高中数学必修二知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：28【提高】直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式
【学习目标】
1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.
2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【要点梳理】
要点一、直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
要点二、过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
要点三、两点间的距离公式
两点间的距离公式为
.
要点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
要点四、点到直线的距离公式
点到直线的距离为.
要点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
要点五、两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.
要点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1．是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．
【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．
（1）当时，，即a=±1．
（2）当时，―a=―1，即a=1．
（3）当时，，即a=1．
（4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．
故当a≠1且a≠－1且a≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．
【总结升华】 本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．
举一反三：
【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围．
【答案】
【解析】解得
所以，解得．
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．
【答案】15x+5y+16=0
【解析】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．
解法一：设所求的直线为，由方程组得．∵直线和直线3x+y―1=0平行，
∴直线的斜率k=―3．
∴根据点斜式有，
即所求直线方程为15x+5y+16=0．
解法二：∵直线过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，
∴设直线的方程为2x―3y―3+(x+y+2)=0，
即(+2)x+(―3)y+2―3=0．
∵直线与直线3x+y－1=0平行，
∴，解得．
从而所求直线方程为15x+5y+16=0．
【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．
举一反三：
【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．
解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．
将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．
证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0．
由于m取值的任意性，有，解得．
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．
类型三、对称问题
例3．已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．
【答案】2x+11y+16=0
【解析】 解法一：由，得直线1与的交点为P（3，―2），显然P也在直线2上．
在直线1上取一点A（2，0），又设点A关于直线的对称点为B（x0，y0），则，解得．
故由两点式可求得直线2的方程为2x+11y+16=0．
解法二：设直线2上一动点M（x，y）关于直线的对称点为，则
，解得．
显然在1上，故，即2x+11y+16=0，这便是所求的直线2的方程．
【总结升华】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．
一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P（x0，y0）的对称点Q，只需由对称轴方程解出x，再用y0代替y，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标．
举一反三：
【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（ ）
A．―2，2 B．2，―2 C． D．
【思路点拨】通过中点坐标满足对称轴方程，利用垂直关系，列出方程求解即可．
【答案】B
【解析】点P（―1，1），关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），
∴PQ的中点为（1，0），．
∴，
解得：a=2，b=－2．
故选：B．
例4．在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
【答案】（1）（2，5）（2）
【解析】 设B关于的对称点为B＇，AB＇与的交点P满足（1）；设C关于的对称点为C＇，AC＇与的交点P满足（2）．事实上，对（1），若P＇是上异于P的点，则 ；对于（2），若P＇是上异于P的点，则 ．
（1）如图1所示，设点B关于的对称点B＇的坐标为（a，b），
，即，
∴a+3b－12=0． ①
又由于BB＇的中点坐标为，且在直线上，
∴，即3a―b―6=0． ②
解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）．
于是直线AB＇的方程为，即2x+y－9=0．
解由的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即与AB＇的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）．
（2）如图2所示，设C关于的对称点为C＇，求出C＇的坐标为．
∴AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0．
AC＇和交点坐标为．
故P点坐标为．
【总结升华】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线上求一点，使这点到两定点A、B的距离之差最大的问题，若这两点A、B位于直线的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A、B两点位于直线的异侧，则先求A、B两点中某一点（如A）关于直线的对称点A＇，再求直线A＇B的方程，再求它们与直线的交点即可．对于在直线上求一点P，使P到平面上两点A、B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
举一反三：
【变式1】已知点M（3，5），在直线：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
【答案】、
【解析】由点及直线，可求得点关于的对称点．同样容易求得点关于轴的对称点．据及两点可得到直线的方程为，
解方程组，得交点，令，得到与轴的交点．
类型四、两点间的距离
例5．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．
【答案】y=1或x=3
【解析】 设直线与直线1、2分别交于点A（x1，y1）、B（x2、y2），则，两方程相减，得(x1―x2)+(y1―y2)=5， ①
由已知及两点间距离公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25， ②
由①②解得或，又点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线上，因此直线的斜率为0或不存在，又直线过点P（3，1），所以直线的方程为y=1或x=3．
【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．
举一反三：
【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，求A、B两点的距离．
【答案】
例6．已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值．
【答案】，
【解析】 将函数表达式变形为：，可以看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小．
∵
．
它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．
∴的最小值为．
再由直线方程的两点式得的方程为3x―y―4=0．令y=0，得．∴当时，的最小值为．
【总结升华】本例中，由“”与两点间距离公式结构相似，因而可得到“”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．
举一反三：
【变式1】试求的最小值．
【答案】
【解析】，它表示点P（x，0）到点A（―1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．可转化为求两点A＇（―1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．
∴的最小值为．
类型五、点到直线的距离
例7．已知直线：和直线：相交于点P（m∈R）．
（1）用m表示直线与的交点P的坐标；
（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．
【思路点拨】（1）解方程组，能求出直线与的交点P的坐标．
（2）设点P到直线x+y+3=0的距离为d，，由此利用配方法能求出点P到直线x+y+3=0的距离最短时的P点坐标和最短距离．
【答案】（1）；（2）P（―3，2），
【解析】（1）解方程组，
得x=3m，，
∴直线与的交点P的坐标为．
（2）设点P到直线x+y+3=0的距离为d，
，
∴当m=―1时，即P点坐标为（―3，2）时，
点P到直线x+y+3=0的距离最短，最短距离为．
【总结升华】本题考查两直线交点坐标的求法，考查点到直线的最短距离及此时点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．
举一反三：
【变式1】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．
【答案】
【解析】
法一：直线过AB的中点（1，1），所以的方程为．
直线，则设的方程为
则，所以的方程为：
法二：由题意知直线的斜率存在，设的方程为，
则A、B两点到直线的距离

解得：
所以的方程为：和
【变式2】（2018春 重庆期末）已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．
（1）求动点P到直线距离的最小值；
（2）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为，求满足条件的实数a的取值．
【思路点拨】（1）由点到直线的距离公式与基本不等式的性质即可得出．
（2）设点，则，设，则，设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），对a与2的大小关系分类讨论即可得出．
【答案】（1）；（2）a=―1或
【解析】（1）由点到直线的距离公式可得：，
当且仅当时距离取得最小值．
（2）设点，则，
设，则，设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2）
对称轴为t=a
分两种情况：
（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值
∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．
（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，
∴t=a时，f（t）取最小值，
∴，∴（舍）．
综上所述，a=―1或．
类型六、两平行直线间的距离
例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．
【答案】（1）；（2）3x+y―20=0和3x+y+10=0
【解析】 （1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为1：y―2=k(x―6)，2：y+1=k(x+3)，即1：kx―y―6k+2=0，2：kx―y+3k―1=0．
∴，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0．
∵k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即且d≠9．
综合①②可知，所求的d的变化范围为．
（2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而，
∴所求的直线的斜率为―3．
故所求的直线方程分别为y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0．
【总结升华】在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解题的方法的再现，这说明数形结合可优化思维过程．
举一反三：
【变式1】已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是．
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到2的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）a=3 （2）
【解析】
（1）直线2即，
1与2的距离
解得．
（2）能找到点P，使得P点同时满足三个条件．
设点P，若P点满足条件②，
则P点在1、2平行的直线，
且，即或
或；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有，
或
由P在第一象限，所以不可能．
联立方程，解得，应舍去．
由，解之得
即为同时满足三个条件的点．
【巩固练习】
1．直线3x―(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k―3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9 C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9
2．斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（ ）．
A．x―y+1=0 B．x+y―1=0 C．x―2y+3=0 D．x―2y―3=0
3．（2017春 湖北期末）与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．4x+3y+5=0 B．4x―3y+5=0 C．4x+3y―5=0 D．4x―3y―5=0
4．无论m、n取何实数，直线(3m―n)x+(m+2n)y―n=0都过一定点P，则P点坐标为（ ）
A．（―1，3） B． C． D．
5．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．4x+2y=5 B．4x―2y=5 C．x+2y=5 D．x―2y=5
6．若直线与轴平行且与轴相距5时，则等于（ ）
A． B． C．8 D．0
7．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（ ）
A．20 B．19 C．18 D．16
9．（2018 浙江杭州模拟）已知直线l1：y=ax+2a与直线l2：ay=(2a―1)x―a，若l1∥l2，则a=________；若l1⊥l2，则a=________．
10．已知定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标是 ．
11．已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x―y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为________．
12．若直线m被两平行直线1：x―y+1=0与2：x―y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．
其中正确答案的序号是________（写出所有正确答案的序号）．
13．已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．
（1）求点A关于直线l的对称点A＇的坐标；
（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．
14．（2018春 浙江湖州期末）已知直线l1：3x+4ay―2=0（a＞0），l2：2x+y+2=0．
（1）当a=1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x―2y―1=0，求直线l的方程；
（2）求点到直线l1的距离d的最大值．
15．已知函数的定义域为（0，+∞），且．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N（如右图）．
（1）求a的值；
（2）问：PM·PN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由．
16．证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 不平行就相交，∴，∴k≠1且k≠―9．
2．【答案】B
【解析】 特殊值代入，设斜率为1的直线为y=x，
则它与2x+y―1=0的交点为，
与x+2y―2=0的交点为，代入得B．
3．【分析】由条件求得，与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为，且经过点，用点斜式求得要求直线的方程．
【答案】A
【解析】直线4x―3y+5=0的斜率为，与x轴的交点为，
故与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为，且经过点，
故要求的直线方程为，化简可得4x+3y+5=0，
故选：A．
【点评】本题主要考查关于x轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程．
4．【答案】D
【解析】方程可化为m(3x+y)+n(―x+2y―1)=0，它必过3x+y=0与―x+2y―1=0的交点，故选D．
5．【答案】B
【解析】 ，AB的中点为．故其垂直平分线的方程为，即4x―2y=5．
6．【答案】A
【解析】由题意知，，所以，或10，所以或8．
7．【答案】B
【解析】 由题意可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y=kx+b，即kx―y+b=0，
∴，，
两式联立解得b1=3，，∴k1=0，．故所求直线共有两条．
8．【答案】C
【解析】从已知的五个数中每次取两个数作为A、B的值，每两个数值可以得到两组A、B的值，得到两个方程．从1，2，3，4，5中取两个数，可以有以下10种取法：1，2；1，3；1，4；1，5；2，3；2，4；2，5；3，4；3，5；4，5，能得到20个直线方程，而其中x+2y=0和2x+4y=0，2x+y=0和4x+2y=0表示的是同一条直线，所以共表示18条直线，故选C．
9．【答案】a=1；a=0
【解析】（1）当a=0时，两条直线分别化为：y=0，―x=0，不满足l1∥l2，舍去；
当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，，
∵l1∥l2，∴，2a≠1．解得a=1．
综上可得：l1∥l2，则a=1．
（2）当a=0时，两条直线分别化为：y=0，―x=0，此时满足l1⊥l2，∴a=0；
当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，，
∵l1⊥l2，∴，解得a=0，舍去．
综上可得：l1⊥l2，则a=0．
故答案分别为：a=1；a=0．
10．【答案】
【解析】过A点作垂直于已知直线，此时线段最短．因为， ，，解得：．
11．【答案】―1
【分析】由已知可得直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x―y=10的交点，求出即可．
【解析】由三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x―y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，
则直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x―y=10的交点．
联立，解得，
把x=4，y=―2代入ax+2y+8=0得a=―1．
故答案为―1．
12．【答案】①⑤
【解析】 因为两平行直线间的距离为，直线m被截得的线段的长为，所以m与1的夹角是30°，又因为1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为30°+45°=75°或45°―30°=15°．故填①⑤．
13．【分析】（1）设A＇（a，b），则由点A关于直线l的对称点A＇，利用垂直和中点在对称轴上这两个条件，求得a、b的值，可得A＇的坐标．
（2）由于点A关于x轴的对称点，由线段的中垂线的性质可得即为△ABC的周长的最小值，计算求得结果．
【解析】（1）设A＇（a，b），则由点A关于直线l的对称点A＇，
可得，解得，
故A＇的坐标为．
（2）由于点A关于x轴的对称点，
，
∴△ABC的周长的最小值为．
【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直和中点在对称轴上这两个条件，以及线段的中垂线的性质，体现了数形结合的数学思维．
14．【答案】（1）2x+y+2=0；（2）
【解析】（1）当a=1时，直线l1：3x+4y―2=0，l2：2x+y+2=0，
则，解得交点（―2，2）．
又由直线l垂直于直线x―2y―1=0，则直线x―2y―1=0的斜率，
∵两直线垂直得斜率乘积为―1，
得到k1=―2．
∴直线l的方程为y―2=―2（x+2），即2x+y+2=0．
（2）直线l1：3x+4ay―2=0（a＞0）过定点，
又，
∴点M到直线l1的距离d的最大值为．
15．【答案】（1）（2）1
【解析】（1）∵，∴．
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，PN=x0，故有PM·PN=1，即PM·PN为定值，这个值为1．
16．【解析】 设出点P的坐标，由点P到直线y=x的距离公式求出PM的长，PN的长为点P的横坐标．
证明：设△ABC是边长为2a的等边三角形，以BC边所在直线为x轴，过BC边的中点O且垂直于BC的直线为y轴，建立如右图所示的直角坐标系，则点，B（―a，0），C（a，0），直线AB的方程为，直线AC的方程为，直线BC的方程为y=0．
设P（x0，y0）是△ABC内任意一点，
则点P到AB的距离，点P到BC的距离|PE|=|y0|，点P到AC的距离．
∵点P在直线AB，AC的下方，且在BC的上方，
∴（定值）．
因此，等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．