第二章 实数
1 认识无理数
学习目标：通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
学习方法与媒体：独立思考、小组合作探究 学案（学具：两个边长为1的正方形，剪刀）
学习过程：
一、知识链接：
到目前我们都学过哪些数?
在小学我们学过：
在初一我们还学过：
我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，把数扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
二、自主学习、合作探究：
学生活动一：1、提出问题：请同学们拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真思考之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。先独立完成，然后小组交流。
2、总结做法后继续出示问题：（1）拼成的大正方形的面积是多少？边长呢？
（2）假设拼成的大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？a是整数吗？a是分数吗？
学生活动二： 做一做：
如下图，直角三角形的两直角边长分别是1、2，
(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
学生活动三：通过活动,你从中得到了什么启示? （2分钟思考，3分钟交流）
要点小结：
三、质疑问难：
四、整体建构：
五、当堂测试：
1、如图，正三角形ABC的边长为2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
2、如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，试从连接这些小正方形的两个顶点所得
的线段中，分别找出两条长度是有理数的线段，两条长度不是有理数的线段.
六、课后达标：Ａ组：
1.面积为6的长方形，长是宽的3倍，则宽为（ ）
Ａ整数 Ｂ分数 Ｃ有理数 Ｄ以上都不对
2.以下各正方形的边长不是有理数的是（ ）
（A）面积为25的正方形； (B) 面积为的正方形；
(C)面积为8的正方形； (D) 面积为1.44的正方形.
B组.
３．在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０，ＡＣ＝２，ＢＣ＝２，则ＡＢ为（ ）
Ａ整数 Ｂ分数 Ｃ有理数 Ｄ以上都不对
４．在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，回答下列问题：
（１）若a=3,b=4, 则c= ；
（2）若a=2,b=3, 则c2= ；c可能是整数吗？可能是分数吗？
（3）若a=2,c=3, 则b2= ；b可能是整数吗？可能是分数吗？
七、课后反思：
课后阅读：阅读下面的资料，在数学中，有理数的定义为：形如的数（p、q为互质的整数，且p≠0）叫做有理数，当p=1，q为任意整数时，有理数 就是指所有的整数，如： =-2等，当p≠1时，由p、q互质可知，有理数就是指所有的分数，如，-，-等，综上所述，有理数就是整数和分数的统称.
《认识无理数》
勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。
【知识与能力目标】
能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
【过程与方法目标】
在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
【情感态度价值观目标】
激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验.
【教学重点】
应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．
【教学难点】
从实际问题中合理抽象出数学模型．
一、创设情境，引出课题
课件展示：小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？
二、探索新知
【剪剪拼拼】
把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？
目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．
效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．
获取新知
内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】
【议一议】： 已知，请问：①可能是整数吗？②可能是分数吗？
【释一释】：释1．满足的为什么不是整数？
释2．满足的为什么不是分数？
【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然不是整数也不是分数，那么一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础。
【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段
目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣
效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．
应用与巩固
内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】
【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：
1．长度是有理数的线段
2．长度不是有理数的线段
【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1）
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
【仿一仿】：例：在数轴上表示满足的
解： （右2）
仿：在数轴上表示满足的
【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把
它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3）
目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．
三、归纳总结：
内容： 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？
2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？
3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．
效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结。
略
《2.1 认识无理数》练习
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
边长为2的正方形的对角线长是（ ）
A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数
一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间
已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则AB的取值范围是（ ）
B.
C. D.
下列实数是无理数的是（ ）
A. B. 0 C. D.
下列各数：，0，0.23，，0.3030030003…（每个3后增加1个0）中无理数个数为（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
下列说法中，正确的个数为（ ） ①无限小数都是无理数； ②不循环小数都是无理数； ③无理数都是无限小数； ④无理数也有负数； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
下列各数：3.141?59，4.21，π，，1.010?010?001…中，无理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
下列各数： ①面积是2的正方形的边长； ②面积是9的正方形的边长； ③两直角边分别为6和8的直角三角形的斜边长； ④长为3，宽为2的长方形的对角线的长． 其中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
如图，每个小正方形的边长都是1，图中A，B，C，D四个点分别为小正方形的顶点，下列说法： ①△ACD的面积是有理数； ②四边形ABCD的四条边的长度都是无理数； ③四边形ABCD的三条边的长度是无理数，一条边的长度是有理数． 其中说法正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
如图是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形．边长是有理数的正方形有______ 个，边长是无理数的正方形有______ 个．
如图为边长为1的正方形组成的网格图，A，B两点在格点上，设AB的长为x，则x2= ______ ，此时x ______ 整数，______ 分数，所以x ______ 有理数．
如图，图中是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA，CB，CD，CE四条线段，其中长度既不是整数也不是分数的有______ 条．
若a2=11（a＞0），则a是一个______ 数，精确到个位约是______ ．
写出一个比4小的正无理数______．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
已知Rt△ABC中，两直角边长分别为a=2，b=3，斜边长为c． （1）c满足是什么关系式？ （2）c是整数吗？ （3）c是一个什么数？
如图，分别以Rt△ABC的边为一边向外作正方形，已知AB=2，BC=1． （1）求图中以AC为一边的正方形的面积； （2）AC的长是不是无理数？若是无理数，请求出它的整数部分？
把下列各数填入相应的集合里：0.236，0.3，-，-，18，-0.021021021…，0.34034003400034…，3.7842…，0． 正数集合{ ______ } 负数集合{ ______ } 有理数集合{ ______ } 无理数集合{ ______ }．
如图所示，等腰三角形ABC的腰长为3，底边BC的长为4，高AD为h，则h是整数吗？是有理数吗？
设边长为4的正方形的对角线长为x． （1）x是有理数吗？说说你的理由； （3）请你估计一下x在哪两个相邻整数之间？ （3）估计x的值（结果精确到十分位）； （4）如果结果精确到百分位呢？
答案
1.D
2 B
3. B
4.C
5.A
6.B
7.B
8.C
9.C
10.C
11.3；6
12.5；不是；也不是；不是
13.3
14.无理；3
15.π（答案不唯一）
16.解：（1）c满足是的关系式c2=a2+b2=13； （2）c=，不是整数； （3）c是无理数．
17.解：（1）∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1， ∴AC2=AB2+BC2=4+1=5， ∴以AC为一边的正方形的面积为5； （2）∵AC=， ∴AC的长是无理数， 又∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴的整数部分为2．
18.0.236，0.37，18，0.34034003400034…，3.7842；-，-，-0.021021021…；0.236，0.37，18，-，-0.021021021…，0…；-，0.34034003400034…，3.7842…
19.解：如图所示：∵等腰三角形ABC底边BC的长为4，高AD为h， ∴BD=CD=BC=2， 在Rt△ABD中，则底边上的高为：h=AD===， ∴h不是整数，也不是分数，从而不是有理数．
20.解：（1）x不是有理数． 理由：由勾股定理可知x2=42+42=32，首先x不可能是整数（因为52=25，62=36，所以x在5和6之间）， 其次x也不可能是分数（因为若x是最简分数，则（）2，仍是一个分数，不等于32）， 综上可知：x既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数； （2）x在5和6之间； （3）∵边长为4的正方形的对角线长为x， ∴x=4≈5.7； （4）4≈4×1.414≈5.66．
课件21张PPT。情境引入学习目标1.了解无理数的基本概念．（重点）
2.借助计算器估计无理数的近似值． 小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？情境引入活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？111还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？因为S大正方形=2，所以a2=2.从“数”的角度：因为 a2=2, 而12=1, 22=4
所以 12
所以 1< a< 2，a不是整数取出一个三角形 从“形”的角度：在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a
根据三角形的三边关系：
AC-BC< a 所以0（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格1a2面积为2问题2：a究竟是多少？请同学们借助计算器进行探索1 （2） a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？
a=1.414 213 56…, 它是一个无限不循环小数想一想估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到百分位.
b=2.236067978…，它也是一个无限不循环小数做一做 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？无限不循环小数为无理数.
如π=3.14159265…，0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）要点归纳例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，- ，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.
典例精析. . 无理数有：0.1010001000001….整数有____________________________
有理数有_________________________
无理数有__________________________ 填空：在实数【跟踪训练】归纳总结1．圆周率 及一些最终结果含有 的数.2．有一定的规律，但不循环的无限小数.无理数的特征:当堂练习1.下列各数： 1， (相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【解析】无限不循环小数是无理数，其中
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.A【解析】因为3.14是小数， 是分数， 是无限循环小
数，所以选项A,B,D都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数. 2.下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. D.
C(1)有限小数是有理数; （ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ）
(3)无理数都是无限小数; （ ）
(4)有理数是有限小数. （ ） 3. 判断题╳√√╳4.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；
B.面积为 的正方形；
C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形. C认识无理数无理数的概念及认识课堂小结借助计算器求无理数的近似值