《探索勾股定理》基础练习
1. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（ ）
A. b2=c2﹣a2 B. a2=c2﹣b2 C. b2=a2﹣c2 D. c2=a2+b2
2.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（ ）
A. 169 B. 169或119 C. 169或225 D. 225
3. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ）
A. 12米 B. 13 C. 14米 D. 15米
4. 在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A. 18 B. 9 C. 6 D. 无法计算
5如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的平方为（ ）
A B. 8 C. D.5
6.求出下面直角三角形中未知边的长度：
X= ;y= 。
7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于__________．
8.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_ _．
9.如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．
10.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__cm2．
11.如图，已知中，，CD是高，，，求AB的长 ?
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
12.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为
A. 4 B. 16 C. D. 4或
13.适合下列条件的中，直角三角形的个数为 ，，； ，； ，，； ，．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
14.如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为
A. B. C. D.
15.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成角，如图所示，这棵树在折断前的高度是
A. 10m B. 15m C. 5m D. 20m
答案和解析
【解析】
1. 解：
【答案】C
【解析】试题分析：根据勾股定理可得：a2＋b2＝c2，故D正确；
将上式变形可得：b2＝c2﹣a2，a2＝c2﹣b2，故A、B正确，
所以错误的是C，
故选C．
2. 解：
【答案】B
【解析】若12和5都为直角边，则第三边长平方为169
若12为斜边，5为直角边，则第三边为119，所以选B.
3. 解：
【答案】A
【解析】如图所示，
AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=12米。
故选A.
4. 解：
【答案】A
【解析】试题分析：∵Rt△ABC中，BC为斜边，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AB2＋AC2＋BC2＝2BC2＝2×32＝18．
故选A．
5. 解：
【答案】B
【解析】试题解析：如图，延长BG交CH于点E， 在△ABG和△CDH中，
∴△ABG≌△CDH（SSS）， AG2+BG2=AB2， ∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°， ∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°， 又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°， ∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6， 在△ABG和△BCE中，
∴△ABG≌△BCE（ASA）， ∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°， ∴GE=BE-BG=8-6=2， 同理可得HE=2， 在RT△GHE中，GH2=8.故选B．
6. 解：
【答案】X= 5 ;y= 5
7. 解：
【答案】8π．
【解析】根据圆的面积计算公式及勾股定理可得．
8. 解：
【答案】
【解析】试题解析：由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x=.
9. 解：
【答案】54cm2
【解析】试题分析：根据勾股定理，得
直角三角形的另一条直角边是9（cm）．
则直角三角形的面积＝×12×9＝54（cm2）．
故答案为：54cm2．
10. 解：
【答案】17
【解析】试题解析：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
11. 解：
【分析】 本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出BC的长，同理解答即可．
【解答】 解：，， ，又CD是高， ， ， ， ， 故选C．
12. 解：
当3和5都是直角边时，第三边长为：； 当5是斜边长时，第三边长为：． 故选：D． 此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可． 此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
13. 解：
，，， ， 满足的三角形为直角三角形； ，， 只此两个条件不能断定三角形为直角三角形； ，，， ， 满足的三角形为直角三角形； ，， ， 满足的三角形为直角三角形． 综上可知：满足的三角形均为直角三角形． 故选C． 根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论． 本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方或寻找三角形中是否有一个角为直角”是关键．
14. 解：
试题分析：根据对称性可知：，，又，所以∽，根据相似的性质可得出：，，在中，由勾股定理可求得AC的值，，，将这些值代入该式求出BE的值． 设BE的长为x，则、 在中， ， ∽两对对应角相等的两三角形相似 ，， ， 故选：C．
15. 解：
如图，在中，，， ， 大树的高度为． 故选B． 根据题意可以得直角三角形中，较短的直角边是5，再根据所对的直角边是斜边的一半，得斜边是10，从而求出大树的高度． 此题要求学生主要掌握直角三角形的性质：所对的直角边是斜边的一半．
数学
课题：探索勾股定理 课型：新授课 授课时间：
【学习目标】1.探究直角三角形三边之间的数量关系，理解、掌握勾股定理的内容。
2.运用拼图的方法证明勾股定理。
3.应用勾股定理解决简单的实际问题。
【重点难点预见】
重点：1. 理解、掌握勾股定理的内容。
2. 运用拼图的方法证明勾股定理。
难点：应用勾股定理解决实际问题。
【热身赛场】
1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则AB边称为 边，BC和AC
边称为 边。
2.在Rt△ABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形
的面积可表示为S= 。
3.正方形的面积公式：边长为a的正方形面积S= 。
【探索规律】
问题1：参看教材的图形
观察图1-2，请计算出正方形A、B、C的面积；并猜想它们之间的关系：
(1)左图中，
(2)右图中，
2.正方形A、B、C的面积之间有什么关系： 。
问题2：参看书的图形
1.观看图1-3，请计算出正方形A、B、C的面积；并猜想它们之间的关系：
(1)左上图中，
(2)右下图中，
2．正方形A、B、C的面积之间有什么关系： 。
结论：
以直角三角形 为边的正方形面积和，等于以 为
边的正方形面积。
【数学实验室】
实验任务：利用拼图的方法验证勾股定理。
证明1：
大正方形的面积表示为 ，
或者为 .
所以： = 。
化简为： 。
证明2：
大正方形的面积表示为 ，
或者为 。
所以： = 。
化简为： 。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，
那么
【实战训练场】
号场：求出下列直角三角形中未知边的长度。
②号场：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，
CD⊥AB于D.求(1)AC的长；(2) △ABC的面积；
【达标测评】
在Rt△ABC中，已知∠C=90°.
①若a=3，b=4，则c= ；
②若a=6,c=10，则b= .
2.在Rt△ABC中，已知∠A=90°，若a=13,b=5,则c= .
3.某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为
1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为：
.
【思维拓展】
（总统证明法）美国总统伽菲尔德用下图的方法证明勾股定理，请你帮他写出证明过程：
【教法、学法指导】
备注（教师复备栏或学生笔记栏）
（国际数学家大会会标）
自主反思：
作业记载：
《探索勾股定理》
勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用于生活”是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。
【知识与能力目标】
1.经历用测量和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的语言表达能力和初步的逻辑推理能力。
【过程与方法目标】
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
【情感态度价值观目标】
在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
【教学重点】
了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
【教学难点】
勾股定理的发现
一、创设情境，引出课题
同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受。你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！
二、引入新知
用数格子的方法探索勾股定理
1.展示教材P2图1-2，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？
（1）观察图，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：[
生1:我先数整个格子有12个，两个三角形格子拼成一个正方形格子，能凑6个，一共是18个.
生2:把正方形对折，得到两个三角形.(学生板演，并列式计算)
生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演，口述面积求法)
师:方法不错，你们很善于动脑筋，我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积，还有什么方法可以得到吗？
生:在正方形C的外侧画一个大正方形，用大正方形的面积减去4个三角形的面积。(学生板演，口述面积求法)
师:很好，他采用了补形的方法计算面积。
图1-2中，正方形A，B，C 之间的面积之间有什么关系？
生1:SA+SB=SC.
生2:a2+b2=c2.
师:我们看到上面的三角形具有特殊性，是等腰直角三角形，一般三角形能验证吗？
展示教材P2图1-3部分图.
(1)正方形A的面积是多少个方格？正方形B的面积是多少个方格？
(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格？
（提示：在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形，变成一个新的大正方形。）
(3)三个正方形的面积之间有什么关系？
同桌交流、小组讨论，共同探讨如何求正方形的面积，找到三边平方之间的关系.
验证：如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.
学生思考、交流，教师请学生口答，并板书，指出这就是这节课要学习的勾股定理。
学生总结： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
问题思考：(1)运用此定理的前提条件是什么？
(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式？
(3)由(2)知直角三角形中，只要知道 条边，就可以利用 求出 .?
拓展：
1.由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式，如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).
2.在钝角三角形中，三角形三边长分别为a，b，c，若c为最大边长，则有a2+b2c2.
勾股定理的简单应用（学生合作探究）
课件展示习题练习内容：
例 下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
教师带领学生解答。巩固新知
三、归纳总结：
1.勾股定理的由来.
2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.
3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
略
课件22张PPT。 假如我们一旦和外星人见面，该使用什么语言呢？使用“符号语言”与外星人联系是最经济和最有效的，外星人也最可能使用这种语言,并且最可能是数学语言.中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个图形作为与外星人交谈的媒介，一个是“数”，另一个是“数形关系”（勾股定理）.因为这种自然图形所具备的“数形关系”在整个宇宙中是普遍的。同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！勾股树1.知识目标
(1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.
(2)已知直角三角形两边的长，会利用勾股定理求
第三边.
2.教学重点
勾股定理的探索与应用.
3.教学难点
勾股定理实际生活中的应用.1.阅读课本 回答问题（1）观察图1-1
正方形1中含有 个
小方格，即它的面积是
个 单位面积. 正方形2的面积是
个单位面积.正方形3的面积是
个单位面积.999181.阅读课本 回答问题（2）在图1-2中，正方形1，2，3中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现两图中三个正方形1，2，3的面积之间有什么关系吗？ S1+S2=S34,4,8 （图中每个小方格代表一个单位面积）S1=S2= S3= 32+42= 5291625= 32 = 42 = 521.阅读课本 回答问题 S1+S2=S3 推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？猜想:两直角边a,b与斜边c 之间的关系？a2+b2=c2勾股定理（gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股弦 例 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米 ， AC=12厘米，求斜边AB的长度. 解：在Rt△ABC中根据勾股定理,答：斜边AB的长度为13厘米 AC2+BC2=AB2，，，...基础练习：
1.（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度： 已知直角三角形两边，求第三边. 325 x=82.求下列图中字母所表示的正方形的面积=625=1441.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为 。64 cm22.求出图中直角三角形第三边的长度.53.已知∠ ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.
求CD的长.解：∵ ∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴ AB=AC+BC=25，
即AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= . 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？想一想课外练习
一、判断题. 1.△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2.△ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二、填空题 3.在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
△ABC面积为_____,斜边上的高为______.??244.8ABCD4.观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值.即b= ，c= .84855. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少? ABC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
所以BC=0.7.本节课你学到了什么?感悟与反思勾股
定理
