4.2 一次函数与正比例函数教案

课题：一次函数与正比例函数
教学目标：
知识与技能目标：
1、经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符合意义。
2、理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
过程与方法目标
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
情感与态度目标
1、通过函数与变量之间的关系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力
重点：
将实际问题用一次函数表示
难点：
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
教学流程：
课前回顾
函数
一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.
2、函数的表示法：
①图象法、
②列表法、
③解析式法（关系式法）
情境引入
探究1： 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；
(2) .
探究2：某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km
0
50
100
150
200
300
油箱剩余汽油量y/L
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?
答案 (1) 100、91、82、73、64、46；
(2) x与y之间的关系式为 ；
(3) 汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.
思考：这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
归纳：一次函数的定义
一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成(为常数,≠0)的形式,则称是的一次函数(是自变量,为因变量).特别地,当时,则是的正比例函数.
注意：1. ≠0
2.x的次数为1
3．常数k可以取任意实数
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，则称y是x的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数
练习1：
1、下列语句中,具有正比例函数关系的是( C ).
A.长方形花坛的面积不变, 长y与宽 x 之间的关系;
B.正方形的周长不变, 边长 x与面积 S 之间的关系;
C.三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间的关系;
D.圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.
2、下列说法正确的是（ D ）
A.一次函数是正比例函数.
B.正比例函数不是一次函数.
C.不是正比例函数就不是一次函数.
D.正比例函数是一次函数.
3、当m= _1或0__ 时，函数y=xm+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
练习2：已知正比例函数y=-2x，写出下列集合中相对应的自变量x的值或函数y的值。
探究3：写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?
汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系；
由路程=速度×时间,得,是的一次函数,也是的正比例函数；
圆的面积(厘米2)与它的半径(厘米)之间的关系；
由圆的面积公式,得,不是的一次函数,也不是的正比例函数；
(3)某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3 /h，x 小时后，水池内有水ym3 .
y = 5x+15，形如y=kx+b，所以y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
练习3：下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-x-4 它是一次函数，不是正比例函数.
（2）y=5x2+6 它不是一次函数，也不是正比例函数
（3）y=2πx 它是一次函数，也是正比例函数.
（4） 它不是一次函数，也不是正比例函数.
(5)y=-8x 它是一次函数，也是正比例函数.
自主思考
探究4：我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8（元）
（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y元与月收入x元之间的关系式；
y=(x－3500)×3%,
即y=0.03x－105；
（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
当x=4160时,
y=0.03×4160－105=19.8(元)；
（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
因为(5000－3500)×3%=45(元)
19.2<45
所以此人本月工资、薪金收入低于5000。
设此人本月工资、薪金收入是x元，则
解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
小结：一次函数、正比例函数定义及一般形式？
注:正比例函数是一种特殊的一次函数.
五、达标测评
1. 函数，当时，的值是（ C ）
A、1 B、0 C、－1 D、－5
2. 甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是 ，s是t的 一次 函数.
3.已知正比例函数y=2x中,
(1)若0< y <10,则x的取值范围为__0(2)若-6< x <10,则y的取值范围为__-124.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为一次函数；
(2)此函数为正比例函数.
解:(1)由题意得， k = 2-m≠0, m≠2,所以m≠2时, 此函数为一次函数.
(2)由题意, k = 2-m≠0, 解得，m≠2，
又因为b = 2m-3= 0, 解得，m=
所以当 m= 时,函数为正比例函数y= x.
5.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费(元)与通话次数(＞50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.
答案: (1)根据题意得: ×,即；
(2)当时,×；
(3)因为＞,可知通话次数大于50次,即当时,求的值.,解得.
六、应用提高
1、已知函数 ,m为何值时，y是x的一次函数？
解：由题意可知
解得m=-3
∴当m=-3时， y是x的一次函数。
2、已知y与x－3成正比例，且当x＝4时y＝3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)y与x之间是什么函数关系；(3)求x＝2.5时，y的值．
解 (1) ∵ y与x－3成正比例,
∴设y＝k(x－3)．
又∵x＝4时，y＝3，
∴3＝ k(4－3)，解得k＝3，
∴ y＝3(x－3)＝3x－9．
(2) y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．
3、已知一次函数y=kx+b,当自变量x=2时，
函数值y=－1；当x=5时，y=8。求k、b的值。
解：由x=2时y=-1,得 -1=2k+b；
由x=5时y=8,得 8=5k+b.
解方程组
得 k=3, b=-7.
∴ k的值为3, b的值为-7。
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、什么是一次函数
2、什么是正比例函数。
3、学会区分一次函数与正比例函数。
七、布置作业
教材82页习题第3、4题。