22.1.4 第2课时 求二次函数的解析式(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时　求二次函数的解析式
要 点 讲 解
要点　用待定系数法求二次函数解析式
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.
利用待定系数法求二次函数的解析式时，一般有以下几种情况(a≠0)：
(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k；
(3)顶点在x轴上(或抛物线与x轴只有一个交点)，可设为y＝a(x－h)2；
(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；
(5)已知顶点(h，k)时，抛物线顶点坐标或对称轴或最大(小)值或抛物线上纵坐标相同的两点，可设顶点式为y＝a(x－h)2＋k；
(6)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，可设一般式为y＝ax2＋bx＋c；
(7)已知抛物线与y轴两个交点的横坐标，一般选用交点式，抛物线与x轴两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，可设交点式为y＝a(x－x1)·(x－x2).
经典例题　已知二次函数的顶点坐标为(2，－2)，且其图象经过点(3，1)，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与y轴的交点坐标.
解析：设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k，再把顶点坐标(2，－2)，点(3，1)代入即可得出二次函数的解析式.令x＝0，即可得与y轴的交点坐标.
解：设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k，
∵顶点坐标为(2，－2)，
∴函数解析式为y＝a(x－2)2－2.
又∵图象经过点(3，1)，
∴1＝a(3－2)2－2，解得a＝3.
∴函数解析式为y＝3(x－2)2－2，
即y＝3x2－12x＋10.
把x＝0代入y＝3x2－12x＋10，得y＝10，
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，10).
点拨：当给出的条件为二次函数的图象的顶点和另一个点时，可选择设二次函数的解析式为顶点式.
当 堂 检 测
1. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为(　　)
A. y＝2(x＋1)2＋8 B. y＝18(x＋1)2－8
C. y＝(x－1)2＋8 D. y＝2(x－1)2－8

第1题 第2题
2. 如图所示，抛物线的函数解析式是(　　)
A. y＝x2－x＋4 B. y＝－x2－x＋4
C. y＝x2＋x＋4 D. y＝－x2＋x＋4
3. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是(　　)
A. b＝2，c＝4 B. b＝2，c＝－4
C. b＝－2，c＝4 D. b＝－2，c＝－4
4. 已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的解析式为 .
5. 已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是 .
6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式.
7. 已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点是(0，－4)，求这个二次函数的解析式.
8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴交于A，B两点，且点B坐标为(3，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积.
当堂检测参考答案
1. D 2. D 3. D
4. y＝x2－x－2
5. (1，4)
6. 解：由题意，得解得∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1.
8. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)与点B(3，0)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1).过点P作PH⊥y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴交直线BM于点N，如图所示.S△CPB＝S矩形CHMN－S△CHP－S△PMB－S△CNB＝3×4－×2×4－×1×1－×3×3＝3，即△CPB的面积为3.