22.1.3 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
要 点 讲 解
要点一　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
二次函数y＝ax2＋k的图象与性质总结如下：
a的符号
a>0(k>0)
a<0(k>0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
(0，k)
(0，k)
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大
当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小
最值
当x＝0时，y有最小值，y最小值＝k
当x＝0时，y有最大值，y最大值＝k
经典例题1　已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)在函数y＝x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　　)
A. y1>y2>y3　　 B. y3>y1>y2
C. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3
解析：因为抛物线y＝x2＋1开口向上，对称轴是y轴，所以在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大.点(3，y3)关于y轴的对称点是(－3，y3)，又因为－1>－2>－3，所以y3>y1>y2，故选B.
答案：B
要点二　二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象之间的平移
当k>0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向上平移k个单位得到的；当k<0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向下平移|k|个单位得到的.
在抛物线的平移过程中，因为抛物线上任意一点的平移情况都是一致的，故常以点代线，通过研究顶点的平移情况来研究整条抛物线的平移情况.
经典例题2　抛物线y＝x2－5是由抛物线y＝x2经过怎样的平移得到的，并求：
(1)顶点坐标、对称轴及函数值y随x的变化情况；
(2)函数的最大(小)值.
解：抛物线y＝x2－5是由抛物线y＝x2向下平移5个单位得到的.
(1)顶点坐标是(0，－5)；对称轴是y轴；x<0时，函数值y随x的增大而减小；x>0时，函数值y随x的增大而增大.
(2)当x＝0时，函数有最小值－5，无最大值.
点拨：(1)抛物线y＝ax2平移的方向和距离取决于k的值.当k>0时，将抛物线y＝ax2向上平移k个单位，得抛物线y＝ax2＋k；当k<0时，将抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位，得抛物线y＝ax2＋k.(2)函数值y随x的变化情况分x>0与x<0两种情况.(3)函数有最大值还是最小值取决于a的符号.
当 堂 检 测
1. 在抛物线y＝－x2＋1上的一个点是(　　)
A. (1，0) B. (0，0) C. (0，－1) D. (1，1)
2. 抛物线y＝2x2＋1的图象大致是(　　)
A B
C D
3. 如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(　　)
A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2
C. y＝x2＋1 D. y＝x2＋3
4. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　)
A. 最小值为2 B. 图象与y轴没有公共点
C. 当x＜0时，y 随x的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y轴
5. 二次函数y＝3x2－3的图象开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为　 　.当x>0时，y随x的增大而 ；当x<0时，y随x的增大而 .因为a＝3>0，所以y有最 值，当x＝ 时，y的最 值是 .
6. 抛物线y＝x2＋3的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 .
7. 能否通过适当地上下平移二次函数y＝x2的图象，使得到的新的函数图象过点(4，－4)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由.
当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. C 4. B
5. 上 (0，－3) y轴(或直线x＝0) 增大 减小 小 0 小 －3
6. (0，3) y轴 向上