22.1.4 第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
要 点 讲 解
要点一　二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k之间的关系
利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的解析式，首先要把函数解析式化为顶点式：y＝a(x－h)2＋k.
经典例题1　将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　　)
A. y＝(x－4)2－6　　　 B. y＝(x－4)2－2
C. y＝(x－2)2－2 D. y＝(x－1)2－3
解析：∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是y＝(x－3－1)2－4＋2＝(x－4)2－2，故选B.
答案：B
要点二　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，与抛物线y＝ax2的形状相同，位置不同，利用配方法可以将y＝ax2＋bx＋c转化为顶点式，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c＝a(x＋)2＋.
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
(1)当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(－，).当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值.
(2)当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(－，).当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值.
经典例题2　已知抛物线y＝－x2＋2x－3，下列结论中不正确的是(　　　)
A. 抛物线的最大值是－2 B. x<1时，y随x的增大而减小
C. 图象的对称轴是直线x＝1 D. 图象与y轴的交点在x轴下方
解析：因为y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，所以可得以下结论：当x＝1时，抛物线有最大值为－2，故A正确；x<1时，y随x的增大而增大，故B错误；图象的对称轴是直线x＝1，故C正确；令x＝0，则y＝－3，即图象与y轴的交点为(0，－3)，在x轴的下方，故D正确.故选B.
答案：B
要点三　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数a，b，c之间的关系
系数
图象的特征
系数的符号
a
开口向上
a>0
开口向下
a<0
b
对称轴为y轴
b＝0
对称轴在y轴左侧
a，b同号
对称轴在y轴右侧
a，b异号
c
经过原点
c＝0
与y轴正半轴相交
c>0
与y轴负半轴相交
c<0
经典例题3　已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是(　　　)
解析：由一次函数图象可知，k>1，∴二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象开口向下，又∵二次函数的图象与y轴的交点在(0，1)的上方，故选B.
答案：B
点拨：解答此类问题，可以根据系数的取值情况对函数图象所在的位置进行讨论，能同时满足条件的就是正确的选项.
易错易混警示　不能准确判断a，b，c的符号
我们常忽略图象的作用，不能根据函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质准确地判断a，b，c的符号.
经典例题4　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列关于a，b，c的关系判断正确的是(　　　)
A. ab<0　　　　　 B. bc<0 C. a＋b＋c>0 D. a－b＋c<0
解析：由图象可知a<0，c<0，由于对称轴在y轴左侧，所以x＝－<0，所以b<0，所以选项A，B都是错误的.当x取任意实数时，函数值都是负数，所以当x＝－1时，y＝a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝a－b＋c<0；当x＝1时，y＝a＋b＋c<0.故选项C是错误的，选项D是正确的.
答案：D
点拨：a的符号由抛物线的开口方向决定，b的符号由抛物线的对称轴和开口方向决定，c符号由抛物线与y轴的交点决定，a＋b＋c的符号由x＝1时y的符号决定，a－b＋c的符号由x＝－1时y的符号决定.
当 堂 检 测
1. 要得到抛物线y＝2x2－16x＋31，可以将抛物线y＝2x2(　　)
A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
2. 以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是(　　)
A. b≥ B. b≥1或b≤－1 C. b≥2 D. 1≤b≤2
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b2<0；②3b＋2c<0；③4a＋c<2b；④m(am＋b)＋bA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的解析式是 .
5. 二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是 .
6. 在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是 .
7. 二次函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点(3，0).
(1)求b的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
8. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数y＝x2－2x＋1的图象，求b与c.
当堂检测参考答案
1. D 2. A 3. C
4. y＝x2＋2x＋3
5. 3
6. x<1
8. 解：∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点为B(1，0).根据题意，把此抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，就得到抛物线y＝x2＋bx＋c，这时顶点B(1，0)平移到点A(4，－2)处，即抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点是(4，－2).∴y＝x2＋bx＋c＝(x－4)2－2＝x2－8x＋14，∴b＝－8，c＝14.