22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质
要 点 讲 解
要点　二次函数y＝ax2的图象和性质
1. 二次函数y＝ax2(a≠0)的性质可列表归纳如下：
函数
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最大(小)值
y＝ax2 (a>0)
向上
(0，0)
y轴
x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小
当x＝0时，y最小值＝0
y＝ax2 (a<0)
向下
(0，0)
y轴
x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大
当x＝0时，y最大值＝0
抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素.
2. 抛物线y＝ax2开口方向、大小与系数a的关系
(1)a的符号决定抛物线开口方向，a为正，开口向上；a为负，开口向下.
(2)|a|的大小决定抛物线开口的大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.
3. 抛物线y＝ax2上点的坐标特征
由于抛物线y＝ax2关于y轴对称，所以若点A(x，y)在抛物线y＝ax2的图象上，则点A′(－x，y)也在抛物线y＝ax2的图象上.
(1)由于x可取一切实数，所以描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分，是近似的图象，图象应是向两方无限延伸的；
(2)点取的越多，图象画的越精确；
(3)图象必须平滑.
经典例题1　若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(，y3)是二次函数y＝－x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　　)
A. y1C. y2解析：因为a＝－<0，所以当x<0时，y随x的增大而增大.又由抛物线的对称性知，y3的大小等于函数在x＝－时的函数值.因为0>－>－>－1，所以y2答案：C
点拨：比较抛物线上几个点的纵坐标的大小时，首先要判断所给的点是否在对称轴的同侧，若在对称轴的同侧，利用函数的增减性直接判断；若不在对称轴的同侧，就利用抛物线的对称性把它们转化到对称轴的同侧，然后再比较.
经典例题2　已知y＝(k＋1)xk2－2是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
解：(1)由题意，得解得k＝±2. ∴当k＝±2时，原函数是二次函数.
(2)若抛物线有最低点，则抛物线的开口向上，∴k＋1>0，即k>－1，∴k＝2.
∴该抛物线的解析式为y＝3x2，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x>0时，y随x的增大而增大.
(3)若抛物线有最大值，则抛物线的开口向下，∴k＋1<0，∴k<－1，∴k＝－2.
∴抛物线的解析式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0).
∴函数最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小.
点拨：(1)对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，顶点不是抛物线与y轴的交点；(2)a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
易错易混警示　对二次函数y＝ax2的图象和性质理解不透
经典例题3　已知函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，当n为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标.
解：∵函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，
∴
解得n＝2或n＝－3.
∵抛物线有最低点，∴1－n>0，即n<1.∴n＝－3.
∴当n＝－3时，抛物线有最低点，这个最低点的坐标是(0，0).
点拨：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝ax2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的：当a>0时，抛物线有最低点；当a<0时，抛物线有最高点.而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点.正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是1－n.
当 堂 检 测
1. 抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是(　　)
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大
2. 关于函数y＝3x2的性质表述正确的一项是(　　)
A. 无论x为任何实数，y的值总为正 B. 当x值增大时，y的值也增大
C. 它的图象关于y轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内
3. 已知二次函数y＝x2和y＝2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是 .
5. 点A(，b)在二次函数y＝x2的图象上，则b＝　 　.
6. 填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y＝x2


y＝－x2

y＝x2

y＝－x2

7. 已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，－).
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. C
4. (－1，－2)
5. 
6.
7. 解：(1)由题意得，y＝－x2. 图象如图所示.
(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴.