19.1.1.1变量与函数
教学目标和重难点
教学目标
知识技能
了解变量与常量的意义.（重点）在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式.（难点）
过程方法
通过感受运动与变化的数量关系初步体验函数思想.抓住关键词，感受常量与变量的意义
情感态度
感受变量是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具，加深学生对数学来源于生活的体验。
重点
能找出一个变化过程中的变量与常量，了解常量与变量的意义.
难点
体会运动变化过程中量的变化，较复杂问题中常量与变量的识别.在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式.为后面学习函数做准备.
教学过程
教学过程
教学内容
设计意图
创设情景
水调歌头·明月几时有【作者】苏轼?【朝代】宋
明月几时有？把酒问青天。不知天上宫阙，今夕是何年。我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒。起舞弄清影，何似在人间。
转朱阁，低绮户，照无眠。不应有恨，何事长向别时圆？人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。但愿人长久，千里共婵娟。
大林寺桃花【作者】白居易?【朝代】唐
人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。
长恨春归无觅处，不知转入此中来。
人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。高处不胜寒，说明 ____________随____________的变化而变化.
早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，
说明__________随______的变化而变化
“万物皆变” 今天我们一起走进一种量随另一种量的变化而变化的奇妙世界。书写课题：19.1.1.1变量与函数出示教学目标.
创设情景，引人入神，激发探索欲望。
自主探究合作交流
活动一：
师生活动1： 教师与学生一起通过计算填表，并分析问题一中出现的三个量，发现其中有些量的数值是变化的，如时间t，路程s；有些量的数值是始终不变的，如速度60km/h．
师生活动2 ：
?学生继续分析问题二、三、四中的量并分类，领会“变量”、“常量”的含义．发现在同一个变化过程中，始终保持不变的量为常量，而数值发生变化的量为变量．
问题一：汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．
1．请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
t
s/千米
60
120
180
240
300
60t
2．在以上这个过程中，变化的量是_时间_t_，路程s__．不变化的量是__速度v____．
3．试用含t的式子表示s，则s=__60t____.
4.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程_s___随行驶时间_t__的变化过程．
通过哪一个量可以确定另一个量？
问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出206张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．
１．请同学们根据题意填写下表：
售出票数（张）
早场150
午场206
晚场310
x
收入y (元)
1500
2060
3100
10x
2．在以上这个过程中，变化的量是_票数x张、票房收入y元_____．不变化的量是_票的售价10元/张
3．试用含x的式子表示y，则 y=__10x____
4.这个问题反映了票房收入y____随售票张数__x__的变化过程．
通过哪一个量可以确定另一个量？
问题三：圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的
半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别
为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？
１．请同学们根据题意填写下表：(用含的式子表示）
半径r(cm)
10
20
3
r
面积s（cm2）
100 Л
400 Л
900 Л
πr2
２．在以上这个过程中，变化的量是_半径r、面积s____．不变化的量是_π____．
３．试用含r的式子表示s．s=_πr2_____.
4、这个问题反映了 面积s_ 随 半径r 的变化过程．
通过哪一个量可以确定另一个量？
在常见的“行程问题”中，引导学生从“变与不变”的角度观察速度、时间、路程三个量，可以较为自然地引导学生对三个量进行分类．
有前述的示范引导，让学生自主探究“销售问题”、“几何问题”中的常量与变量，通过探索简单实例中的的数量关系和变化规律，深刻体会变量与常量的含义．
活动二：
形成概念
师生活动?： 学生思考并回答，教师给予引导．
思考归纳
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
数值发生变化的量：变量
数值始终不变的量常量
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.
请指出上面各个变化过程中的常量、变量.
从实际问题中抽象出变量、常量的概念，进一步体会常量与变量之间、变量与变量之间的关系。
活动三：
辨析概念
师生活动?：
先让学生通过独立思考和小组合作交流，再师生一起解决问题．
例1 指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ；
练一练
指出下列事件过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元；
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为 n；
（3）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.
思考 阅读并完成下面一段叙述：
人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ,变量是
s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ,变量是 .
根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的论：在不同的条件下，常量与变量是相对的
方法：区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
教师引导学生在常见的简单的实际问题中，通过合理、正确的思维，指出同一问题中的变量和常量．
活动四:
师生活动?:通过小组合作交流，探索结论．再由各小组学生回答，教师巡视并进行校对指导.
确定两个变量之间的关系
例2 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表
重物的质量(kg)
1
2
3
4
5
弹簧长度(cm)
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?
解：由题意可知m每增加1，L增加0.5， 所以L=10+0.5m.
例3.用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系．
解：S=x(20-2x)/2=x(10-x)
练一练
1.如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)
为 .
2.某地手机通话费为0．2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元．写出问题中的关系式指出其中的变量和常量．
解：W=30-0.2t,变量：通话时间t分钟和话费余额w元，常量：通话费0.2元／分钟和存入话费30元.
运用新知解决数学问题，在解题中识别常量和变量，巩固学生对所学知识的理解，通过小组合作学习，培养学生合作能力，板演解题过程既有示范作用也起到错误解答引领反思的作用。
活动五：
拓展应用
师生活动?: 学生分组讨论，通过小组合作交流，探索结论．再由各小组学生学生发表结论，教师进行点评指导.
1.根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表：
每天销售价（元/件）
200
190
180
170
160
150
…
每天的销售量y(件)
80
90
100
110
120
130
…
在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？请大胆猜想它们之间的变化规律，用关系式表示你猜想的变化规律，并指出关系式中的常量.
解：变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件），
当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化.
变化规律满足：y=280－x，关系式中的常量是：数字280.
本题是在学生认识了变化过程中的常量和变量后，只给出数量关系式问题背景，让学生通过思考，在已有知识基础上构造问题背景，进一步认识常量与变量，为后面继续学习函数定义及其应用打好基础．
第1题属于开放题，答案多种多样，即能激发学生的学习兴趣又能培养学生的逆向思维和发散思维。
第2题激励学生大胆猜想规律，即激发兴趣又培养能力.
活动六:
反思总结
师生活动：学生自我反思总结后自由发言，教师及时反馈并进行引领。
问题1：在一个变化过程中，什么是变量？什么是常量？
问题2：在一个变化过程中，量与量之间是否是相互依存和变化的？是否存在变化规律？怎样根据题意建立建立变量之间的关系式
培养学生归纳总结和反思的学习习惯和能力.
课件31张PPT。大林寺桃花
【作者】白居易?【朝代】唐
人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。
长恨春归无觅处，不知转入此中来。
19.1.1.1 常量与变量水调歌头·明月几时有
【作者】苏轼?【朝代】宋
明月几时有？把酒问青天。不知天上宫阙，今夕是何年。我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒。起舞弄清影，何似在人间。
转朱阁，低绮户，照无眠。不应有恨，何事长向别时圆？人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。但愿人长久，千里共婵娟。
丙辰中秋，欢饮达旦，大醉，作此篇，兼怀子由。
高处不胜寒，说明 ____________随____________的变化而变化.高山气温海拔高度人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。
早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明__________随______的变化而变化.天气温度时间万物皆变 情境引入1.了解变量与常量的意义.（重点）在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式.（难点）
2.通过感受运动与变化的数量关系初步体验函数思想，抓住关键词，感受常量与变量的意义.
3.感受变量是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具，加深学生对数学来源于生活的体验．讲授新课 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:请说明你的道理：60120180240300问题一速度×时间路程 =____________讲授新课 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:60120180240300问题一1．在以上这个过程中，变化的量是_______
_________．不变化的量是_____________．
2．试用含t的式子表示s．s=_______时间t、速度60千米/时60 t 这个问题反映了 .随 的变化过程. 路程s匀速行驶的汽车所行驶的路程s行驶时间t问题二 每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y ？1.早场票房收入 =日场票房收入 =晚场票房收入 =请说明道理：票房收入 =10×205 = 2050 （元）10×150 = 1500（元）10×310 = 3100 （元）售价×售票张数10x2．在以上这个过程中，变化的量是________________________．不变化的量是_________．
3．试用含x的式子表示y．y=_________ 售票张数x、票房收入y 售价10元票房收入y售票张数x这个问题反映了 随 的变化过程． 每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y ？如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？怎样用半径r来表示面积S?问题三圆面积S与圆的半径R之间的关系式是——————；
其中变化的量是 ；
不变化的量是——————.圆周率π圆的面积S，半径R如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？怎样用半径r来表示面积S?问题三圆的面积S半径R这个问题反映了 _________随________的变化过程．数值发生
变化的量变量数值始终
不变的量常量 上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？思考归纳S = 60ty = 10x在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.请指出上面各个变化过程中的常量、变量.S=πr2在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词： 和 .知识要点变量：常量：发生了变化始终不变典例精析例1 指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ；(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ；5a，m2，πC， rS， h 指出下列事件过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元；
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为 n；
（3）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α. 练一练思考： 阅读并完成下面一段叙述：⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ,变量是 .⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ,变量是 .
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的论： . 在不同的条件下，常量与变量是相对的at，ssa，t 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值. 怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，
所以L=10+0.5m.10.51111.51212.5例4.用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系．指出常量和变量解：长方形的长为x cm宽为 cm
S=x = x(10-x)，其中变量是长方形边长x,(10-x),
面积S，常量是周长20cm 1.如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm ,则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为 . L=12-0.5m练一练2.某地手机通话费为0．2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元，写出问题中的关系式指出其中的变量和常量．解：W=30-0.2t,变量：通话时间t分钟和话费余额w元，常量：通话费0.2元／分钟和存入话费30元.
根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？请大胆猜想它们之间的变化规律，用关系式表示你猜想的变化规律，并指出关系式中的常量.拓展应用解：变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件）， 当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化.
变化规律满足：y=280－x，关系式中的常量是：数字280.归纳总结常量与变量 1． 某人要在加工100个零件，对剩余零件个数p与工作时间t之间的关系，下列说法正确的是（??? ）
A．数量100、p、t都是变量??
B．数量100和p都是常量??
C．p、t都是变量? D．100、t都是常量?????
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）达标检测C????
2． 一根蜡烛原长是a（cm），点燃后燃烧的时间为t（min）,剩余蜡烛的长为y（cm）下列说法正确的是（??? ）
A．常量是a，变量是y、t ???
B．常量是t，变量是a、y ??
C．常量是y，变量是a、t ?
D．以上说法都不对
A 3. 以固定的速度 (米/秒)向上抛一个小球，小球的高度 (米)与小球的运动的时间 (秒)之间的关系式是 ，在这个关系式中，常量、变量分别为(??? )
A．4．9是常量， h、t 是变量?? ??
?B． 是常量， h、t 是变量
C． 、4.9 是常量，h 、t 是变量?
D．4．9是常量 ， 、h 、t是变量CVR5.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)
与单价 a（元）的关系式是 ，其中变量是 ，常量是 . a ，n50二、细心填一填（把正确答案直接填在横线上）6.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是 ，其中的常量是 ，变量是 . Q=40-5t40，5Q，t7.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是???????????????? ．y=0.5x8..用40cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系三、专心解一解解：S=x =x(20-x)，9.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数m与层数n之间的关系式.11+21+2+31+2+3+ …+n完成上表，并写出瓶子总数m与层数n之间的关系式x见《同步学习》本课时练习课后作业
