高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：26【提高】直线的一般式方程及综合

直线的一般式方程及综合
【学习目标】
1．掌握直线的一般式方程；
2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；
3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.
【要点梳理】
要点一：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．
由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）
要点二：直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
y―y1=k(x―x1)
（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
y=kx+b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
Ax+By+C=0（A2+B2≠0）
A、B、C为系数
任何位置的直线
要点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
要点三：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线,,
；
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：

且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.
【典型例题】
类型一：直线的一般式方程
例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）斜率是，经过点A（8，―2）；
（2）经过点B（4，2），平行于x轴；
（3）在x轴和y轴上的截距分别是，―3；
（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）．
【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）
【解析】 （1）由点斜式方程得，化成一般式得x+2y―4=0．
（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．
（3）由截距式得，化成一般式得2x―y―3=0．
（4）由两点式得，化成一般式方程为．
【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．
举一反三：
【变式1】已知直线经过点，且倾斜角是，求直线的点斜式方程和一般式方程.
【答案】
【解析】因为直线倾斜角是，所以直线的斜率，所以直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：.
例2．的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程.
【答案】
【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线
的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程.
例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线的方程．
【答案】3x+4y―11=0
【解析】
解法一：设直线的斜率为k，∵与直线3x+4y+1=0平行，∴．
又∵经过点（1，2），可得所求直线方程为，即3x+4y―11=0．
解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0，
∵经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．
∴所求直线方程为3x+4y―11=0．
【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．
（2）一般地，经过点A（x0，y0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x0)+B(y―y0)=0．
（3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx―Ay+m=0（A，B不同时为零）．
举一反三：
【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:
（1）与平行（2）与垂直.
【答案】（1）（2）
【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，
当时，：；：
由，得，由得
而无解
综上所述（1），与平行．（2），与垂直．
【变式2】 求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线的方程．
【答案】x－2y=0
【解析】因为直线与直线2x+y―10=0垂直，可设直线的方程为，把点A（2，1）代入直线的方程得：，所以直线的方程为：x－2y=0．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例4．已知直线的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．
【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可．
【答案】或
【解析】
解法一：设的倾斜角为，由，得．
设的方程为，令y=0，得．
∴直线与x轴、y轴的交点分别为，（0，b）．
∴，即b2=9，∴b=±3．
故所求的直线方程分别为或．
解法二：设直线的方程为，倾斜角为，由，得．
∴，解得．
故所求的直线方程为或．
【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
举一反三：
【变式1】（2017春 启东市期中）已知直线m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0．
（1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；
（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．
【思路点拨】（1）求过两直线m，n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；
（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【答案】（1）x+2y―4=0；（2）
【解析】（1）由，解得，
即两直线m，n交点坐标为（2，1），
设与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程为x+2y+c=0，
则2+2×1+c=0，解得c=―4，
则对应的直线方程为x+2y―4=0；
（2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0），
则对应的直线方程为y―1=k(x―2)，
令x=0，y=1―2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1―2k）
令y=0，则，即与x轴的交点坐标为，
则△AOB的面积，
即，
即，
若k＞0，则方程等价为，
解得或，
若k＜0，则方程等价为，
解得．
综上直线的方程为 ，或，或
即，或，或
例5.过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
【思路点拨】因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k<0，再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.
【答案】x+2y-4=0
【解析】
解法一：设直线的方程为:y-1=k(x-2)，
令y=0，得:x=；
令x=0，得y=1-2k，
∵与x轴、y轴的交点均在正半轴上，
∴>0且1-2k>0
故k<0，
△AOB的面积
当且仅当-4k=-，即k=-时，
S取最小值4，
故所求方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.?
解法二：设直线方程为，
∴A(a，0)，B(0，b)，且a>0，b>0，
∵点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=当且仅当，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时方程为即:x+2y-4=0.?
解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，
垂足分别为M、N，设=∠PAM=∠BPN，则△AOB面积
S=S矩形OMPN+S△PAM+S△BPN
=
=4，当且仅当时，S△AOB
有最小值4，故此时直线的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.
【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.
举一反三：
【变式1】已知a∈（0，2），直线1：ax―2y―2a+4=0和直线2：2x+a2y―2a2―4=0与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求a的值．
【答案】
【解析】直线l1与y轴交点为A（0，2-a），直线l2与x轴交点为B（a2+2，0），如图由直线1：ax―2y―2a+4=0，2：2x+a2y―2a2―4=0知，两直线的交点为（2，2），过C点作轴垂线，垂足为D，于是S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD===
所以当时，S四过形AOBC最小．
类型三：直线方程的实际应用
例6．（2017春 湖北期末）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．
【思路点拨】求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的路线长．
【答案】
【解析】设点A关于l的对称点A＇（x0，y0），
∵AA＇被l垂直平分，∴，解得
∵点A＇（―4，―3），B（1，1）在反射光线所在直线上，
∴反射光线的方程为，即4x―5y+1=0，
解方程组得入射点的坐标为．
由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x―4y+2=0，
光线从A到B所走过的路线长为．
【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．
举一反三：
【变式1】（2018春 福建厦门期中）一条光线从点A（－4，－2）射出，到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（－1，6）．求BC所在直线的方程．
【答案】10x－3y+8=0
【解析】如图，A（－4，－2），D（－1，6），

由对称性求得A（－4，－2）关于直线y=x的对称点A＇（－2，－4），
D关于y轴的对称点D＇（1，6），
则由入射光线和反射光线的性质可得：过A＇D＇的直线方程即为BC所在直线的方程．
由直线方程的两点式得：．
整理得：10x－3y+8=0．
例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1 m2）
【答案】6017
【解析】 建立坐标系，则B（30，0），A（0，20）．
∴由直线的截距方程得到线段AB的方程为
（0≤x≤30）．
设点P的坐标为（x，y），则有．
∴公寓的占地面积为
（0≤x≤30）．
∴当x=5，时，S取最大值，最大值为．
即当点P的坐标为时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m2．
【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P的位置由两个条件确定，一是A、P、B三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x与y的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．
【巩固练习】
1．直线5x―2y―10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有（ ）
A．a=2，b=5 B．a=2，b=―5 C．a=―2，b=5 D．a=―2，b=―5
2．直线的方程为Ax+By+C=0，若过原点和第二、四象限，则有（ ）
A．C=0且B＞0 B．C=0且B＞0，A＞0
C．C=0且A·B＜0 D．C=0且A·B＞0
3．如果直线与直线垂直，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．直线ax+by―1=0的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且它在y轴上的截距为1，则（ ）
A．，b=1 B．，b=―1
C．a=1， D．a=―1，
5．（2018春 吉林期末）一条光线从点P（5，3）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．x+y―2=0 B．x―y―2=0 C．x―y+2=0 D．x+y+2=0
6．设是轴上两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程为（ ）．
A. x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0
7. 直线ax+y+1=0与连接A（2，3）、B（―3，2）的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A．[―1，2] B．[2，+∞）∪（－∞，―1]
C．[―2，1] D．[1，+∞）∪（－∞，－2]
8．（2017年 宁城县一模）已知两点M（―1，0），N（1，0），若直线y=k(x―2)上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（ ）
A．[－5，5] B． C． D．
9．已知直线在轴上的截距是它在上截距得3倍，则 ．
10．已知直线通过点M（―3，4），被直线l：x―y+3=0反射，反射光线通过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程是________．
11．若三条直线构成三角形，则的取值范围是 ．
12．与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴围成的三角形的面积是24的直线的方程是________．
13．（1）求过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）已知直线l平行于直线4x+3y－7=0，直线l与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l的方程．
14．（2018春 海南期末）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－3y+2=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x+3y－9=0．求：
（1）直线BC的方程；
（2）△ABC的面积．
15．如下图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．设折痕所在直线斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 将直线方程5x―2y―10=0化为截距式，∴a=2，b－5，故选B．
2．【答案】D
【解析】 方程可化为，C=0，．
3．【答案】D
【解析】因为两直线垂直，所以，即
4．【答案】A
【解析】 由直线得直线斜率为，∴倾斜角为60°，∴所求直线倾斜角为120°，
∴，
∴，又，∴b=1，，故选A．
5．【答案】A
【解析】由题意可得反射光线所在直线过点Q（2，0），设点P（5，3）关于x轴的对称点为P＇（5，―3），
则根据反射定律，点P＇（5，―3）在反射光线所在直线上，
故反射光线所在直线的方程为，即x+y－2=0，
故选A．
6．【答案】A
【解析】 因为，所以直线的斜率与直线的斜率互为相反数，即，写出直线的方程．
7．【答案】D
【解析】 直线ax+y+1=0过定点C（0，－1），当直线处于AC与BC之间时必与线段AB相交，应满足或，即a≤－2或a≥1．故选D．
8．【分析】k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0，然后分三种情况分析，即∠PMN，∠PNM，∠MPN为直角，若△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围．
【答案】D
【解析】当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，
∴k≠0，
如图所示，
△MNP是直角三角形，有三种情况：
当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；
当N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；
当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．
由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，
则，解得，且k≠0．
∴实数k的取值范围是．
故选：D．
9．【答案】
【解析】直线在轴上的截距是12，在轴上的截距是，所以，解得．
10．【分析】求出M关于x―y+3=0的对称点的坐标，利用两点式方程求出反射光线所在的直线方程．
【解析】∵光线通过点M（―3，4），直线l：x―y+3=0的对称点（x，y），
∴ 即 ，K（1，0），
∵N（2，6），
∴MK的斜率为6，
∴反射光线所在直线的方程是y=6x―6，
故答案为：y=6x―6．
【点评】对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力．
11．【答案】
【解析】直线与另两条直线不平行也不重合，并且三条直线不过同一点．
12．【答案】 3x+4y±24=0
【解析】 设直线的方程为3x+4y+=0，令x=0，得；令y=0，得，故，解得=±24．
13．【分析】（1）根据直线的截距关系即可求出直线方程；
（2）利用直线平行的关系，结合三角形的周长即可得到结论．
【解析】（1）当直线过原点时，过点（2，3）的直线为
当直线不过原点时，设直线方程为，直线过点（2，3），代入解得a=5
∴直线方程为
∴过P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为3x―2y=0和x+y―5=0．
（2）∵直线l与直线4x+3y－7=0平行，∵．
设直线l的方程为，
则直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为B（0，b），
∴．
∵直线l与两坐标轴围成的三角形周长是15，
∴．
∴|b|=5，∴b=±5．
∴直线l的方程是，
即4x+3y±15=0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解和应用，要求熟练掌握常见求直线方程的几种方法．
14．【答案】（1）x－4y+1=0；（2）5
【解析】（1）设AC边所在直线方程为3x－2y+c=0，
依题意得3×1－2×3+c=0，即c=3，即AC边所在直线方程为3x－2y+3=0
解方程组，得C（－1，0）
设B（a，b），又A（1，3），M是AB的中点，则
由已知得得B（3，1）
由两点式直线BC的方程为，即x－4y+1=0
（2），
点A到直线BC的距离
15．【答案】2kx－2y+k2+1=0
【解析】（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为．
（2）当k≠0时，设矩形折叠后A点落在线段CD上的点G（a，1），∴A、G关于折痕所在直线对称，∴kOG·k=－1，
即，∴a=―k．
故G点坐标为G（―k，1），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为．
∴折痕所在直线的方程为，即．
检验当k=0时，也适合．
综合（1）、（2）可知，折痕所在直线的方程为2kx－2y+k2+1=0．