高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：24【提高】直线的点斜式与两点式方程

直线的点斜式与两点式方程
【学习目标】
(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式；
(2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。
【要点梳理】
要点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
要点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为；
3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.
4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.
要点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
要点诠释：
1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
要点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
要点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
要点四：直线的截距式方程
若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.
要点诠释：
1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.
要点五：中点坐标公式
若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为(x，y)，则x=，y=，则此公式为线段的中点坐标公式．
要点六：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
【典型例题】
类型一：点斜式直线方程
例1．已知直线过点（1，0），且与直线的夹角为30°，求直线的方程。
【答案】x=1或
【解析】 ∵直线的斜率为，∴其倾斜角为，且过点（1，0）。
又直线与直线的夹角为30°，且过点（1，0），由下图可知，直线的倾斜角为30°或90°。
故直线的方程为x=1或。
【总结升华】（1）由于直线过点（1，0），因此求直线的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了（或者能够求出）直线上的一点的坐标和其斜率。
（2）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标。
（3）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程y―y0=k(x―x0)可知该直线过定点P（x0，y0）且斜率为k。
举一反三：
【变式1】（1）直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线，求直线的点斜式方程；
（2）直线过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程．
【答案】（1）x+y－7=0（2）x=2
【解析】（1）直线y=x+1的斜率k=1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k＇=tan135°=－1．
又点P（3，4）在直线上，由点斜式方程知，直线的方程为y－4=－(x－3)，即x+y－7=0．
（2）直线MN的斜率，所以该直线平行于x轴．
又直线垂直于直线MN，因此直线的倾斜角为90°，又直线过点P（2，－3），所以直线的方程为x－2=0，即x=2．
【总结升华】用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．
【变式2】 直线过点P（－l，2），斜率为，把绕点P按顺时针方向旋转30°得直线，求直线和的方程．
【答案】
【解析】 的方程可以由点斜式直接写出，经过点P，因此，关键是求出k2，利用数形结合的方法，找出的倾斜角是关键
直线的方程是．
∵，∴．
如图，绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线的倾斜角为，∴，∴的方程为．
【总结升华】 本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜角之间的关系，再利用的斜率已知，从而求出它的倾斜角，进而求出的倾斜角、斜率．因此我们要善于利用数形结合的方法来分析条件之间的关系，从而找到解题的切入点．
类型二：斜截式直线方程
例2．（1）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
（2）求过点A（6，－4），斜率为的直线方程的斜截式；
（3）已知直线方程为2x+y－1=0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．
【答案】（1）y=－x－2（2）（3）k=－2，b=1，（0，1）
【解析】 （1）易知k=－1，b=－2，
由直线方程的斜截式知，
所求直线方程为y=－x－2．
（2）由于直线的斜率，且过点A（6，－4），
根据直线方程的点斜式得直线方程为，
化为斜截式为．
（3）直线方程2x+y－1=0，可化为y=－2x+1，
由直线方程的斜截式知，
直线的斜率k=－2，在y轴上的截距b=1，
直线与y轴交点的坐标为（0，1）。
【总结升华】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k和直线在y轴上的截距b。
（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k、b即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数k、x0、y0才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为k=2，则我们可设直线方程为y=2x+b，再根据其他条件来求b的值。这种以“退”为进的思想方法是我们数学中常用的思想方法。类似地，若知道直线在y轴上的截距为2，则可设直线方程为y=kx+2（直线斜率存在的情况下）。
（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。
举一反三：
【变式1】(1)写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程；
（2）写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？
【答案】（1）（2）y=2x+m m=―1
【解析】 （1）
（2）由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m。
∵直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=2×1+m，∴m=―1即为所求。
类型三：两点式直线方程
例3．已知△ABC三个顶点坐标A（2，－1），B（2，2），C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程．
【答案】x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0
【解析】 ∵A（2，－1），B（2，2），A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2。
∵A（2，－1），C（4，1），由直线方程的两点式可得AC的方程为，即x―y―3=0。
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为
，即x+2y－6=0。
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为
x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0。
【总结升华】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程。在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程。
举一反三：
【变式1】 （1）求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程；
（2）直线过（－1，－1）、（2，5）两点，点（1002，b）在上，则b的值为________．
【答案】（1） （2）2005
【解析】（1）由两点式的直线方程得：
（2）直线的方程为，
即，
即y=2x+1．
令x=1002，得y=2005，
∴b=2005．
【总结升华】先求出的方程，然后代入点（1002，b）的坐标求出b．
类型四：截距式直线方程
例4．（2018春 随州期末）设直线l的方程为（a+1）x+y+2―a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用l在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．
（2）把直线l的方程可化为y=―（a+1）x+a―2，由题意得，解不等式组求得a的范围．
【答案】（1）3x+y=0或x+y+2=0；（2）（－∞，－1]．
【解析】（1）令x=0，得y=a―2．令y=0，得．
∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．
（2）直线l的方程可化为y=―（a+1）x+a―2，∵l不过第二象限，
∴，∴a≤－1，∴a的取值范围为（－∞，－1]．
【总结升华】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素．
举一反三：
【变式1】已知直线l经过点A（―5，2），且直线l在x轴的截距等于在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
【思路点拨】当直线过原点时，易得直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为，待定系数可得．
【答案】2x+5y=0或x+2y+1=0
【解析】当直线过原点时，直线方程为，即2x+5y=0；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点A（―5，2）代入可得，解得，
∴所求直线的方程为―x―2y=1，即x+2y+1=0，
∴直线l的方程为：2x+5y=0或x+2y+1=0
【变式2】求过点（4，―3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。
【答案】x+y=1 x―y=7 3x+4y=0
【解析】 解法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b。
（1）当a≠0，b≠0时，设的方程为。
∵点（4，－3）在直线上，
∴。
若a=b，则a=b=1，直线方程为x+y=1。
若a=―b，则a=7，b=―7，此时直线方程为x―y=7。
（2）当a=b=0时，直线过原点，且过点（4，―3），
∴直线的方程为3x+4y=0。
综上知，所求直线方程为x+y―1=0或x―y―7=0或3x+4y=0。
解法二：设直线的方程为y+3=k(x―4)，
令x=0，得y=―4k―3；
令y=0，得。
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等。
∴，
解得k=1或k=－1或。
∴所求的直线方程为x―y―7=0或x+y―1=0或3x+4y=0。
【总结升华】（1）一般来说直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则有三种情况：截距相等，斜率为－1；截距互为相反数，斜率等于1；直线过原点。
（2）灵活地运用直线方程的不同形式，可获得较简捷的解题途径，本题的两种方法各有优劣，请在学习中体会。
类型五：中点坐标公式
例5．△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（―2，6）、C（―8，0）
（1）求边AC和AB所在直线的方程
（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
【思路点拨】（1）由于A、C两点分别在y轴和x轴，由直线方程的截距式列式，化简可得AC所在直线的方程；再由A、B的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AB所在直线的方程；
（2）利用线段中点坐标公式，算出AC的中点D坐标为（―4，2），利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC上的中线BD所在直线的方程．
【答案】（1）边AC所在直线的方程为x―2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y―4=0；（2）2x―y+10=0
【解析】（1）∵A（0，4），C（－8，0），
∴直线AC的截距式方程得：，化简得x－2y+8=0
∵B（－2，6），A（0，4）
∴由直线的两点式方程，得AB方程为，即x+y―4=0
综上所述，边AC所在直线的方程为x―2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y―4=0
（2）设点D（x，y），由线段的中点坐标公式，
可得，
∴AC的中点D坐标为（―4，2）
再由直线的两点式方程，得BD所在直线的方程为，
化简得2x―y+10=0，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
【总结升华】本题给出三角形的三个顶点，求它的边AB、AC所在直线方程并求中线所在直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式的知识．
举一反三：
【变式1】已知三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求AC边上中线所在直线的方程．
【答案】8x+11y+9=0
【解析】线段的中点坐标为，所以AC边上中线所在直线的方程为：，整理得：8x+11y+9=0
类型六：直线方程的综合应用
例6．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），分别求BC边上的高和中线所在的直线方程．
【答案】3x－5y+15=0 x+13y+5=0
【解析】 BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方程．
设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴，∴，解得，
∴BC边上的高所在的直线方程是，即3x－5y+15=0．
设BC的中点是M，则，
∴BC边上的中线所在直线方程是，即x+13y+5=0．
∴BC边上的高所在的直线方程是3x－5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．
【总结升华】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．
举一反三：
【变式1】下列四个命题中真命题是( )
（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；
（B）经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；
（C）不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示；
（D）经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示.
【答案】（B）
【变式2】 已知倾斜角为45°的直线过点A（1，－2）和点B，B在第一象限，，求点B的坐标．
【答案】（4，1）
【解析】设B点坐标为，直线的方程为：，因为B在直线上，且，所以，解之得：或（舍去），所以B点坐标为（4，1）。

【巩固练习】
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角和所过的定点分别为（ ）．
A．60°，（1，2） B．120°，（－l，2）
C．60°，（－1，2） D．120°，（－1，－2）
3．已知直线的斜率是，若点，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．7
4．直线y=mx－3m+2（m∈R）必过定点（ ）．
A．（3，2） B．（－3，2） C．（－3，－2） D．（3，－2）
5．直线(a－1)y=(3a+2)x－1不通过第二象限，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞1 B．a＜0或a≥1 C．－1＜a＜2 D．a≥1
6．过点P（―4，1）且与直线3x―4y+6=0垂直的直线方程是（ ）
A．4x―3y―19=0 B．4x+3y+13=0 C．3x―4y―16=0 D．3x+4y―8=0
7．若直线与直线，分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，-1），则直线的斜率为( )．
A． B． C． D．
8．（2018春 江苏无锡期末）直线l经过点（0，1）且倾斜角的余弦值为，则直线l的斜截式方程为________．
9．轴上一点与点所在直线的倾斜角为，则点的坐标为 ．
10．已知直线，则过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30°的直线方程为________．
11．如果直线沿轴负方向平移3个单位，接着再沿轴正方向平移1个单位后又回到原来的位置，则直线的斜率为 ．
12．△ABC的三个顶点为A（―3，0），B（2，1），C（―2，3），求：
（1）BC所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．
13．已知直线在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．
14．（2018春 泰兴市月考）在△ABC中，已知点A（5，―2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．求：
（1）点C的坐标；
（2）直线MN的方程；
（3）直线AB与两坐标轴围成三角形的面积．
15．有一个设有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量）y（升）之间的关系如下图所示，若40分钟后只出水不进水，求y与x的函数关系式．
【答案与解析】
【答案】D
【解析】
2．【答案】B
【解析】由直线的点斜式方程可知：该直线的斜率为，其倾斜角为120°，过定点（－1，2）．
3．【答案】B
【解析】
4．【答案】A
【解析】直线方程y=mx－3m+2化为点斜式为y－2=m(x－3)，所以必过定点（3，2）．
5．【答案】D
【解析】截距均不为零时，由原式可得，依题意且；若直线垂直于x轴，即a=1时，方程为，不通过第二象限，∴a≥1．
6．【答案】B
【解析】直线3x―4y+6=0的斜率为：．
过点P（―4，1）且与直线3x―4y+6=0垂直的直线的斜率为：，
有点斜式方程可得：．即4x+3y+13=0
过点P（―4，1）且与直线3x―4y+6=0垂直的直线方程是4x+3y+13=0．
故选：B．
7．【答案】B
【解析】由直线与直线分别交于点P、Q，可设，，再由线段PQ的中点坐标为，可解得：，．即直线上有两点，，代入斜率公式可解得直线的斜率为．故选B．
8．【答案】
【解析】直线倾斜角的余弦值为，倾斜角为α，所以，
∵直线l经过点（0，1），
∴所求直线方程为：，即．
故答案为：．
9．【答案】（0，）
10．【分析】当所求直线斜率存在时，直线，过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30°的直线的斜率k满足，解出k，利用点斜式即可得出．
当所求直线斜率不存在时，直线x=2也满足条件．
【答案】x=2或
【解析】当所求直线斜率存在时，直线，过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30°的直线的斜率k满足．
解得．此时直线的方程为：，化为．
当所求直线斜率不存在时，直线x=2也满足条件．
综上可得：直线方程为x=2或．
故答案为：x=2或．
11．【答案】
【解析】设为直线上一点，根据题意，点沿轴负方向平移3个单位，接着再沿轴正方向平移1个单位后仍应在直线上，即点在直线上．所以直线的斜率为．
12．【分析】（1）利用B和C的坐标直接求出直线方程即可；（2）根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标写出中线方程即可；（3）求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为―1，求出BC垂直平分线的斜率，由（2）中D的坐标，写出直线DE的方程即可．
【解析】（1）因为直线BC经过B（2，1）和C（―2，3）两点，由两点式得BC的方程为
，即x+2y―4=0．
（2）设BC中点D的坐标为（x，y），则，．
BC边的中线AD过点A（―3，0），D（0，2）两点，由截距式得AD所在直线方程为
，即2x－3y+6=0．
（3）BC的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2．
【点评】考查学生会根据一点和斜率或两点坐标写出直线的方程，掌握两直线垂直时斜率的关系．会利用中点坐标公式求线段的中点坐标．
13．【答案】或
【解析】由题意可设所求直线方程为y=kx―3（k≠0），则直线与两坐标轴的交点为，（0，－3），它与两坐标轴围成的三角形的面积，所以，故所求直线的方程为或．
14．【答案】（1）C（―5，―3）；（2）；（3）
【解析】（1）设点C（x，y）
则，解得：，
∴C（―5，―3）．
（2）∵A（5，―2）、B（7，3）、C（―5，―3），
∴，N（1，0），
∴直线MN的方程为，
即5x―2y―5=0．
（3）∵，
∴直线AB的方程为，
即5x―2y―29=0．
令x=0，则；令y=0，则，
∴
15．【答案】
【解析】当0≤x≤10时，直线段过点O（0，0），A（10，20），所以，此时方程y=2x；当10＜x≤40时，直线段过点A（10，20），B（40，30），所以，方程为，即；由物理知识可知，直线的斜率就是相应的进水或出水的速度．设进水速度为v1，出水速度为v2．在第①段中，是只进水过程，v1=2；在第②段中，是既进水又出水的“合成“，此时的速度为，所以．所以当x＞40时，，又直线段过点B（40，30），所以此时方程为，即，令y=0，则，即到第58分钟时容器内的水全部放完．综上所述，．