高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：25【基础】直线的一般式方程及综合
文档属性
| 名称 | 高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：25【基础】直线的一般式方程及综合 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 284.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-02 21:13:04 | ||
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文档简介
直线的一般式方程及综合
【学习目标】
1．掌握直线的一般式方程；
2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；
3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.
【要点梳理】
要点一：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．
由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）
要点二：直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
y―y1=k(x―x1)
（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
y=kx+b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
Ax+By+C=0（A2+B2≠0）
A、B、C为系数
任何位置的直线
要点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
要点三：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线,,
；
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：
且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.
【典型例题】
类型一：直线的一般式方程
例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：
（1）斜率为，且经过点A（5，3）；
（2）过点B（―3，0），且垂直于x轴；
（3）斜率为4，在y轴上的截距为―2；
（4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
（5）经过C（―1，5），D（2，―1）两点；
（6）在x，y轴上的截距分别是―3，―1．
【答案】（1）（2）x+3=0（3）4x―y―2=0（4）y―3=0
（5）2x+y―3=0（6）x+3y+3=0
【解析】 （1）由点斜式方程得，整理得．
（2）x=―3，即x+3=0．
（3）y=4x―2，即4x―y―2=0．
（4）y=3，即y―3=0．
（5）由两点式方程得，整理得2x+y―3=0．
（6）由截距式方程得，整理得x+3y+3=0．
【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．
举一反三：
【变式1】已知直线经过点A（―5，6）和点B（―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．
【答案】2x－y+16=0
【解析】 所求直线的一般式方程为2x－y+16=0，截距式方程为．图形如右图所示．
例2．的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程.
【答案】
【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线
的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程.
例3．已知直线，，求满足下列条件的的值．（1）；（2）．
【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
【答案】（1）a=3（2）
【解析】
（1）当时，
，
即，解得a=3．
所以，当a=3时，．
（2）当时，A1A2+B1B2=a×1+3×(a―2)=0，即4a―6=0，解得．
所以，当时，．
【总结升华】当所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用A1A2+B1B2=0和A1B2－A2B1=0且A1C2－A2C1≠0来判定两条直线是否垂直和平行，比用斜率来判定更简便，它不需要讨论斜率不存在的情况．
举一反三：
【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:
（1）与平行（2）与垂直.
【答案】（1）（2）
【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，
当时，：；：
由，得，由得
而无解
综上所述（1），与平行．（2），与垂直．
【变式2】求经过直线4x+3y―1=0和x+2y+1=0的交点并且与直线x―2y―1=0垂直的直线方程．
【思路点拨】联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于―1，根据直线x―2y―1=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．
【答案】2x+y―1=0
【解析】联立直线方程，
①+②×(―4)得：y=―1，把y=―1代入②，解得x=1，
所以两直线的交点坐标为（1，―1），
又因为直线x―2y―1=0的斜率为，所以所求直线的斜率为―2，
则所求直线的方程为：y+1=―2(x―1)，即2x+y―1=0．
故答案为：2x+y―1=0．
【总结升华】此题考查学生会求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例4．（2018春 湖北孝感期末）设直线l的方程为(a+1)x+y+2－a=0（a∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．
【思路点拨】（1）直线l不经过第二象限，得到，解得即可；
（2）当x=0时，y=a－2，y=0时，，根据三角形的面积公式得到，解得即可．
【答案】（1）a≤―1；（2）a=0或a=8
【解析】（1）直线l的方程(a+1)x+y+2―a=0化为y=―(a+1)x+a―2．
∵直线l不经过第二象限，
∴，解得a≤－1．
∴实数a的取值范围是a≤―1，
（2）当x=0时，y=a―2，y=0时，，
∴，
解得a=0或a=8．
举一反三：
【变式1】 求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；
【答案】x+y+1=0或x-y-3=0
【解析】
由题设，设所求直线方程为，由已知条件得:
解之得:，
故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.
类型三：直线方程的实际应用
例5．已知光线通过点A（1，2），经过y轴反射，其反射光线通过点B（2，―1）
（1）求入射光线所在的直线方程；
（2）求反射光线所在的直线方程．
【思路点拨】（1）根据题意，求出点A关于y轴的对称点A＇坐标，算出直线A＇B的斜率并利用点斜式方程列式，得到直线A＇B的方程为x+y―1=0，从而令x=0算出入射点C的坐标，求出直线AC方程，即得入射光线所在直线方程；
（2）由（1）的求解过程，直线A＇B的方程x+y―1=0即为所求反射光线所在直线方程．
【答案】（1）x－y+1=0；（2）x+y－1=0
【解析】（1）∵光线的反射线是y轴，
∴反射线所在直线经过点A关于y轴的对称点A＇（―1，2）
而直线A＇B的斜率，
可得直线A＇B的方程为y―2=―(x+1)，化简得x+y－1=0
在直线A＇B中令x=0，得y=1，可得直线A＇B交y轴于点C（0，1）
∴直线AC的斜率，可得直线AC方程为y=x+1
即入射光线所在的直线方程为：y=x+1，即x－y+1=0；
（2）由（1）的求解过程，可得直线A＇B的方程x+y－1=0
即为反射光线所在的直线方程
∴反射光线所在的直线方程为x+y－1=0．
【总结升华】本题给出光线反射的问题，求入射光线与反射光线所在直线的方程，着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识．
举一反三：
【变式1】由点发出的光线射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般方程为 .
【解析】设点P关于直线的对称点，则满足条件
，解得
所以由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，即.
【巩固练习】
1．直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，必经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
2．在x轴和y轴上的截距分别是―2，3的直线方程是（ ）
A．2x―3y―6=0 B．3x―2y―6=0 C．3x―2y+6=0 D．2x―3y+6=0
3．直线和直线的位置关系是（ ）
A．相交不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
4．（2018春 河南焦作期末）已知过点A（―2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y―1=0平行，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．―8 D．10
5．不论m为何实数，直线(m―1)x―y+2m+1=0恒过定点（ ）
A． B．（―2，0） C．（―2，3） D．（2，3）
6.一条光线从点射出，遇轴后反射，反射光线过点，则反射光线所在的直线方程是( ).
A． B．
C． D．
7．直线方程(3a+2)x+y+8=0，若直线不过第二象限，则a的取值范围是( )
A.(-∞，-) B. C. (，+∞) D.［，+∞)
8. 直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于1，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9. 已知2a―3b=4，2c―3d=4，则过点A（a，b），B（c，d）的直线的方程是________．
10. 不论A、B取何值，只要A、B不同时为零，则直线Ax+By=0必恒过定点________；若A、B不同时为零，且A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0恒过定点________．
11.若三条直线交于一点，则实数满足的关系是
．
12．（2017秋 新沂市月考）若三条直线4x+y+4=0，mx+y+1=0，x―y+1=0不能围成三角形，则实数m取值范围是________．
13．（2018春 河北唐山期末）已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x－y+3=0，对角线的交点是（3，4），求其他两边所在直线的方程．
14．（2017春 徐州期末）在平面直线坐标系xOy中，直线l：2x+y－4=0．
（1）若直线m过点A（2，1），且与直线l垂直，求直线m的方程；
（2）若直线n与直线l平行，且在x轴、y轴上的截距之和为9，求直线n的方程．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】令x=0，得；令y=0，得，
如右图，知直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限．
2．【答案】C
【解析】由直线方程的截距式知，所求直线方程为，即3x―2y+6=0，故选C．
3．【答案】B
【解析】 ，，∴k1k2=―1，即两直线垂直．故选B．
4．【答案】C
【解析】∵过点A（―2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y―1=0平行，
∴，
解得m=－8．
故选C．
5．【分析】将直线的方程(m－1)x―y+2m+1=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点，此点即为直线恒过的定点．
【答案】C
【解析】直线(m―1)x―y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(―x―y+1)=0
令，解得
故无论m为何实数，直线(m―1)x―y+2m+1=0恒通过一个定点（－2，3）
故选C．
【点评】本题考点是过两条直线交点的直线系，考查由直线系方程求其过定点的问题，解题的方法是将直线系方程变为，然后解方程组，求出直线系过的定点，直线系过定点的这一直线用途广泛，经常出现在直线与圆锥曲线，直线与圆等的综合题型中．
6. 【答案】D
【解析】反射光线过点，同时，还经过点关于轴的对称点，所以，反射光线的斜率为，直线方程为．
7．【答案】B
【解析】纵截距-8<0，斜率为-(3a+2)≥0a≤.
8．【答案】D
【解析】直线与两坐标轴交点为，所以，，由题意得为所求．
9．【答案】2x―3y―4=0
【解析】由题意可知A、B两点在直线2x―3y=4上，又两点确定一条直线，∴的方程为2x－3y－4=0．
10. 【答案】（0，0） （1，1）
11．【答案】
【解析】先求出前两直线的交点，然后把交点坐标代入的方程，即可求出．
12．【分析】三条直线：4x+y+4=0，：mx+y+1=0，：x―y+1=0不能围成三角形，可得∥或∥或经过直线与的交点，解出即可．
【答案】（4，1，－1）
【解析】由题意，联立，
解得，
∴直线与的交点为（－1，0）；
∵三条直线：4x+y+4=0，：mx+y+1=0，：x―y+1=0不能围成三角形，
∴∥或∥或经过直线与的交点，
即―m=―4，或―m=1，或―m+0+1=0，
解得m=4，或m=±1．
故答案为：（4，1，－1）．
【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、三角形的性质．
13．【答案】x+y―16=0；3x―y―13=0．
【解析】联立，得两直线交点为，
设关于（3，4）的对称点为Q（x，y），
由中点坐标公式得：，解得，
∴与x+y+2=0平行的一边所在直线方程为：，即x+y―16=0；
与3x―y+3=0平行的一边所在直线方程为：，即3x―y―13=0．
14．【分析】（1）根据两条直线垂直，斜率之积为―1，求出直线m的斜率，写出它的直线方程；
（2）根据两条直线平行，它们的斜率相等，求出直线n的斜率，写出直线方程，求出在坐标轴上的截距，即可得出直线方程．
【解析】（1）由题意知，直线l的斜率为―2，
所以直线m的斜率为，
所以直线m的方程为，
即x―2y=0；
（2）由题意知，直线n的斜率为―2，
设直线n的方程为y=―2x+b，
令x=0，得y=b；
令y=0，得；
所以，解得b=6；
所以直线n的方程为y=―2x+6，
即2x+y―6=0．
【点评】本题考查了两条直线的平行与垂直的应用问题，也考查了求直线在坐标轴上的截距问题．
【学习目标】
1．掌握直线的一般式方程；
2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；
3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.
【要点梳理】
要点一：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．
由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）
要点二：直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
y―y1=k(x―x1)
（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
y=kx+b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
Ax+By+C=0（A2+B2≠0）
A、B、C为系数
任何位置的直线
要点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
要点三：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线,,
；
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：
且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.
【典型例题】
类型一：直线的一般式方程
例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：
（1）斜率为，且经过点A（5，3）；
（2）过点B（―3，0），且垂直于x轴；
（3）斜率为4，在y轴上的截距为―2；
（4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
（5）经过C（―1，5），D（2，―1）两点；
（6）在x，y轴上的截距分别是―3，―1．
【答案】（1）（2）x+3=0（3）4x―y―2=0（4）y―3=0
（5）2x+y―3=0（6）x+3y+3=0
【解析】 （1）由点斜式方程得，整理得．
（2）x=―3，即x+3=0．
（3）y=4x―2，即4x―y―2=0．
（4）y=3，即y―3=0．
（5）由两点式方程得，整理得2x+y―3=0．
（6）由截距式方程得，整理得x+3y+3=0．
【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．
举一反三：
【变式1】已知直线经过点A（―5，6）和点B（―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．
【答案】2x－y+16=0
【解析】 所求直线的一般式方程为2x－y+16=0，截距式方程为．图形如右图所示．
例2．的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程.
【答案】
【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线
的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程.
例3．已知直线，，求满足下列条件的的值．（1）；（2）．
【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
【答案】（1）a=3（2）
【解析】
（1）当时，
，
即，解得a=3．
所以，当a=3时，．
（2）当时，A1A2+B1B2=a×1+3×(a―2)=0，即4a―6=0，解得．
所以，当时，．
【总结升华】当所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用A1A2+B1B2=0和A1B2－A2B1=0且A1C2－A2C1≠0来判定两条直线是否垂直和平行，比用斜率来判定更简便，它不需要讨论斜率不存在的情况．
举一反三：
【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:
（1）与平行（2）与垂直.
【答案】（1）（2）
【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，
当时，：；：
由，得，由得
而无解
综上所述（1），与平行．（2），与垂直．
【变式2】求经过直线4x+3y―1=0和x+2y+1=0的交点并且与直线x―2y―1=0垂直的直线方程．
【思路点拨】联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于―1，根据直线x―2y―1=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．
【答案】2x+y―1=0
【解析】联立直线方程，
①+②×(―4)得：y=―1，把y=―1代入②，解得x=1，
所以两直线的交点坐标为（1，―1），
又因为直线x―2y―1=0的斜率为，所以所求直线的斜率为―2，
则所求直线的方程为：y+1=―2(x―1)，即2x+y―1=0．
故答案为：2x+y―1=0．
【总结升华】此题考查学生会求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例4．（2018春 湖北孝感期末）设直线l的方程为(a+1)x+y+2－a=0（a∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．
【思路点拨】（1）直线l不经过第二象限，得到，解得即可；
（2）当x=0时，y=a－2，y=0时，，根据三角形的面积公式得到，解得即可．
【答案】（1）a≤―1；（2）a=0或a=8
【解析】（1）直线l的方程(a+1)x+y+2―a=0化为y=―(a+1)x+a―2．
∵直线l不经过第二象限，
∴，解得a≤－1．
∴实数a的取值范围是a≤―1，
（2）当x=0时，y=a―2，y=0时，，
∴，
解得a=0或a=8．
举一反三：
【变式1】 求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；
【答案】x+y+1=0或x-y-3=0
【解析】
由题设，设所求直线方程为，由已知条件得:
解之得:，
故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.
类型三：直线方程的实际应用
例5．已知光线通过点A（1，2），经过y轴反射，其反射光线通过点B（2，―1）
（1）求入射光线所在的直线方程；
（2）求反射光线所在的直线方程．
【思路点拨】（1）根据题意，求出点A关于y轴的对称点A＇坐标，算出直线A＇B的斜率并利用点斜式方程列式，得到直线A＇B的方程为x+y―1=0，从而令x=0算出入射点C的坐标，求出直线AC方程，即得入射光线所在直线方程；
（2）由（1）的求解过程，直线A＇B的方程x+y―1=0即为所求反射光线所在直线方程．
【答案】（1）x－y+1=0；（2）x+y－1=0
【解析】（1）∵光线的反射线是y轴，
∴反射线所在直线经过点A关于y轴的对称点A＇（―1，2）
而直线A＇B的斜率，
可得直线A＇B的方程为y―2=―(x+1)，化简得x+y－1=0
在直线A＇B中令x=0，得y=1，可得直线A＇B交y轴于点C（0，1）
∴直线AC的斜率，可得直线AC方程为y=x+1
即入射光线所在的直线方程为：y=x+1，即x－y+1=0；
（2）由（1）的求解过程，可得直线A＇B的方程x+y－1=0
即为反射光线所在的直线方程
∴反射光线所在的直线方程为x+y－1=0．
【总结升华】本题给出光线反射的问题，求入射光线与反射光线所在直线的方程，着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识．
举一反三：
【变式1】由点发出的光线射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般方程为 .
【解析】设点P关于直线的对称点，则满足条件
，解得
所以由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，即.
【巩固练习】
1．直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，必经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
2．在x轴和y轴上的截距分别是―2，3的直线方程是（ ）
A．2x―3y―6=0 B．3x―2y―6=0 C．3x―2y+6=0 D．2x―3y+6=0
3．直线和直线的位置关系是（ ）
A．相交不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
4．（2018春 河南焦作期末）已知过点A（―2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y―1=0平行，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．―8 D．10
5．不论m为何实数，直线(m―1)x―y+2m+1=0恒过定点（ ）
A． B．（―2，0） C．（―2，3） D．（2，3）
6.一条光线从点射出，遇轴后反射，反射光线过点，则反射光线所在的直线方程是( ).
A． B．
C． D．
7．直线方程(3a+2)x+y+8=0，若直线不过第二象限，则a的取值范围是( )
A.(-∞，-) B. C. (，+∞) D.［，+∞)
8. 直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于1，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9. 已知2a―3b=4，2c―3d=4，则过点A（a，b），B（c，d）的直线的方程是________．
10. 不论A、B取何值，只要A、B不同时为零，则直线Ax+By=0必恒过定点________；若A、B不同时为零，且A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0恒过定点________．
11.若三条直线交于一点，则实数满足的关系是
．
12．（2017秋 新沂市月考）若三条直线4x+y+4=0，mx+y+1=0，x―y+1=0不能围成三角形，则实数m取值范围是________．
13．（2018春 河北唐山期末）已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x－y+3=0，对角线的交点是（3，4），求其他两边所在直线的方程．
14．（2017春 徐州期末）在平面直线坐标系xOy中，直线l：2x+y－4=0．
（1）若直线m过点A（2，1），且与直线l垂直，求直线m的方程；
（2）若直线n与直线l平行，且在x轴、y轴上的截距之和为9，求直线n的方程．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】令x=0，得；令y=0，得，
如右图，知直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限．
2．【答案】C
【解析】由直线方程的截距式知，所求直线方程为，即3x―2y+6=0，故选C．
3．【答案】B
【解析】 ，，∴k1k2=―1，即两直线垂直．故选B．
4．【答案】C
【解析】∵过点A（―2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y―1=0平行，
∴，
解得m=－8．
故选C．
5．【分析】将直线的方程(m－1)x―y+2m+1=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点，此点即为直线恒过的定点．
【答案】C
【解析】直线(m―1)x―y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(―x―y+1)=0
令，解得
故无论m为何实数，直线(m―1)x―y+2m+1=0恒通过一个定点（－2，3）
故选C．
【点评】本题考点是过两条直线交点的直线系，考查由直线系方程求其过定点的问题，解题的方法是将直线系方程变为，然后解方程组，求出直线系过的定点，直线系过定点的这一直线用途广泛，经常出现在直线与圆锥曲线，直线与圆等的综合题型中．
6. 【答案】D
【解析】反射光线过点，同时，还经过点关于轴的对称点，所以，反射光线的斜率为，直线方程为．
7．【答案】B
【解析】纵截距-8<0，斜率为-(3a+2)≥0a≤.
8．【答案】D
【解析】直线与两坐标轴交点为，所以，，由题意得为所求．
9．【答案】2x―3y―4=0
【解析】由题意可知A、B两点在直线2x―3y=4上，又两点确定一条直线，∴的方程为2x－3y－4=0．
10. 【答案】（0，0） （1，1）
11．【答案】
【解析】先求出前两直线的交点，然后把交点坐标代入的方程，即可求出．
12．【分析】三条直线：4x+y+4=0，：mx+y+1=0，：x―y+1=0不能围成三角形，可得∥或∥或经过直线与的交点，解出即可．
【答案】（4，1，－1）
【解析】由题意，联立，
解得，
∴直线与的交点为（－1，0）；
∵三条直线：4x+y+4=0，：mx+y+1=0，：x―y+1=0不能围成三角形，
∴∥或∥或经过直线与的交点，
即―m=―4，或―m=1，或―m+0+1=0，
解得m=4，或m=±1．
故答案为：（4，1，－1）．
【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、三角形的性质．
13．【答案】x+y―16=0；3x―y―13=0．
【解析】联立，得两直线交点为，
设关于（3，4）的对称点为Q（x，y），
由中点坐标公式得：，解得，
∴与x+y+2=0平行的一边所在直线方程为：，即x+y―16=0；
与3x―y+3=0平行的一边所在直线方程为：，即3x―y―13=0．
14．【分析】（1）根据两条直线垂直，斜率之积为―1，求出直线m的斜率，写出它的直线方程；
（2）根据两条直线平行，它们的斜率相等，求出直线n的斜率，写出直线方程，求出在坐标轴上的截距，即可得出直线方程．
【解析】（1）由题意知，直线l的斜率为―2，
所以直线m的斜率为，
所以直线m的方程为，
即x―2y=0；
（2）由题意知，直线n的斜率为―2，
设直线n的方程为y=―2x+b，
令x=0，得y=b；
令y=0，得；
所以，解得b=6；
所以直线n的方程为y=―2x+6，
即2x+y―6=0．
【点评】本题考查了两条直线的平行与垂直的应用问题，也考查了求直线在坐标轴上的截距问题．