高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：27【基础】直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式
【学习目标】
1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.
2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【要点梳理】
要点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
要点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
要点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为
.
要点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
要点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为.
要点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
要点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.
要点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式.
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）重合；（3）平行．
【解析】（1）解方程组得该方程组有唯一解，所以两直线相交，且交点坐标为．
（2）解方程组
②×6得2x－6y+3=0，
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．
（3）解方程组
②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．
【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
举一反三：
【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
（1）1：2x+y+3=0，2：x―2y―1=0；
（2）1：x+y+2=0，2：2x+2y+3=0；
（3）1：x―y+1=0；2：2x―2y+2=0．
【答案】（1）直线1与2相交，交点坐标为（―1，―1）．
（2）直线1与2无公共点，即1∥2．
（3）两直线重合．
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．
【答案】15x+5y+16=0
【解析】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．
解法一：设所求的直线为，由方程组得．∵直线和直线3x+y―1=0平行，
∴直线的斜率k=―3．
∴根据点斜式有，
即所求直线方程为15x+5y+16=0．
解法二：∵直线过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，
∴设直线的方程为2x―3y―3+(x+y+2)=0，
即(+2)x+(―3)y+2―3=0．
∵直线与直线3x+y－1=0平行，
∴，解得．
从而所求直线方程为15x+5y+16=0．
【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．
举一反三：
【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．
解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．
将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．
证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．
由于m取值的任意性，有，解得．
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．
类型三、对称问题
例3．（2018秋 北京期中）求点A（3，―2）关于直线l：2x―y―1=0的对称点A＇的坐标．
【思路点拨】设点A＇的坐标为（m，n），求得A＇A的中点B的坐标并代入直线l的方程得到①，再由线段A＇A和直线l垂直，斜率之积等于―1得到②，解①②求得m，n的值，即得点A＇的坐标．
【答案】
【解析】设点A（3，―2）关于直线l：2x―y―1=0的对称点A＇的坐标为（m，n），
则线段A＇A的中点，
由题意得B在直线l：2x―y―1=0上，故 ①
再由线段A＇A和直线l垂直，斜率之积等于―1得 ②，
解①②所成的方程组可得：
，
故点A＇的坐标为．
【总结升华】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．
例4．求直线x―y―2=0关于直线：3x―y+3=0对称的直线方程．
【答案】7x+y+22=0
【解析】 解法一：由，得交点，
取直线x―y―2=0上一点A（0，―2），设点A关于直线：3x―y+3=0的对称点为A＇（x0，y0），
则根据，且线段AA＇的中点在直线：3x―y+3=0上，有
，解得．
故所求直线过点与（―3，―1）．
∴所求直线方程为．
即7x+y+22=0．
解法二：设P（x，y）为所求直线上任意一点，P关于直线：3x―y+3=0的对称点P＇（x＇，y＇）．根据PP＇⊥且线段PP＇的中点在直线上，可得
，解得．
又∵P＇（x＇，y＇）在直线x―y―2=0上，
∴，即7x+y+22=0．
故所求直线方程为7x+y+22=0．
【总结升华】 轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为代入法．
举一反三：
【变式1】（1）求点P（x0，y0）关于直线x―y+C=0的对称点坐标；
（2）求直线1：Ax+By+C=0关于直线2：x+y―3=0的对称直线3的方程．
【答案】（1）（y0―C，x0+C）；（2）Bx+Ay―3A―3B―C=0．
【变式2】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．
【答案】
【解析】
法一：直线过AB的中点（1，1），所以的方程为．
直线，则设的方程为
则，所以的方程为：
法二：由题意知直线的斜率存在，设的方程为，
则A、B两点到直线的距离

解得：
所以的方程为：和
类型四、两点间的距离
例5．已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】 先分别求出三边之长，再比较三边的长短，最后下结论．
∵，
，
，
∴|AC|=|BC|．
又∵A、B、C三点不共线，∴△ABC是等腰三角形．
【总结升华】 利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可．
举一反三：
【变式1】以点A（―3，0），B（3，―2），C（―1，2）为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【答案】C
【解析】，
，
，
∵，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
例6．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．
【答案】y=1或x=3
【解析】 设直线与直线1、2分别交于点A（x1，y1）、B（x2、y2），则，两方程相减，得(x1―x2)+(y1―y2)=5， ①
由已知及两点间距离公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25， ②
由①②解得或，又点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线上，因此直线的斜率为0或不存在，又直线过点P（3，1），所以直线的方程为y=1或x=3．
【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．
举一反三：
【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，求A、B两点的距离．
【答案】
类型五、点到直线的距离
例7． 在△ABC中，A（3，3），B（2，―2），C（―7，1），求∠A的平分线AD所在直线的方程．
【答案】
【解析】 设M（x，y）为∠A的平分线AD上的任意一点，由已知可求得AC边所在直线的方程为x―5y+12=0，AB所在直线的方程为5x―y―12=0．
由角平分线的性质得，
∴x―5y+12=5x―y―12或x―5y+12=y―5x+12，即y=―x+6或y=x．
但结合图形（如图），可知kAC＜kAD＜kAB，即，
∴y=－x+6不合题意，故舍去．
故所求∠A的平分线AD所在直线的方程为y=x．
【总结升华】 本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x，y）所满足的方程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创设出点到直线的距离这一条件．
举一反三：
【变式1】求点P0（―1，2）到下列直线的距离：
（1）2x+y―10=0；（2）x+y=2；（3）y―1=0．
【答案】（1）（2）（3）1
【解析】（1）根据点到直线的距离公式得．
（2）直线方程可化为x+y―2=0，所以．
（3）因为直线y―1=0平行于x轴，所以d=|2―1|=1．
类型六、两平行直线间的距离
例8．已知直线：ax+y+2=0（a∈R），
（1）若直线的倾斜角为120°，求实数a的值；
（2）若直线在x轴上的截距为2，求实数a的值；
（3）若直线与直线：2x－y+1=0平行，求两平行线之间的距离．
【思路点拨】（1）由题意可得tan120°=－a，解方程可得；（2）令y=0，解得x即直线在x轴上的截距，可得关于a的方程，解方程可得；（3）由直线的平行关系可得a值，代入两平行线之间的距离公式计算可得．
【解析】（1）由题意可得tan120°=－a，解得；
（2）令y=0，可得，即直线在x轴上的截距为，解得a=－1；
（3）∵直线与直线：2x－y+1=0平行，
∴a=－2，∴直线的方程可化为2x―y―2=0
∴两平行线之间的距离为：
举一反三：
【变式1】直线1过点A（0，1），2过点B（5，0），如果1∥2，且1与2的距离为5，求1、2的方程．
【答案】或．
【巩固练习】
1．直线x+2y―2=0与直线2x+y―3=0的交点坐标为（ ）
A．（4，1） B．（1，4） C． D．
2．点P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（ ）
A．（5，2） B．（2，―5） C．（―5，―2） D．（―2，―5）
3．与直线2x+3y―6=0关于点（1，―1）对称的直线方程为（ ）
A．3x―2y+12=0 B．2x+3y+7=0 C．3x―2y―12=0 D．2x+3y+8=0
4．（2017春 湖北期末）已知直线方程为(2+m)x+(1―2m)y+4―3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（ ）
A．（―2m，―m―4） B．（5，1） C．（―1，―2） D．（2m，m+4）
5．若x轴的正半轴上的点M到原点与点（5，―3）到原点的距离相等，则M的坐标是（ ）
A．（―2，0） B．（1，0） C． D．
6．已知点（a，2）（a＞0）到直线：x―y+3=0的距离为1，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．两平行直线3x+2y―3=0和6x+4y+1=0之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
8．点P（x，y）在直线x+y―4=0上，则x2+y2的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．16
9．（2018 南京模拟）已知三角形的顶点为A（2，4）、B（1，―2）、C（―2，3），则BC边上的高AD所在直线的方程是________．
10．若P是直线3x+2y+2=0上的一点，且到A（0，1），B（2，0）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为________．
11．两平行直线分别过点（1，0）与（0，5），且距离为5，它们的方程为 ．
12．（2017 张家港市模拟）过点P（1，2）作一直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，－5）的距离相等，则直线l的方程为________．
13．已知的垂心，且，，求点的坐标．
14．（2018春 黔东南州期末）在△ABC中，直线AB的方程为3x―2y―1=0，直线AC的方程为2x+3y―18=0．直线BC的方程为3x+4y―m=0（m≠0）．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．
15．已知点A（―3，0），B（3，―3），C（1，3）．
（1）求过点C且和直线AB平行的直线的方程；
（2）若过B的直线和直线BC关于直线AB对称，求的方程．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 两直线方程联立方程组，解方程组可得．
2．【答案】C
【解析】设点P（2，5）关于直线x+y=0的对称点为，则，解之得．
3．【答案】D
【解析】在所求的直线上任取一点A（x，y），则A关于点（1，-1）对称点B（2-x，-2-y）一定在直线：2x+3y-6=0上，故有2（2-x）+3（-2-y）-6=0，即 2x+3y+8=0．故选D．
4．【答案】C
【分析】由直线(2+m)x+(1―2m)y+4―3m=0变形为m(x―2y―3)+(2x+y+4)=0，
令，即可求出定点坐标．
【解析】由直线(2+m)x+(1―2m)y+4―3m=0变形为m(x―2y―3)+(2x+y+4)=0，
令，解得，
∴该直线过定点（－1，―2），
故选：C．
5．【答案】D
【解析】设M的坐标为（x，0），根据题意，由两点间的距离公式可得x2=52+(―3)2，解得，∵x＞0，∴所求点的坐标为．
6．【答案】C
【解析】 由点到直线的距离公式得．因为a＞0，所以，所以．
7．【答案】D
【解析】 6x+4y+1=0可化为．则由两条平行直线间的距离公式得．
8．【答案】A
【解析】 由x2+y2的实际意义可知，它代表直线x+y―4=0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方．∴．
9．【答案】3x―5y+14=0
【解析】（1）∵B（1，―2）、C（―2，3），
∴BC的斜率是
∴BC边上的高的斜率为
∴BC边上的高所在直线的方程为即3x―5y+14=0
故答案为：3x―5y+14=0．
10．【答案】（―2，2）
【解析】 由几何性质知P、A、B在同一条直线上时绝对值之差最大，且所在直线为，与3x+2y+2=0联立得（―2，2）．
11．【答案】
【解析】利用平行线间的距离公式求解．
12．【答案】4x+y―6=0或3x+2y―7=0
【分析】首先根据直线过P（1，2）设出直线的点斜式，然后根据直线l与点M（2，3）和点N（4，－5）的距离相等，利用点到直线的距离，求出k的值．
【解析】∵直线过点P（1，2）
∴设l的方程为：y―2=k(x―1)
即kx―y―k+2=0
又直线l与点M（2，3）和点N（4，―5）的距离相等
∴
化简得：
k=－4或
∴l的方程为4x+y―6=0或3x+2y―7=0
【点评】本题考查点到直线的距离公式，以及直线的一般式和点斜式方程，通过已知条件，巧妙构造等式求解．
13．【答案】
【解析】斜率为，设点坐标为，
所以，斜率为 ①
因为斜率为0，斜率不存在，即直线的方程为，
所以， ②
②代入①，得．点坐标．
14．【答案】（1）略；（2）m=20或30
【解析】（1）∵直线AB的斜率为，
直线AC的斜率为，kABkAC=―1，
∴直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形．
（2）解方程组，得，即A（3，4）．
设点A到直线BC的距离为d，则．
由题意知d=1，即，即m=20或30．
15．【分析】（1）求出AB的斜率，根据直线平行的斜率关系，利用点斜式方程即可求出直线的方程；
（2）求出C关于直线AB的对称点，利用两点式方程即可求的方程．
【解析】（1）直线AB的斜率为，
则过点C且和直线AB平行的直线的方程的斜率；
则直线方程为，
即；
（2）直线AB的方程为，
设C关于AB对称的点的坐标为D（a，b），
则，即，
即D（―3，―5），
则经过点B（3，―3），
则的方程为．
即x―3y―12=0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，根据直线平行以及点的对称性，利用点斜式方程和两点式方程是求直线方程的常用方法．