2.4 估算
一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）
1．与无理数最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．与无理数最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．a和b是两个连续的整数，a??b，那么a和b分别是（ ）
A．2和3 B．3和4 C．1和2 D．不能确定
4．下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．满足的整数a的值是 （ ）
A．1和3 B．2和4 C．2和3 D．3和4
6．与2.9的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．无理数介于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．4和5之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．1和2之间
8．下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．要求结果精确到0.01，则（ ）
A．3.94 B．3.95 C．3.96 D．3.97
10．已知无理数的整数部分是a，那么=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）
11．填空：（结果精确到1）（1）_____；（2）_____；（3）_____；
12．三个数2，，大小关系是：_____________________；（用“<”连接）
13．估计的值在两个整数_________之间；
14．已知a、b为两个连续的整数，且a??b，则a+b=______；
15．与大小关系是：________________；
三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）
16． 比较下列各组数的大小：
（1），； （2），； （3），；
17．一个正方形的面积是300cm2，估算这个正方形的边长是多少cm？（精确到0.1cm）
18．一个正方体的体积积是1200cm3，估算这个正方体的棱长是多少cm？（精确到0.1cm）
19．阅读下列材料：
∵ 即
∴的整数部分是3，小数部分是
根据上述规律，解下面问题：
如果的整数部分是a，小数部分是b，求的值；
20．估算的近似值：（精确到0.01）
解法：∵ 即
设
∴
∴ ∴ 解得：
∴
依照上述方法，估算的近似值； （精确到0.01）
（2）概括估算的方法：
a，m，n是非负整数，若，且，则________（用含m，n的式子表示）
（3）用（2）的结论求的近似值；
参考答案：
1~10 BBABC ABCAC
11．（1）7；（2）14；（3）4；
12．<2<；
13．8和9；
14．11；
15．<；
16．（1）∵3.162， ∴>；
（2）∵， ∴>；
（3）∵，又 ∴>；
17．设正方形的边长是xcm，
根据题意，得：
∵x>0 ∴
∴正方形的边长约为17.3cm；
18．设正方形的棱长是xcm，
根据题意，得：
∴
∴正方形的棱长约为10.6cm；
19．∵ 即
∴的整数部分是4，小数部分是
∴a=4，b=
∴
20．（1）∵ 即
设
∴
∴ ∴ 解得：
∴
（2）；
（3）∵，
由（2）得：
∴
2.4估算
【学习重难点】
重点：能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能估算比较两个数的大小。
难点：掌握估算的方法，形成估算的意识。
【学习方法】自主探究与小组合作
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、无理数的概念：_____________________称为无理数。
2、同分母的两个正分数，分子大的分数__________；同分母的两个负分数，分子大的分数________________。
3、两个正数，绝对值大的__________；两个负数，绝对值大的_____________。
4、阅读教材：第四节《估算》，需准备计算器
二、教材精读
5、例1某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米。
（1）公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
（2）如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴交流。
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是80平方米，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）
解：（1）
（2）
（3）
注意：“精确到”与“误差小于”的意义的区别：精确到1m，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一。一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
归纳：估算无理数的方法是：
通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
根据问题中误差允许的范围，在真正值的范围内取出近似值。
三、教材拓展
6、一个人每天平均饮用大约0.0015立方米的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40立方米，如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（误差小于1m）
解：
实数在数轴上的位置如图所示，化简。
解：
模块二 合作探究
8、例3通过估算，比较下列各组数的大小。
（2）。
解：（1）
（2）
归纳：比较无理数与有理数的大小时要先估算出无理数的近似值，再比较无理数与有理数大小关系。
9、已知是的整数部分，是的小数部分，求的值。
模块三 形成提升
1、填空题：（1）的大小关系是________; (2)绝对值小于的整数是_______,大于的负整数是_______;(3) 最接近的整数是_______。
2、估算的值在（ ）
A、7和8之间； B、6和7之间； C、3和4之间； D、2和3之间。
3、估算（精确到十分位）________________。
4、比较大小
（1）和4； （2）；
模块四 小结评价
一、本课知识：
1、一个正数扩大为原来的100倍，它的算术平方根扩大为原来的________位。
2、比较大小：_____2.5，。
二、本课典型：如何估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
2.4. 估算
一、学生起点分析
八年级学生初步认识了无理数，对平方根和立方根也有了一定的了解，这样学习“公园有多宽”这节内容就有了一定的基础，但由于学生对估算还比较陌生，在实际教学中需要通过大量贴近学生生活的实例让他们体会估算的方法，初步形成估算的意识，发展学生的数感。
二、教学任务分析
《估算》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第四节的内容． 在学习了平方根与立方根之后安排本节内容，目的很明确，就是要让学生体会如何运用这些知识去解决实际问题，体会到数学的实用价值，并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题，发展学生的估算意识和数感．为此本节课的教学目标是：
①会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题．
②经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感。
③体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情。
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：
第一环节——情境引入；第二环节——活动探究；第三环节——深入探究；第四环节——反馈练习；第五环节——反思归纳；第六环节——作业布置．
第一环节：情境引入[
内容：
由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽．
某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少?长是多少?
给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少．
给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽．
解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：
x·2x =400000，
2x=400000，
x =．
那么=?
目的：
从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性．
效果：
学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值．
第二环节：活动探究
内容：
1．探究一个无理数估算结果的合理性．
2．学会估算一个无理数的大致范围．
例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流．
①≈20 ； ② ≈0.3；
③≈500； ④ ≈96．
解答：这些结果都不正确．
怎样估算一个无理数的范围?
例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法．
① ； ②； ③ ； ④．
（ ①②误差小于0.1；③误差小于10；④误差小于1．）
解答：
≈6.3 ； ≈0.9； ≈310 ； ≈9．
说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数．教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。
目的：
同伴间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．
效果：
通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备．
第三环节：深入探究
内容：
用估算来解决数学的实际问题．
例1 你能比较与的大小吗？你是怎样想的？
小明是这样想的：与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，因为＞2，所以-1＞1， ＞．
解：∵5＞4，即（）＞2，
∴＞2，
-1＞1，
即 ＞．
例2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题．
=?
（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？
（大约440米或450米）
说明：只要是440与450之间的数都可以．
（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？
（15米或16米）
说明：只要是15与16之间的数都可以．
例3 给出新的问题情境——画能挂上去吗？
生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，
（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？
（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？
解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的，根据勾股定理 ：
+（×6）=6，
+4=36，
=32 ，
x=，
因为
因为
所以画不能挂上去
目的：
学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值．
效果：
在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣．
第四环节：反馈练习
内容：
反馈练习1 估算下列数的大小．
（1）（误差小于0.1） ； （2）（误差小于1）．
解答：
（1） ∵3．6＜＜3.7，
∴≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）．
（2） ∵9＜＜10，
∴≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）．
反馈练习2 通过估算，比较下面各数的大小．
（1）与 ； （2）与3.85．
解答： （1）∵＜2，
∴-1＜1，
即＜．
（2）∵3.85=14.8225，
∴＞3.85．
反馈练习3 给出与生活密切联系的实际问题情境
一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 ，如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）?
目的：
教学引导学生解决问题，学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提出的问题，让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用，调动探究的积极性．
效果：
进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣，调动学生学习数学的热情．
第五环节：反思归纳
内容：
1．用自己的语言表达学习这节内容的感想
（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？
（2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？
（3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？
2．浏览给出的知识点归纳．
目的：
引导学生归纳本节的基本内容，让学生及时小结，教师展示知识脉络图并反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整．
效果：
部分学生能大胆地提出疑问．
第六环节：作业巩固
内容：
习题2.6 1，2，3，6
目的：
给出作业内容，学生浏览给出的作业．
效果：
让学生在练习中及时巩固所学知识．
四、教学设计反思
（一）突出重点、突破难点的策略
“公园有多宽”这节内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入，才能激发学生的学习兴趣，为此，本节课的教学中选取了“修建环保公园”的问题情境引入，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来．当然还可以结合地区特点创设其余的问题情境引入，例如“污水池有多宽”，“实验田有多宽”，“体育馆有多宽”等问题情境．在探究估算方法的时候，教师要注重适时的引导，以免让学生无从下手．在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值，了解到“数学既来源与生活，又回归到生活为生活服务”．
（二）课堂评价的一些思考
在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法，在估算的过程中多给予适当的引导和评价，让学生逐步把握估算的方法，找到解决问题的信心．比如对“画能挂上去吗”这个问题情境，学生可能提出不同的看法，有些学生可能认为可以挂上去，因为人还有身高，完全可以弥补梯子稳定摆放的高度和挂画位置的高度之间的差距，有些学生可能认为，人不可能爬到梯子的顶部，加上人如果本来比较矮，画就不能挂上去等等想法，教师都应该给予肯定，这样才能激发学生思考问题的热情，调动学生探究问题的积极性．作为教师，一定要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化．
附：板书设计
估算
引入 x·2x=400000 =?
活动探究练习
例1
例2
梯子问题情境
反馈练习
练习1
练习2
小结
保留性板书 暂时性板书
课件21张PPT。第二章 实数2.4 估 算用估算确定无理数的大小
用估算比较无理数的大小 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保
主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面 积为
400 000 m2.
（1）公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？
（2）如果要求结果精确到10m,它的宽大约是多 少？与同伴进行交流.
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800m2,你能估计它的半径吗？（结果精确到1m)1知识点用估算确定无理数的大小 议一议
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
与同伴进行交流.
（2）你能估算 的大小吗？（结果精确到1)知1－讲估算的一般步骤：
(1)估计整数部分是几位数；
(2)确定最高位上的数字；
(3)确定下一位上的数字；
(4)依此类推，直到确定出个位上的数字，或者按
要求精确到小数点后的某一位. 例1 估算 的近似值．（精确到0.01）导引：对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确
定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位，
进行的步数越多，估算出的值越精确． 解：因为12＝1，22＝4，所以1＜ ＜2.
因为1.72＝2.89，1.82＝3.24，所以1.7＜ ＜1.8.
因为1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6，
所以1.73＜ ＜1.74.
因为1.7322＝2.999 824，1.7332＝3.003 289，
所以1.732＜ ＜1.733.所以 ≈1.73. 求解本题使用了“夹逼法”，它是数学估算的
重要方法，所谓“夹”就是从两边确定范围，而
“逼”就是一点点加强限制，使其所处的范围越来
越小，从而达到要精确的程度．解：因为 ＜ ＜ ，所以2＜ ＜3.
所以 的整数部分是2，则 的小数部分是 －2.
所以2＋ 的整数部分是4，2＋ 的小数部分是
－2（即2＋ －4＝ －2），
即x＝4，y＝ －2. 例2 设2＋ 的整数部分和小数部分分别是x，y，
试求出x，y的值． 导引：先估算 的整数部分，再表示出其小数部分
（ －整数部分＝小数部分），从而可求x，y
的值． 确定 的整数部分、小数部分的一般方法：
估算时整数部分直接取与其最接近的两个整数中较
小的那个整数；确定小数部分的方法是：首先确定
其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出
它的小数部分，即：小数部分＝原数－整数部分． 与无理数 最接近的整数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2 若k< A．6 B．7 C．8 D．9CD用估算比较无理数的大小议一议
(1)通过估算，你能比较 的大小吗？你是
怎样想的？与同伴进行交流.
(2)小明是这样想的: 的分母相同，只要
比较它们的分子就可以了.因为 所以
因此
你认为小明的想法正确吗？ 1.用估算法比较两个数的大小(其中至少有一个
是无理数)时，一般先用分析的方法估算出无
理数的大致范围，再比较．
2.比较大小的两个数中如果有含根号的数，常
常有如下比较方法：
(1)先找个中间值，再比较；
(2)先把两数平方或立方，再比较． 导引：(1)题可用平方法比较大小；(2)题可用作差法比较
大小；(3)题可比较被开方数大小来比较数的大小．例3 比较下列各组数的大小： 本题(1)两数同时平方后再比较大小，(2)运用
了作差法，通过判断相减得到的差的正负来比较大
小；(3)被开方数大的算术平方根较大，即当a≥
b≥0时， ≥ ≥0，反过来也成立．导引：(1)若设这块长方形荒地的宽是x m，则长是2x m，这
样利用长方形的面积公式和开平方的知识即可求
解．(2)由(1)即可求解．(3)设公园中的圆形花圃的半
径为r m，则可以利用圆的面积公式和开平方的知识
来求解． 例4 某地开辟一块长方形荒地用于新建一个以环保为主
题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面
积是400 000 m2，那么
(1)公园的宽是多少？它有1 000 m吗？
(2)如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，
你能估计它的半径吗？(误差要求小于1 m)解：(1)设这块长方形荒地的宽是x m，则长是2x m.
根据题意，得2x·x＝400 000，即x2＝200 000.
两边开平方，得x＝±
又因为x为荒地的宽，所以x＝ ＜1 000.
所以公园的宽是 m，没有1 000 m.
(2)因为x＝ ≈447，
所以如果要求误差小于10 m，它的宽大约是450 m.
(3)设公园中的圆形花圃的半径为r m，
则根据题意，得πr2＝800，即r2＝ 两边开平方，得r＝±
又因为r为圆形花圃的半径，
所以r＝
由于题目要求误差小于1 m，而15＜ ＜16，
所以15 m和16 m都满足要求． 运用方程思想求出长方形的宽是解决本题的关键．已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．a>c>b
已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋ ，乙＝3 ＋ ，丙＝1＋ ，则甲、乙、丙的大小关系是( )
A．丙<乙<甲 B．乙<甲<丙
C．甲<乙<丙 D．甲＝乙＝丙AA估算无理数大小的方法：
(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分；
(2)根据所要求的误差确定小数部分.1.必做: 完成教材P34- P35 习题T1、2、3、5、6
2.补充:请完成《点拨训练》P25对应习题
