22.2 二次函数与一元二次方程(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十二章　二次函数
22.2　二次函数与一元二次方程
要 点 讲 解
要点一　二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数图象与x轴的交点情况)：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c当函数值y＝0时的特殊情况.
2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c).
经典例题1　已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)：
(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围.
解：(1)当a＝0时，函数为y＝x＋1，它的图象显然与x轴只有一个交点(－1，0).
当a≠0时，依题意得方程ax2＋x＋1＝0有两相等实数根.
∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝.
∴当a＝0或a＝时，函数图象与x轴恰有一个交点.
(2)依题意有>0，
当4a>0，4a－1>0时，解得a>；
当4a<0，4a－1<0，解得a<0.
∴a>或a<0.
∴当a>或a<0时，抛物线顶点始终在x轴上方.
点拨：图象与x轴的交点个数：(1)当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1≠x2)，这两点间的距离AB＝|x2－x1|＝.(2)当Δ＝0时，图象与x轴只有一个交点.(3)当Δ<0时，图象与x轴没有交点.
要点二　用二次函数的图象解一元二次方程
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以看成是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值等于0时的特殊情况，因此抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.
用二次函数的图象解一元二次方程的近似根时，根的整数部分可以观察图象得到，根的小数部分的探求需用到函数的性质.当x取x1，x2时，若对应的y1，y2异号，则方程必有一根在x1与x2之间，据此采用逐步逼近的方法能使得到的根的精确度越来越高.
要点三　二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
求不等式ax2＋bx＋c>0的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y>0；求不等式ax2＋bx＋c<0的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y<0.具体如下表：(以a>0为例)
b2－4ac的符号
b2－4ac>0
b2－4ac＝0
b2－4ac<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
两个交点
一个交点(即顶点)
没有交点
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
两不等实数根x＝
两相等实数根x＝－
无解
一元
二次
不等
式
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)
xx2
x≠－
全体实数
ax2＋bx＋c<0(a>0)
x1无解
无解
由二次函数的图象确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图象与x轴的交点.图象在x轴上方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集.图象在x轴下方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集.
经典例题2　抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图，则关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(　　　)
A. x>－1　　　 B. x<2 C. －12
解析：图象与x轴两交点的横坐标为x＝－1与x＝2，由图象又知当－1答案：C
点拨：利用函数图象解不等式，当函数值y>0时，图象上的点在x轴的上方；当函数值y<0时，图象上的点在x轴的下方.
易错易混警示　忽略隐含条件考虑问题不周全
有些函数解析式中含有字母参数，要求我们能够根据题目所提供的情况确定字母参数的取值范围，我们常因没有仔细审题，认真分析题目中与字母参数有关的要求，考虑问题不周全而导致错误.
经典例题3　已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　　)
A. k<4　　　　 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3
解析：当k－3＝0，即k＝3时，函数为y＝2x＋1，此一次函数与x轴有一个交点；当k－3≠0时，此函数为二次函数，当Δ＝22－4(k－3)≥0，即k≤4且k≠3时，函数图象与x轴有交点.综上所述，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B.
答案：B
点拨：不要受思维定式的影响，主观臆断此函数一定是二次函数，造成考虑问题不周全，由于题中没有明确函数是一次函数还是二次函数，因而要分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论.
当 堂 检 测
1. 若一元二次方程x2－mx＋n＝0无实根，则抛物线y＝x2－mx＋n图象位于(　　)
A. x轴上方 B. 第一、二、三象限
C. x轴下方 D. 第二、三、四象限
2. 抛物线y＝2x2－3x＋1与坐标轴的交点个数是(　　)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 表格中是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝－3(a≠0)的一个近似根是(　　)
x
－1.1
－1.2
－1.3
－1.4
y＝ax2＋bx＋c
－2.75
－2.86
－3.13
－3.28
A. －1.1 B. －1.2 C. －1.3 D. －1.4
4. 二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(　　)
A. x＜－1 B. x＞2 C. －1＜x＜2 D. x＜－1或x＞2
5. 抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为 .
6. 已知抛物线y＝kx2－4x－3与x轴有交点，则k的取值范围是　 　.
7. 画出二次函数y＝x2－2x的图象.利用图象回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0；
(3)x取什么值时，函数值小于0.
8. 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(精确到0.1).
当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. C 4. C
5. 8
6. k≥－且k≠0
7. 解：列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
－1
0
3
8
…
描点并连线：
(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.　
(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.　
(3)当08. 解：∵－x2＋2x－3＝－8，∴x2－2x－5＝0.在平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2x－5的图象，如图，抛物线与x轴的交点有两个，左边交点在－2和－1之间，右边交点在3和4之间.
(1)求－2和－1之间的根，列表如下：
x
－1.1
－1.2
－1.3
－1.4
－1.5
y
－1.59
－1.16
－0.71
－0.24
0.25
因此，x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根.
(2)求3和4之间的根，列表如下：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
y
－1.59
－1.16
－0.71
－0.24
0.25