课件38张PPT。2.什么是一个数的平方根？如何表示？1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？知识回顾 正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根是0；
负数没有平方根. 3.平方根的性质是什么？1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？思考 如图所示，已知正方形的面积为b-3，则正方形的边长是 .b-3表示一些正数的算术平方根;a叫做被开方数. 你认为所得的各代数式有哪些共同特点？一般地，形如 （a≥0)的式子叫做二次根式;共同探究 2. a可以是数,也可以是式；3. 形式上含有二次根号 ；5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.1. 表示a的算术平方根；4. a≥0, ≥0 ( 双重非负性)；一般地，形如 （a≥0)的式子叫做二次根式.核心归纳观察下面的式子，它们都有什么共同特点？被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因数想一想：注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示非负数．积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积.积的算术平方根的性质 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.核心归纳想一想：非
负
数 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除
式的算术平方根．商的算术平方根的性质核心归纳???(m≤0),(x,y 异号)，例1 说一说下列各式哪些是二次根式.自主探究⑴⑵ (3)(4)，(5)????判断下列代数式中哪些是二次根式.，练一练（ ）例2 求下列二次根式中字母的取值范围：【解析】（1）由于被开方数是非负数，可 知a+1≥0，即a≥-1. （2）由于被开方数是非负数，且分母不 为零，可知1-2a>0，即a< . （3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.自主探究2.已知a，b为实数，且满足
你能求出a及 a+b 的值吗？【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= ,把
b= 代入原式，得a=1,所以a+b=1+ = 1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同还记得吗? 二次根式的乘法法则和除法法则典例精析例1：计算:练一练计算:1.试回顾如何计算3a2·2a3= .还记得单项式乘以单项式的法则吗？6a5解：归纳总结二次根式的乘法扩充法则第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；第二步：根式和根式按公式相乘. 利用它可以进行二次根式的化简.想一想（2）x2+2x2+4y= ;1.（1）3x2+2x2= ;2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：解：答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.5x23x2+4y合作探究典例精析解： (1)原式=例2：计算: (2)原式= (3)原式= (4)原式=典例精析解： (5)原式=例2：计算: (6)原式=归纳总结二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.要点提醒1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.问题引入 如果梯形的上、下底长分别为 cm, cm，高为 cm，那么它的面积是多少？例1：计算： 解：（1）（2）解法一：（3）你还有其他解法吗？解法二： 原式=解： (4)原式=思考：还可以继续化简吗？为什么？要点归纳问题：化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？解法一：把a=3，b=2代入代数式中，原式=解法二：原式=把a=3，b=2代入代数式中，原式先代入后化简先化简后代入哪种简便？ 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．方法总结例2：已知 ，求分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.典例精析解：变式训练：已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.方法1：分割法S1S2S3S梯形ABCD=S1+S2+S3
通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.方法2：补图法S1S2S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
EF过点D作AB边的高DE，如图所示.方法3：直接法S梯形ABCDE归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．例3：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.解：贺卡的周长为答：李欣的彩带够用. 本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．方法总结第二章 实数《二次根式》同步测试题
班别： 姓名：__________
一、选择题（每小题3分,共30分）
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则化简后为（ ）
A. B.
C. D.
3. 计算：的值是（ ）
A. 0 B. C. D. 或
4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
6. 若，则的值等于（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9．能使等式成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
10．是整数，则正整数的最小值是（ ）
A.7 B.6 C.5 D. 4
二、填空题（每小题3分,共24分）.
11. 当时，是二次根式.
12. 已知，则.
13. 把的根号外的因式移到根号内等于 .
14. 若和都是最简二次根式，则.
15. 在中，与是同类二次根式的是 .
16. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm.
17. 已知，则.
18. 在实数范围内分解因式：.
三、解答题（共52分）
19. （6分）当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值.
20. （6分）已知为实数，且，求的值.
21. 计算：（每题4分，共16分）
22. （6分）已知：，求的值.
23.（6分）已知：为实数，且，化简：.
24.（6分）已知求的值.
答案：
一、选择题
1A 2B 3D 4D 5C 6C 7C 8C 9B 10B
二、填空题
11. ； 12. ； 13. ；
14. 1、2； 15. ； 16. ；
17. 10； 18.
三、解答题19. ，最小值为1； 20. -2
21. ；；
22. 解:；
23.解:由已知有:由此得 ,所以
所以-1；
24.解:依题意有且 ,由此得,
所以
2.7二次根式
学习目标：
认识二次根式和最简二次根式的概念。
探索二次根式的性质。
利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。
预习案
课前导学：
一般地，式子叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：．一般地，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，也不含能分母，这样的二次根式，叫做二次根式。
3、计算=，，=_______
尝试练习：
是二次根式， 则a的取值为.
A a=0 B a≤0 C a≥0 D a>0
下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A B C D
3、，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？
2、二次根式的定义你可以概括出来吗？
算一算，有惊喜哦。
（1）＝ ，＝ ；
＝ ，＝；
＝，＝； ＝，＝.
4、用计算器计算：
＝ ，＝ ；＝，＝．
5、由上面的计算中，你有什么惊喜发现？
6、二次根式有什么性质呢？请用式子表示。
学习案
知识点拨：
二次根式的概念
最简二次根式
课内训练:
1、化简
； （2）； （3）
我发现：化简以后的结果中的被开方数有什么特征？
最简二次根式 ：
化简：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）
3、（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流
反馈案
基础训练：
1、下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2、下列的式子中，、、、、是二次根式的有.
化简：
4、化简：=， =，=
拓展训练：
5、一个三角形的斜边长为15cm，一条直角边长为10cm，求另一条直角边长。
6、下面正方形的边长分别是多少？
《二次根式》
“二次根式”是实数的重要内容。本章是在前面学习的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。
【知识与能力目标】
1、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。
2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。
4、理解和掌握二次根式加减的方法．
【过程与方法目标】
进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力。
【情感态度价值观目标】
通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。
通过本节的学习，渗透转化的数学思想。
【教学重点】
1会把二次根式化简为最简二次根式
2正确运用公式进行计算.
3二次根式的加减及混合运算。
【教学难点】
1准确运用化二次根式为最简二次根式的方法
2实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．
一、知识回顾
课件展示：教师带领学生回顾算术平方根与平方根的知识。
二、探索新知
看下面的问题：已知：＝1.732，如何求出的近似值？
解法1：
解法2：
比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便。
概念讲解与巩固
【概念讲解材料】
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)、被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如:都不是最简二次根式，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号。
又如也不是最简二次根式，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如。
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
【知识回顾】
1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：
（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；
（2）当一个二次根式前面乘以一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；
（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；
（4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质
（1）； （2）； （3）；
（4）积的算术平方根的性质：；
（5）商的算术平方根的性质：；
（6）若，则。
3．注意与的运用。
二次根式的乘法
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: =·（a≥0，b≥0）
二次根式的除法
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）， 反过来，=（a≥0，b>0）
分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点：
(1)它们必须是成对出现的两个代数式；
(2)这两个代数式都是二次根式；
(3)这两个代数式的积不含有二次根式；
(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。
①单项： （单项二次根式的有理化因式是它本身）；
②两项： （平方差公式）。
在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分．
二次根式的加减
二次根式加减法的法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。
三、归纳总结：
1最简二次根式概念
2二次根式的化简
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。
3利用式子（）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．
略
