《勾股定理应用》同步练习
1.为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ）
A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米
2.如图1所示，有一块三角形土地，其中∠C＝90°，AB＝39米，BC＝36米，则其面积
是（ ）
A.270米2 B.280米2
C.290米2 D.300米2
3.有一个长为40cm，宽为30cm的长方形洞口，环卫工人想用一个圆盖盖住此洞口，那么
圆盖的直径至少是（ ）
A.35cm B.40cm C.50cm D.55cm
4.下列条件不能判断三角形是直角三角形的是 （ ）
A.三个内角的比为3:4:5 B.三个内角的比为1:2:3
C.三边的比为3:4:5 D.三边的比为7:24:25
5.若三角形三边的平方比是下列各组数，则不是直角三角形的是（ ）
A. 1:1:2 B. 1:3:4 C. 9:16:25 D. 16:25:40
6.若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.10
7.如图2所示，在某建筑物的A处有一个标志物，A离地面9米，在离建筑物12米处有一
个探照灯B，该灯发出的光正好照射到标志物上，则灯离标志物____米。
8.小芳的叔叔家承包了一个长方形鱼塘，已知其面积是48平方米，
其对角线长为10米.若要建围栏，则要求鱼塘的周长，它的周长
是____米。
9.公园内有两棵树，其中一棵高13米，另一棵高8米，两树相距
12米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少
要飞_____米。
10.若把一个直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的____倍。
11.若△ABC的三边长分别是，则∠A=____，∠B=____，∠C=____。
12.某三角形三条边的长分别为9、12、15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的周长
是______，面积是_____。
13.如图4所示，AB是一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C
处有一筐桃子，一只猴子从D往上爬到树顶A，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处下滑到B，又沿B跑到C，已知两只猴子所通过的路程均为15米，求树高AB。
14.在平静的湖面上有棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐
至水面，已知水草移动的水平距离是6分米，求这里的水深是多少？
15.在6米高的柱子顶端有只老鹰，看到一条蛇从距离柱子底端18米处的地方向柱子的底
端的蛇洞游来，老鹰立即扑下.若它们的速度相等，问老鹰在离蛇洞多远处能抓住蛇（假
设老鹰按直线飞行）。
16.如图5所示，在△中，是边上的高，；在△中，是边上的高，.△的面积是35，求∠的度数。
在△ABC中，是边上的高，AC= 4，BC= 3，BD= 1.8，问△ABC是直角三角形吗？写出证明过程。
18.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长
19、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______
20、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________
21.如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。
22.如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
23.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
24如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
25.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离。
26.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm。
27.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线。
28.如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由。
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。
答案与解析
一、1.B； 2.A； 3.D； 4.C； 5.C； 6.A； 7.D； 8.C
二、9.15；10.800；11.28；12.13；13.3；14. 2；
15. 45°，45°，90°；16.42，108.
三、17．设AD为米，则AB=BD＋AD=(10+)米，AC=(15-)米，BD=5米.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC，即（10++5=(15-)，故=2，从而AB=10+2=12（米），即树离AB是12米。
18．根据题意画出如图9所示的图形，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过来时水草的具体位置，CD=3分米，BC=6分米，AD＝AB，BC⊥AD，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2，即（AC+=AC+36，故AC= 4.5，即这里的水深是4.5米。
19．由题意，得老鹰与蛇所走路程相等，设此路程为米，则蛇距蛇洞为米被鹰抓住；由，得=5，则，即老鹰在距蛇洞4米处抓住蛇。
20．由题意画出示意图（如图10），则AB=3，CD=14-1=13，BD=24；过A作AE⊥CD于E，则CE=13-3=10，AE=BD=24；在Rt△AEC中，AC=CE+AE=102+242=262，故AC=26，因26÷5=5.2(秒)，即至少要5.2秒才能飞回窝中。
21．因为，又，故.因为，，故有所以△是直角三角形，故∠。
3 勾股定理的应用
一、学习目标
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
2、能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解。
3、培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识。
二、学习方法
自主探究与合作交流相结合
三、学习重难点
如何将立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识如对称、线段公理、点到直线的距离等求最短路径问题。
四、学习过程
模块一 预习反馈
1、自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，
你觉得哪条路线最短呢？
2、 直角三角形两锐角 ，三边满足 .
3、如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是 。
4、两点之间的 最短，但蚂蚁在圆柱体表面爬行时，所走路线必定为 线。
5、立体图形转化为 图形，再转化为 问题。
6、如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 .
7、如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD和BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了有刻度的卷尺。
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长30厘米，AB长40厘米，BD长50厘米，则AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能用加减法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
模块二 合作探究
1、你能再帮帮下面两位探险者吗？
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源。为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米。早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
2、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
3、问：一只壁虎在油桶的下边缘A，发现油桶的上边缘B处有一只小虫子，壁虎想吃掉这只虫子，但又怕虫子发现它而跑掉。于是，壁虎想出了一个好办法，它不直接向虫子爬，而是绕着油桶爬行，如图所示，避开小虫子的视线，从小虫子背后偷袭。你知道按照壁虎的办法怎样爬行路最短吗？
模块三 形成提升
1、某工厂的大门是一个长方形ABCD，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3m，AB=2m。现在有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6，问这辆卡车能否通过厂门？并说明你的理由。
2、历史趣题：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
3、问：寒冷的冬天，你需要一杯热热的朱古力。可是在调制的过程中，老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部的饮料。已知圆柱形水杯的底面直径为5cm，高为12cm，你能帮老师计算一下搅拌棒至少要多长吗？老师新买的一根长为24cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？
模块四 小结评价
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
知识：
方法：
本节易错点：
课外作业：
A层：
1. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=14，b=48，则c=________； ②若a=8，c=17，则b=_______.
2．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定
3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草）．
4．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则S3=___ _．
B层：
1、如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木齐，问葛藤长多少？
2、如图所示，有一长为8cm，宽为4cm，高为5cm的长方体，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？
3．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你计算OA9的长.
《勾股定理的应用》
勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。
【知识与能力目标】
能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。
【过程与方法目标】
在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
【情感态度价值观目标】
激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验。
【教学重点】
应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
【教学难点】
从实际问题中合理抽象出数学模型。
一、创设情境，引出课题
课件展示：在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A到B 路线，而不选择A到C 到B路线，难道小狗也懂数学？
二、探索新知
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
效果：
从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
合作探究
内容：
学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．
意图：
通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
效果：
学生汇总了四种方案：
（1） （2） （3） （4）
学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：，
情形（2）中A→B的路线长为：
所以情形（1）的路线比情形（2）要短．
学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．
如图：
（1）中A→B的路线长为：．
（2）中A→B的路线长为：>AB．
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．
（4）中A→B的路线长为：AB．
得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则．
注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：
1．审题——分析实际问题；
2．建模——建立相应的数学模型；
3．求解——运用勾股定理计算；
4．检验——是否符合实际问题的真实性．
勾股定理的实际应用
内容：
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
解答：（2）
∴AD和AB垂直．
意图：
运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．
效果：
先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
小试牛刀
课件展示典型例题，教师讲解
三、归纳总结：
师生相互交流总结：
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
意图：
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．
效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．
略
课件32张PPT。勾股定理的应用蚂蚁怎样走最近 一.?? 复习巩固:
1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走。1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进。上午10：00，甲、乙二人相距多远？
?
?
?二.?? 引入问题:
请同学们拿出昨天做好的圆柱和长方体模型,请同学们想象一下: 有一只小蚂蚁想从A点爬到B点。请大家思考,动手探索:用什么方法可以帮小蚂蚁找到（也就是画出）从A点到B点的最短的路线. 思考,讨论五分钟.引导语一:如果是一只飞蚂蚁,或鱼缸中的金鱼,则在空间中连接AB. 因为两点之间线段最短!引导语二: 尝试从A点到B点沿圆柱和长方体侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
你能把A点和B点所在的侧面变成同一平面吗?思考2分钟. 引导语三:将圆柱.长方体侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？
你画对了吗？ 你画对了吗？ 三.?? 巩固练习:
如图下图所示。有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的A点相对的B点处的事物，需要爬行的最短路程是多少?（п取3） 答:蚂蚁的最短路程是15厘米 2.有一圆柱形油罐,如图所示,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米）[即或: 刚才问题的条件都不变,把问题改成:点B在上底面上且在点A的正上方,蚂蚁从点A出发绕圆柱测面一周到达点B,此时它需要爬行的最短路程又是多少?] 答: 旋梯至少需要13米长. 3. 如图所示,一块砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm.地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,要爬行的最短路线是多少?
?
答:蚂蚁爬行的最短路线是17厘米.四.实际“做一做”: 拿出课前教师先准备好第14页雕塑底座正面ABCD做纸板模型,
问: 谁有什么办法来检测AD是否垂直于AB? 稍后又问: 没有三角板,只有软尺呢? 等学生讨论后发现思路后, 让学生代表亲自动手上台当全班同学面进行亲自测量,并让另一同学做记录.然后要每一同学计算并在同桌两人中轮流说明是否垂直的理由. 测量记录: AB=_____ AD=_____ BD=______计算分析:教师再拿出几块类似的四边形纸板, 让学生测量后长度后计算后判断是否有垂直关系. 最后提出第14页的问题（3）,让学生讨论后回答出多种不同的好方案.
五.?? 挑战“试一试”:
某工厂的大门如图所示,其中四边形ABCD是正方形,上部是以AB为直径的半圆, 其中AD=AB=2米,现有一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米.
问这辆卡车能否通过厂门? 说明理由。 OE=OB=1米 OH=0.8米
答:这辆卡车能够通过厂门.我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，下面我们用另一种方法来说明它是正确的。
（1）在一张纸上画4个与图1—6全等的直角三角形，
并把它们剪下来。
abc图1--6（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有一斜边c为边长的正方形。你能利用它说明勾股定理吗？
3）有人利用这4个直角三角形拼出了图1—7，
你能用两种方法表示大正方形的面积吗？
大正方形的面积可以表示为： ，
又可以表示为： 。
baabababcccc图1--7对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？?
ABC分析：根据题意，可以画出图1—8，其中A点表示男孩头顶的位置，
C，B点表示两个时刻飞机的位置，∠C是直角，那么就可以由勾股定理来解决这个问题了。
ABC图1--8解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是50002=BC2+40002，
所以BC=3000。
飞机飞行3000米用了20秒，那么它1时飞行的距离为
3000×3×60=540000米，即它飞行的速度为540千米/时。议一议图1—9
观察图1—9，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。
cbaabc探究与思考1.在直角三角形中,斜边长为13cm,一直角边长为12cm,求这个直角三角形的面积和周长.
2.在直角三角形中,斜边长为26cm,一直角边长为另一直角边长的2.4倍求这个直角三角形的面积和周长.1．已知：一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，求：离开港口A2小时后，两船的距离。2．已知：一根旗杆在离地面12米的B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部5米处的地方，求：旗杆折断之前的高度。练习作业布置:
P6习题1.2
1-5题
