实际问题与一元二次方程之变化率问题
一．选择题（共10小题）
1．（2016?兴安盟）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
2．（2016?大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）
A．100（1+x） B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）
3．（2016?随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
4．（2016?天门模拟）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
5．（2016?青羊区模拟）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3000x2=5000 B．3000（1+x）2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
6．（2016?鞍山二模）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2=400（1+10%） B．633.6（1+2x）2=400×（1010%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2=633.6 D．400×（1+10%）（1+x）2=633.6
7．（2016?薛城区模拟）山东省2014年的快递业务量为1.4亿件，若2016年的快递业务量达到4.5亿件，设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
8．（2016?哈尔滨模拟）企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元，2015年达到2160元，设李师傅的月退休金年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2160（1﹣x）2=1500
B．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
C．1500（1﹣x）2=2160
D．1500（1+x）2=2160
9．（2016?琼海校级模拟）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
10．（2016?合肥模拟）某地区2015年的交于投入为2.2亿元，计划在未来两年终总共再投入5亿元，设每年教育投入的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．2.2（1+2x）2=5 B．2.2（1+2x）3=5
C．2.2（1+x）+2.2（1+x2）=5 D．2.2（1+x）+2.2（1+x）3=5
实际问题与一元二次方程之变化率问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016?兴安盟）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2=315，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
2．（2016?大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）
A．100（1+x） B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x），五月份的产量是100（1+x）2，据此列方程即可．
【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，
故选：B．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
3．（2016?随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，
故选C．
【点评】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
4．（2016?天门模拟）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．
5．（2016?青羊区模拟）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3000x2=5000 B．3000（1+x）2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，
2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
6．（2016?鞍山二模）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2=400（1+10%） B．633.6（1+2x）2=400×（1010%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2=633.6 D．400×（1+10%）（1+x）2=633.6
【分析】设平均增长率为x，由题意得出400×（1+10%）是3月份的营业额，633.6万元即5月份的营业额，根据三月份的营业额×（1+x）2=五月份的营业额列出方程即可．
【解答】解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2=633.6．
故选：D．
【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
7．（2016?薛城区模拟）山东省2014年的快递业务量为1.4亿件，若2016年的快递业务量达到4.5亿件，设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
【分析】根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2=4.5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8．（2016?哈尔滨模拟）企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元，2015年达到2160元，设李师傅的月退休金年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2160（1﹣x）2=1500
B．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
C．1500（1﹣x）2=2160
D．1500（1+x）2=2160
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解；由题意可得，
1500（1+x）2=2160，
故选D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9．（2016?琼海校级模拟）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
【分析】根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2=4.5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10．（2016?合肥模拟）某地区2015年的交于投入为2.2亿元，计划在未来两年终总共再投入5亿元，设每年教育投入的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．2.2（1+2x）2=5 B．2.2（1+2x）3=5
C．2.2（1+x）+2.2（1+x2）=5 D．2.2（1+x）+2.2（1+x）3=5
【分析】根据题意分别表示出2016、2017年的教育投入，由未来两年总共再投入5亿元，即2016年投入+2017年投入=5，可列方程．
【解答】解：设每年教育投入的平均增长率为x，
则2016年的教育投入为2.2（1+x），2017年的教育投入为2.2（1+x）2，
由未来两年总共再投入5亿元，可列方程：2.2（1+x）+2.2（1+x2）=5，
故选：C．
【点评】本题主要考查根据实际问题列方程的能力，分析题意准确抓住相等关系是解方程的关键．
课件8张PPT。实际问题与一元二次方程——变化率问题授课:乐乐老师人教版《数学》 九年级上册[慕联教育同步课程]
课程编号：TS1608010202R9121030201LL
慕课联盟课程开发中心：www.moocun.com学习目标1.能正确列出关于变化率问题的一元二次方程；2.体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．探究2 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：甲种药品成本的年平均下降额为：乙种药品成本的年平均下降额为：(5 000-3 000)÷2=1 000(元)(6 000-3 600)÷2=1 200(元)探究1 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x.解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775．列方程得 5 000(1-x)2=3 000．一年后甲种药品成本为5 000(1-x)元， 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%．两年后甲种药品成本为5 000(1-x)2元．探究1 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程得乙种药品成本年平均下降率为 22.5%.解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775．6 000(1-x)2=3 600 两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．练一练 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7 200kg，2012年平均每公顷产8 450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程得 7 200(1+x)2=8 450．20107 200kg201120127 200(1+x)7 200(1+x)2(不合题意，舍去)水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.3%.知识小结 “变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；
解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．慕联提示亲爱的同学，课后请做一个习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见！
下节课我们不见不散！
