22.1.3 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
要 点 讲 解
要点一　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质总结如下：
a的符号
a>0(h>0，k<0)
a<0(h<0，k>0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
x＝h
x＝h
顶点坐标
(h，k)
(h，k)
增减性
当xh时，y随x的增大而增大
当xh时，y随x的增大而减小
最值
当x＝h时，y有最小值，y最小值＝k
当x＝h时，y有最大值，y最大值＝k
顶点是图象的最高点或最低点，同时也是函数增减性变化的分界点.由于从y＝a(x－h)2＋k中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y＝a(x－h)2＋k(a≠0)叫做二次函数的顶点式.
经典例题1　对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(　　　)
A. 开口向下　　 B. 对称轴是直线x＝－1
C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
解析：对于二次函数y＝(x－1)2＋2，∵a＝1，∴抛物线开口向上，∴A错误；∵h＝1，∴抛物线对称轴是直线x＝1，∴B错误；∵h＝1，k＝2，∴抛物线顶点坐标为(1，2)，∴C正确；∵抛物线的顶点坐标为(1，2)且开口向上，∴抛物线与x轴没有交点，∴D错误.
答案：C
点拨：因为由抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的解析式可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常将形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的二次函数叫做二次函数的顶点式.
要点二　二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的平移
抛物线y＝ax2平移到抛物线y＝a(x－h)2＋k的方法：
保持抛物线y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的平移是在函数y＝ax2图象的基础上“h值正左移，负右移；k值正上移，负下移”.
经典例题2　把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的解析式为(　　　)
A. y＝－2(x＋1)2＋2　　 B. y＝－2(x＋1)2－2
C. y＝－2(x－1)2＋2 D. y＝－2(x－1)2－2
解析：根据图象的平移规律是：左加右减，上加下减，把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，得函数的解析式为y＝－2(x－1)2，再向上平移2个单位长度后，所得函数的解析式为y＝－2(x－1)2＋2.
答案：C
点拨：求抛物线平移后的解析式，常用的方法是利用抛物线平移的口诀，也可以先求出平移后的顶点，再由顶点坐标写出解析式.
易错易混警示　混淆点的平移 、坐标轴的平移和二次函数图象平移的规律
点的平移规律是“左减右加，上加下减”，点的左右平移规律和图象的左右平移恰好相反，学习过程中，应注意区分.同时应注意坐标轴的平移过程和二次函数图象的平移过程是互逆的.
经典例题3　已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线对应的函数解析式是(　　　)
A. y＝2(x－2)2＋2 B. y＝2(x＋2)2－2
C. y＝2(x－2)2－2 D. y＝2(x＋2)2＋2
解析：本题是一道逆向思维题，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，可以理解为把抛物线先向下平移2个单位长度，然后再向左平移2个单位长度.
答案：B
当 堂 检 测
1. 二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(　　)
A B
C D
2. 对于抛物线y＝－(x－6)2＋2，下列说法正确的是(　　)
A. 开口向下，顶点坐标为(6，2) B. 开口向上，顶点坐标为(6，2)
C. 开口向下，顶点坐标为(－6，2) D. 开口向上，顶点坐标为(－6，2)
3. 对于二次函数y＝(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是(　　)
A. 开口向下 B. 对称轴是x＝－2
C. 顶点坐标是 (2，1) D. 与x轴有两个交点
4. 抛物线y＝－3(x－1)2＋2的图象可由抛物线y＝－3x2(　　)
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
5. 将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为 .
6. 试构造一个二次函数的解析式，使其图象满足下列条件：
(1)开口向上，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为(－3，－4)；
(2)顶点坐标为(3，4).
7. 把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象.
(1)试确定a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
当堂检测参考答案
1. D 2. A 3. C 4. B
5. y＝2(x＋2)2－2
7. 解：(1)原二次函数解析式为y＝(x＋1－2)2－1－4，即y＝(x－1)2－5，∴a＝，h＝1，k＝－5.　
(2)它的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5).