人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
要 点 讲 解
要点一 二次函数的定义
1. 二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
2. 二次函数的一般式的定义:任何一个二次函数的解析式,都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此,把y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数的一般式.
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)中,x,y是变量,a,b,c是常量.自变量x的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a必须是不等于0的实数.
要点二 实际问题中的二次函数
→→
经典例题1 如图在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x的关系式是____________.
解析:由题意,得y=(50+2x)(30+2x)=4x2+160x+1500.
答案:y=4x2+160x+1500
易错易混警示 确定二次函数解析式中字母参数的值时易出错
由二次函数的定义确定二次函数解析式中字母参数的值时,易只考虑次数最高的项的次数为2,而忽略二次项系数不为0对字母参数的取值的限制.
经典例题2 若y=(m+1)xm2-6m-5是二次函数,则m的值为________.
解析:∵y=(m+1)xm2-6m-5是二次函数,∴m+1≠0,且m2-6m-5=2,∴m=7.
答案:7
点拨:根据二次函数的定义求未知字母的值,一般考虑两个方面:一是二次项系数不为0,二是二次项次数为2.
当 堂 检 测
1. 下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )
A. y=2x-1 B. y=ax2+bx+c
C. s=3t2-3t+1 D. y=2x2+
2. 圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是( )
A. S是R的正比例函数 B. S是R的一次函数
C. S是R的二次函数 D. 以上答案都不对
3. 为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题,国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品原价为18元,降价后的价格为y元,则y与x的关系式为( )
A. y=36(1-x) B. y=36(1+x)
C. y=18(1-x)2 D. y=18(1+x2)
4. 已知二次函数y=1-3x+5x2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .
5. 已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3.
(1)当 时,x,y之间是二次函数关系;
(2)当 时,x,y之间是一次函数关系.
6. 判断函数y=(x+2)(3-x)是否为二次函数,若是,写出它的二次项系数、一次项系数和常数项;若不是,请说明理由.
7. 一块矩形的草地,长为8m,宽为6m,若将长和宽都增加xm,设增加的面积为ym2.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)若要使草地的面积增加32m2,长和宽都增加多少米?
当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. C
4. 5 -3 1
5. (1)a≠2 (2)a=2且b≠-2
6. 解:y=(x+2)(3-x)=-x2+x+6,它是二次函数,它的二次项系数为-1,一次项系数为1,常数项为6.