=x－1，可得倾斜角45°．直线y=x－1绕它上面一点（1，0）沿逆时针方向旋转15°，可得旋转后的直线倾斜角为60°，其斜率=tan60°，即可得出．
【答案】
【解析】由直线y=x－1可得：直线的斜率k=1，设倾斜角为，则，解得．
直线y=x－1绕它上面一点（1，0）沿逆时针方向旋转15°，可得旋转后的直线倾斜角为60°，其斜率=tan60°=．
因此所得直线方程为：，化为，
故答案为：．
11．【答案】
【解析】由题设可知，设直线的截距式方程易于解题．
设直线BC的方程为．
∵A（2，2）在直线BC上，∴，即．
12．【答案】x+y－1=0
【解析】设AC的中点为M（x，y），则，，即M（4，－3）．
由于直线BM过B（－2，3），M（4，－3）两点，
∴直线方程的两点式为，化简，得x+y－1=0．
∴AC边上的中线所在的直线方程为x+y－1=0．
13．【分析】（1）写出直线的点斜式方程，化一般式方程；
（2）设直线方程为y=2x+b，分别求出其在x轴与y轴上的截距，根据截距之和为3，求得b．
【解析】（1）由题意，直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y―1=2(x+2)，
即2x―y+5=0．
（2）由题意，直线l的斜率为2，设直线l的方程为y=2x+b．令x=0，得y=b；
令y=0，得．
由题知，解得b=6．
所以直线l的方程为y=2x+6，即2x―y+6=0．
14．【答案】（1）x+y―2=0；（2）
【解析】（1）∵A（1，4）、B（3，2），
∴直线AB的斜率．
∴过点C与直线AB平行的直线方程为y―1=―（x―1），
即x+y―2=0．
（2）∵A（1，4）、B（3，2），
∴AB的中点坐标为（2，3）．
又线段AB的垂直平分线的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为：y―3=1·（x―2）
即x―y+1=0．
∵M（－1，0），N（1，0），
∴．