1.2 一定是直角三角形吗 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数据是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．6，9，12 C．12，15，18 D．12，35，36
2．下列四组数据中是勾股数的有（ ）
①5、7、8 ②、3
③9、12、15 ④n2+1，n2﹣1 2n（n＞1）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．1，2， C．3，4，5 D．6，8，12
4．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5
C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B
7．下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2﹣c2=b2 B．（a﹣b）（a+b）+c2=0 C．∠A=∠B=∠C D．∠A=2∠B=2∠C
8．给出下列几组数：①4，5，6；②8，15，16；③n2﹣1，2n，n2+1；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0）．其中一定能组成直角三角形三边长的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．④
9．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（ ）
A．8 B．9 C． D．10
二．填空题（共10小题）
11．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三角形．
12．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD= ．
13．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：① ； ② ．
14．观察下列式子：
当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5
n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10
n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．
15．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
16．在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC= ．
17．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是 三角形．
18．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
19．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
20．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为 ．
三．解答题（共4小题）
21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
22．如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．
23．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．
（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；
（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有 个．
24．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．A．2．A．3．D．4．C．5．A．6．C．7．C．8．B．9．A．10．C．
二．填空题（共10小题）
11．直角．12．5 13．3，4，5；6，8，10．14．2n，n2﹣1，n2+1．15．24．16．10.5．17．直角．18.
19．11、60、61．20．是等腰直角三角形．
三．解答题（共4小题）
21．解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
22．解：连接BD．
∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，
∴根据勾股定理可得BD=3，
又∵CD=5，BC=4，
∴CD2=BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB?AD+BC?BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．
23．解：（1）（2）如图所示：
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．
故答案是：4．
24．
解：（1）△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5．
故△ABC的面积为5；
（2）∵小方格边长为1，
∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形．
1.2一定是直角三角形吗
学习目标
1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。
2．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力。
落实目标
1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
合作探究
通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，
①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17；
并回答这样两个问题：
1．这三组数都满足吗？
2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。
经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②7，24，25满足，可以构成直角三角形；③8，15，17满足，可以构成直角三角形。
从上面的分组实验很容易得出如下结论：
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，
满足的三个正整数，称为勾股数。
巩固拓展
1．同学们还能找出哪些勾股数呢？
2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?
进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系
下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
①9，12，15； ②15，36，39；
③12，35，36； ④12，18，22
5．一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ）
A 250 B 150 C 200 D 不能确定
6．如图1：在中，于，，则是（ ）
A 等腰三角形 B锐角三角形
C 直角三角形 D钝角三角形
7．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形
C 钝角三角形 D 不能确定
8、一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
9、随堂练习（见课本）
课后反思
《一定是直角三角形吗》
本节课是学生在学习了勾股定理的内容和验证的基础上，提出相反的问题，引发对勾股定理逆定理的思考，进而进行验证，本节内容为今后学习直角三角形的判定起着很好的作用。
【知识与能力目标】
1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；
【过程与方法目标】
经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；
【情感态度价值观目标】
体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；
【教学重点】
理解勾股定理逆定理的具体内容。
【教学难点】
理解勾股定理逆定理的具体内容。
一、创设情境，引出课题
课件展示：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第1个结处.
二、探索新知
内容1：探究
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：
1．这三组数都满足吗？
2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。
意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②7，24，25满足，可以构成直角三角形；③8，15，17满足，可以构成直角三角形。
从上面的分组实验很容易得出如下结论：
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形
内容2：说理
提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现。你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？
意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形。
满足的三个正整数，称为勾股数。
注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识。
活动3：反思总结
提问：
1．同学们还能找出哪些勾股数呢？
2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?
4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系
第三环节：小试牛刀
课件展示典型例题，教师带领学生巩固练习。
三、归纳总结：
师生相互交流总结出：
1．今天所学内容①会利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形；②满足的三个正整数，称为勾股数；
2．从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：①数学是源于生活又服务于生活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算。
意图：
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。
效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用。
略
课件25张PPT。？一定是直角三角形吗复习回顾：
1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ）
A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定
2.直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ）
A.6厘米 B. 8厘米
C. 80/13厘米 D.60/13厘米
CD古埃及人曾用下面的方法得到直角:用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住
绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,
拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处。2 做一做 量一量下面的三组数分别是一个三角形的三边长a ,b, c:
5, 12, 13 7, 24, 25 8, 15, 17(1)这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗? (2)分别以每组数为三边作出三角形, 用量角器量一量。
它们都是直角三角形吗? 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形。
满足 a2+b2=c2 的三个整数,称为勾股数。
例 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A
和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的
尺寸如图所示,你说这个零件符号要求吗?
3451312 想 一 想下列几组数能否作为直角三角形的三边?
说说你的理由
(1) 9, 12 , 15; (2) 15, 36, 39;
(3)12, 35, 36; (4) 12, 18, 22. (2) 一个直角三角形的三边长为5,12,13
如果将这三边同时扩大3倍, 那么得到的三角形还是直角
三角形吗?
随堂练习1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( )
3:4:7 B. 5:12:13 C. 1:2:4 D. 1:3:5将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( )
是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形BA三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是: ( )
A. 直角三角形 B. 是锐角三角形
C. 是钝角三角形 D. 是等腰直角三角形已知?ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角。5. 以?ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形。A直角直角∠A四边形ABCD中已知AB=3, BC=4, CD=12, DA=13, 且∠ABC=900,求这个四边形的面积。7.请你写出三组勾股数。
8.一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么? 古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。下列的五组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
①3，4，5； ②6，8，10；③5，12，13；
④7，24，25； ⑤ 8，15，17
（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边作出三角形，用
量角器量一量，它们都是直角三角形吗？做一做如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。归纳结论满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。例1 一个零件的形状如图1- 16所示，按规定这个零件中，∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1- 17所示，这个零件符合要求吗？1- 161- 17例题解析解： ∵在Rt△ABD中，
AB2+AD2=9+16=25=BD2
∴△ABD是直角三角形，∠A是直角
∵在△BCD中，
BD2+BC2=25+144=169=CD2
∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角
因此这个零件符合要求。随堂练习1.如果三角形的三边长a＜b ＜ c满足_______________，那么这个三角形是直角三角形；
2.写出三组勾股数：_______________________________;
3.一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米，这时它离开出发点_________千米。5.判断下列哪组数是勾股数：
（1）6，7，8； （2）8，15，6；
（3）a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n＞1）
（4）a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2 （m＞n＞0）4.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
（1）9，12，15； （2）15，36，39；
（3）12，35，36； （4）12，18，22。√√√√例2一小船先向正南行进了80米到另一小船处借东西，之后又向正东行进了150米，此时它距出发地多少米？解：设它距出发地x米，
由勾股定理得：
x2=802+1502=28900=1702
解得：x=170
此时小船距出发点170米。例3 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。解：连结BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5cm
又∵在三角形BDC中，三边分别是5，12，13，满足勾股定理，
∴三角形BDC是直角三角形。因此，四边形ABCD的面积为36平方厘米。拓展演练1.如果三角形的三条线段a，b，c满足a2=c2-b2，这个三角形是直角三角形吗？为什么？9，12，1512，16，2030，40，5010，24，2620，48，5250，120，13016，30，3424，45，5180，150，17014，48，5021，72，7528，96，1002.如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，她们的2倍、3倍、4倍、10倍呢？3.将一根长为24个单位的绳子，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分成长为6个单位、8个单位和10个单位的三条线段，自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一个什么形状的三角形？为什么？因为三边满足勾股定理。4.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？82361CBC=6+2=8AC=8-3+1=6AB2=AC2+BC2=36+64=100∴ AC=10（千米）课堂小结判断一个三角形是否为直角三角形2. 勾股数
